加權(quán)平方損失函數(shù)下幾何分布函數(shù)的可靠度Bayes估計(jì)

摘 要】在加權(quán)平方損失函數(shù)下，給出了對(duì)于任何先驗(yàn)分布的幾何分布可靠度的Bayes估計(jì)，同時(shí)在其先驗(yàn)分布為冪分布時(shí)研究了可靠度的Bayes估計(jì)及其容性，給出了可靠度的多層Bayes估計(jì)的計(jì)算公式。

【關(guān)鍵詞】幾何分布；加權(quán)平方損失函數(shù)；可靠度；Bayes估計(jì)

許多壽命離散型產(chǎn)品，其分布大都服從幾何分布，因此對(duì)幾何分布的可靠性分析具有理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。文獻(xiàn)[4]和[5]在研究了在熵?fù)p失函數(shù)下幾何分布可靠度的多層Bayes估計(jì)和截尾Bayes估計(jì)，文獻(xiàn)[1]研究在新的加權(quán)平方損失函數(shù)下幾何分布的Bayes可靠性估計(jì)本文則研究了一類新的加權(quán)平方損失函數(shù)下幾何分布分布可靠度的多層Bayes估計(jì)。

在貝努里實(shí)驗(yàn)中，若p為每次實(shí)驗(yàn)成功的概率（可靠度），如果進(jìn)行了k+1次試驗(yàn)，前k次實(shí)驗(yàn)成功且第k+1次不成功（或失?。┑母怕蕿椋?/p>

P（？灼=k）=P k（1-p），k=0，1，2，…，0，

稱隨機(jī)變量？灼服從幾何分布[s]，其中p為幾何分布的可靠度（或成功概率）。

1 加權(quán)平方損失函數(shù)的定義

定義1 隨機(jī)變量X服從密度函數(shù)為f（？茲，X）的分布，其中？茲為參數(shù)，如果？啄是？茲的判決空間中的一個(gè)估計(jì)，則定義這樣的一個(gè)函數(shù)：

L（？啄，？茲）=（？啄-？茲）2/？茲（1-？茲）（2）

為加權(quán)平方損失函數(shù)[1]。

2 p的Bayes估計(jì)

定理1 在加權(quán)平方損失函數(shù)（2）下，對(duì)任何的先驗(yàn)分布？仔（？茲），？茲的Bayes估計(jì)為

并且如果？啄B（x）的Bayes風(fēng)險(xiǎn)有限，則？啄B（x）是唯一的Bayes估計(jì)。

當(dāng)p的先驗(yàn)分布為冪分布，其密度函數(shù)為：？仔（p|a）=apa-1，其中00（為超參數(shù)）[2]，則p的先驗(yàn)分布為：

后驗(yàn)分布服從貝塔分布，其分布為：

則，在加權(quán)平方損失函數(shù)下p的Bayes估計(jì)為：

其中，0

定理2 對(duì)幾何分布，在p的多層先驗(yàn)分布有（3）給出，則在加權(quán)平方損失函數(shù)下，p的多層Bayes估計(jì)為：

證明：p的多層先驗(yàn)分布有（3）給出，則p的似然函數(shù)為L(zhǎng)（p）=px（1-p），則p的后驗(yàn)密度為：

其中0

其中：

引理1 [3]在給定的Bayes決策問(wèn)題中，假如對(duì)給定的先驗(yàn)分布？仔（？茲），？茲的Bayes估計(jì)是？啄（X）唯一的，則它是容許估計(jì)。

定理3 在加權(quán)平方損失函數(shù)下，對(duì)任一先驗(yàn)分布，幾何分布的參數(shù)？茲的Bayes估計(jì)？啄（X）是可容許估計(jì)。

證明：對(duì)于幾何分布，由于加權(quán)平方損失函數(shù)下（2）是嚴(yán)格凸函數(shù)，其參數(shù)？茲的Bayes估計(jì)必是唯一的，引理1可知，參數(shù)的？茲的Bayes估計(jì)？啄（X）是可容許估計(jì)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李蘭平.一類新的加權(quán)平方損失函數(shù)下幾何分布的Bayes估計(jì)[J].方法應(yīng)用，2012，11：81-82.

[2]韓明，催玉萍.幾何分布的可靠度估計(jì)[J].運(yùn)籌與管理，2001，（下轉(zhuǎn)第76頁(yè)）（上接第20頁(yè)）10（4）：35-38.

[3]茆詩(shī)松.貝葉斯統(tǒng)計(jì)[M].北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1999，3.

[4]周偉萍，張德然，楊興瓊.熵?fù)p失函數(shù)下幾何分布參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，21（4）：13-15.

[5]熊常偉，張德然，張怡.熵?fù)p失函數(shù)下幾何分布參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2008，27（1）：82-86.

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