大學生數(shù)學競賽題對數(shù)學分析課程教學的促進作用*

劉小松

(嶺南師范學院 數(shù)學與計算科學學院，廣東 湛江 524048)

大學生數(shù)學競賽題對數(shù)學分析課程教學的促進作用*

劉小松

(嶺南師范學院 數(shù)學與計算科學學院，廣東 湛江 524048)

摘要：以近幾屆全國大學生數(shù)學競賽數(shù)學專業(yè)組的預賽題為例，淺析其對數(shù)學分析課程教學的促進作用，這無疑將推動數(shù)學分析課程的教學改革，從而促進優(yōu)秀的數(shù)學人才脫穎而出。

關(guān)鍵詞：大學生數(shù)學競賽題；數(shù)學分析；促進作用

全國大學生數(shù)學競賽是一項由中國數(shù)學會普及工作委員會舉辦的全國性賽事，參加對象是大學本科二年級及以上的在校大學生，分數(shù)學專業(yè)組和非數(shù)學專業(yè)組，該賽事始于2009年，已舉辦7屆，旨在“為青年學子提供展示數(shù)學特長的舞臺，也為發(fā)現(xiàn)和選拔優(yōu)秀數(shù)學人才積累資源”[1]。現(xiàn)影響日益擴大，參賽人數(shù)眾多，越來越受到社會各界的關(guān)注。本文結(jié)合本人多次帶隊參加全國大學生數(shù)學競賽廣東賽區(qū)比賽的體會以及近幾年全國大學生數(shù)學競賽數(shù)學專業(yè)組的預賽題，從以下三個方面進行剖析，以期起到“拋磚引玉”的作用。

1競賽題對數(shù)學分析課程概念、性質(zhì)內(nèi)容教學的促進作用

以下為首屆全國大學生數(shù)學競賽初賽題(數(shù)學專業(yè)類)的第五題：

2競賽題對數(shù)學分析課程數(shù)學應用內(nèi)容教學的促進作用

第三屆全國大學生數(shù)學競賽初賽題(數(shù)學專業(yè)類)有下面一道計算應用題(第四題)：對于ΔABC，求3sinA+4sinB+18sinC的最大值。初看此題，以下兩個思路很自然，第一易認為這是一道初等數(shù)學應用題，用中學的知識和方法即可解決，其實經(jīng)過一番嘗試后，用中學的知識解決非常艱難，且技巧性非常高，計算量大；第二易視該題為典型的條件極值問題，用拉格朗日乘數(shù)法求解是常規(guī)解法，但經(jīng)仔細推敲，發(fā)現(xiàn)建立的拉格朗日函數(shù)有四個變量，穩(wěn)定點不好確定，且極大值點的判別也不容易。因此，這兩個思路只能遺憾地加以放棄。學過數(shù)分的人熟知，一元函數(shù)的最值問題相對好處理，而且方法也較多，因此，直接將三元函數(shù)最值問題化為二元函數(shù)最值問題，然后再將二元函數(shù)最值問題化為一元函數(shù)最值問題，這很可能是一條邁向成功之路。當然，以上想法也有一個難點，就是如何轉(zhuǎn)化? 但利用熟悉的三角恒等式和柯西不等式，發(fā)現(xiàn)這個難點是不難突破的。最后，通過一元函數(shù)最值問題的常規(guī)解法，本題獲得圓滿的解決。本題的解決給我教學的最大啟示是：對一些經(jīng)典問題，也不能思維定勢，退一步可能是海闊天空。另外，這道題也可進一步推廣，即將相應三角函數(shù)前面的系數(shù)一般化(適當加以限制)，我指導的一篇10屆本科畢業(yè)論文就是從該題出發(fā)，得到較為一般的結(jié)論。

3競賽題對數(shù)學分析課程計算內(nèi)容教學的促進作用

首屆全國大學生數(shù)學競賽初賽題(數(shù)學專業(yè)類)有這樣一道題：

初步瀏覽該題，這是一道計算二重積分的題，常規(guī)解法是化二重積分為累次積分。由于該題的函數(shù)是以微分方程形式給出，是隱函數(shù)，而非顯函數(shù)，直接計算肯定很困難，但從積分域上，很自然想到用極坐標變換比較合適。而利用了極坐標變換后，接下來就是將變換后的二重積分化為累次積分。但化為累次積分，又遇到難關(guān)，由于被積函數(shù)不是顯函數(shù)，不能直接用定積分進行計算。但聯(lián)想到第二型曲線積分可化為定積分后，當然定積分也可化為第二型曲線積分，因此將第一個積分化為第二型曲線積分不失為一個好的辦法。最后利用格林公式和已知條件，就將一道二重積分題化為一道先二重后一重的積分問題，這樣迂回的好處是最后積分的被積函數(shù)“神奇”地變?yōu)榫唧w函數(shù)，再輕松地利用極坐標變換，就化為熟悉的定積分，求解變?yōu)榕e手之勞之事?？v觀該題的解法，極坐標變換起了最關(guān)鍵的作用，把“未知”化為“已知”，化“難”為“易”，不僅是中學數(shù)學的常用做法，也為數(shù)學分析課程的常用做法。該題也是一道綜合題，考察了多個知識點：極坐標變換、二重積分化累次積分公式、第二型曲線積分化定積分公式以及格林公式等。

4結(jié)語

全國大學生數(shù)學競賽題數(shù)學分析題占整個競賽內(nèi)容的50%左右，其綜合性，技巧性和新穎性，在參賽學子的腦海里已牢牢地留下印記。本文僅從三個實例剖析競賽題對數(shù)學分析課程教學的促進作用，很可能有遺漏和體會不深刻的地方，但即便如此，這對我開展數(shù)學分析課程的教學收益頗豐，主要體現(xiàn)在對數(shù)學分析課程概念、性質(zhì)和計算等教學內(nèi)容的把握上，對學生邏輯思維的訓練上有進一步的感性認識，從而促進數(shù)學分析課程的教學。

參考文獻：

[1] 張?zhí)斓?，崔玉?全國大學生數(shù)學競賽輔導指南[M].北京：清華大學出版社，2014.

[2] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊)[M].4版.北京：高等教育出版社，2013.

(責任校對謝宜辰)

doi:10.13582/j.cnki.1674-5884.2016.06.010

收稿日期：20160201

基金項目：嶺南師范學院2014年精品課程建設(shè)項目

作者簡介：劉小松(1968- )，男，湖南邵陽人，教授，博士，主要從事多復分析研究。

中圖分類號：G642.4

文獻標志碼：A

文章編號：1674-5884(2016)06-0029-02