極移短期預(yù)報LS建模擬合數(shù)據(jù)長度分析

王川陽，黨亞民，薛樹強(qiáng)，邱榮海

(1.山東科技大學(xué) 測繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島　266590；2.中國測繪科學(xué)研究院，北京　100830)

極移短期預(yù)報LS建模擬合數(shù)據(jù)長度分析

王川陽1，2，黨亞民2，薛樹強(qiáng)2，邱榮海1，2

(1.山東科技大學(xué) 測繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島266590；2.中國測繪科學(xué)研究院，北京100830)

摘要：針對高精度極移參數(shù)一般利用較長時間的空間大地測量觀測進(jìn)行參數(shù)估計得到，而導(dǎo)航定位應(yīng)用需要實時極移參數(shù)的問題,采用4種最小二乘參數(shù)化方案分析數(shù)據(jù)長度對極移短期預(yù)報精度的影響。實驗結(jié)果顯示：不同的最小二乘擬合模型參數(shù)化方案選取的最佳數(shù)據(jù)長度不同，同一種最小二乘擬合模型參數(shù)化方案選取的最佳數(shù)據(jù)長度也會隨時間緩慢且有規(guī)律的變化；最佳數(shù)據(jù)長度的選擇與不同的參數(shù)化方案有關(guān)，并非越長越好，應(yīng)盡量覆蓋模型項的整數(shù)周期；此外極移時間序列中的信號成分具有時變性，這就需要利用最新的極移觀測資料分析確定最小二乘擬合最佳數(shù)據(jù)長度，以期提高模型預(yù)報精度。

關(guān)鍵詞：最小二乘模型；極移；短期預(yù)報；數(shù)據(jù)長度

0引言

高精度地球自轉(zhuǎn)參數(shù)在空間大地測量(如全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(global navigation satellite system，GNSS)、激光測月(lunar laser ranging，LLR)、航天器跟蹤、深空探測等領(lǐng)域中具有重要地位。極移參數(shù)作為地球自轉(zhuǎn)參數(shù)之一，用來描述地球瞬時自轉(zhuǎn)軸在地球本體的運動。高精度極移參數(shù)一般利用較長時間的空間大地測量觀測進(jìn)行參數(shù)估計得到;而導(dǎo)航定位應(yīng)用往往需要實時極移參數(shù)，用于天球坐標(biāo)系和地球坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換[1-2]。因此，極移參數(shù)的短期預(yù)報在各種實時對地觀測應(yīng)用中具有重要的地位。

極移預(yù)測的常用方法有最小二乘法(least squares，LS)、最小二乘與自回歸模型組合法(least squares and autoregressive，LS+AR)、最小二乘與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合法(least squares and artificial neural network，LS+ANN)、考慮物理激發(fā)因素的建模法。對于極移時間序列，其主要的時間尺度變化包括長趨勢項和周期項(如半年項、周年項和錢德勒項)以及高頻極移。高頻極移很難進(jìn)行參數(shù)化；因此在建立LS擬合模型時，一般對線性項和周期項進(jìn)行參數(shù)化，在此基礎(chǔ)上利用一定歷史極移時間序列進(jìn)行LS擬合確定其模型參數(shù)，從而建立LS預(yù)報模型[3-7]。為提高預(yù)報精度，大量研究還討論了在LS擬合的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對LS擬合殘差進(jìn)行自回歸分析并建立AR模型。

研究表明：在極移中各種周期信號的頻率是隨時間變化的；因此使用頻率固定的周期信號進(jìn)行參數(shù)化會引入一系列模型誤差。這些殘余模型誤差往往表現(xiàn)為系統(tǒng)性誤差，并導(dǎo)致LS擬合殘差自相關(guān)。從信號處理角度，有色噪聲泛指各種低頻觀測誤差。此外在動態(tài)測量系統(tǒng)中，觀測方程連續(xù)依賴于觀測時間，一般存在大量有色噪聲。利用時間序列分析和隨機(jī)過程理論可以實現(xiàn)連續(xù)觀測數(shù)據(jù)的噪聲補(bǔ)償和信號挖掘[8-9]。另外通過合理選取LS建模數(shù)據(jù)長度，有望補(bǔ)償殘余系統(tǒng)誤差、提高LS參數(shù)估計精度，從而提高極移短期預(yù)報精度。文獻(xiàn)[10]基于Hilbert空間理論提出連續(xù)平差模型，討論了連續(xù)平差模型的求解方法和有色噪聲的消除策略，得出有色噪聲對解的影響是系統(tǒng)性的，通過合理的觀測系統(tǒng)設(shè)計和采樣設(shè)計，可消除有色噪聲，從而實現(xiàn)平差解的無偏估計[10-12]。本文對比分析不同LS建模參數(shù)化方案下建模數(shù)據(jù)長度對極移短期預(yù)報精度的影響，以期確定極移短期預(yù)報LS建模所需的最佳數(shù)據(jù)長度，提高極移短期預(yù)報精度。

1LS模型數(shù)據(jù)長度選取

利用最小二乘方法建立極移短期預(yù)報模型屬于一個標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)據(jù)建模問題。通過對極移時間序列進(jìn)行時頻分析，理論上可以獲取極移中的主要信號成分。一般情況下，研究表明，極移信號中存在模型的半年項、周年項和錢德勒項等周期信號，因此可將極移信號設(shè)為

(1)式中：a0為常數(shù)項；a1為線性趨勢項的系數(shù)；B1、B2為半年項的系數(shù)；C1、 C2為周年項的系數(shù)；D1、 D2為錢德勒項的系數(shù)；R1為半年項的周期182.62 d；R2為周年項的周期365.24 d；R3為錢德勒項的周期432.08 d；t為極移參數(shù)的世界協(xié)調(diào)時(coordinated universal time，UTC)時間(單位為年)。需要指出:極移時間序列中的信號并非嚴(yán)格的半年項、周年項等標(biāo)準(zhǔn)正弦信號所能精確模擬的，例如，周期信號頻率可能是隨時間變化的；因此使用上述周期項進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合時，不可避免會導(dǎo)致在殘差時間序列中可能存在殘余系統(tǒng)誤差。進(jìn)一步假設(shè)殘余常數(shù)系統(tǒng)誤差和線性系統(tǒng)誤差可以由常數(shù)項和線性項所吸收，則殘余周期性系統(tǒng)誤差只能通過較長時間序列進(jìn)行抵償。下面以半年項、周年項及錢德勒項隨機(jī)模型為例，討論僅估計LS模型常數(shù)項和線性項時的最佳數(shù)據(jù)長度問題。由文獻(xiàn)[10]可得線性觀測模型為

(2)

式中a0和a1為待估參數(shù)，而該公式右邊的周期信號作為隨時間變化的誤差項處理。當(dāng)滿足以下條件時，a0和a1的參數(shù)估計將不受半年項、周年項以及錢德勒項的影響，即

(3)

對于給定的系數(shù)B1、B2、C1、C2、D1、D2，理論上可以確定式(3)中參數(shù)t的解。滿足式(3)的解top即為僅僅估計常數(shù)項和線性項時的最佳數(shù)據(jù)長度。類似的，當(dāng)對半年項、周年項以及錢德勒項進(jìn)行參數(shù)估計時，若在觀測信號中含有未知的系統(tǒng)誤差信號時，則類似于式(2)可建立1個參數(shù)估計不受觀測系統(tǒng)誤差影響的條件方程。

2LS建模最佳數(shù)據(jù)長度確定

考慮到式(3)中的系數(shù)B1、B2、C1、C2、D1、D2也是未知的，本文利用極移時間序列中可能的數(shù)據(jù)長度，探測建模所需的最佳數(shù)據(jù)長度。下面僅以估計常數(shù)項和線性項為例進(jìn)行討論。對于給定的等間距觀測數(shù)據(jù)為

(4)

式中：t1=0為初始時刻；ti+1=ti+Δt表示地 i+1個時刻；Δt為時間序列采樣間隔。對足夠長的時間序列，為確定最佳數(shù)據(jù)長度top建立離散化觀測方程為

Asxs=Ls+ε。

(5)

(6)

當(dāng)使用數(shù)據(jù)長度為s的時間序列進(jìn)行參數(shù)估計時，為了評價預(yù)報精度，可采用平均絕對誤差(meanabsoluteerror，MAE)作為精度評定標(biāo)準(zhǔn)，其計算公式為

(7)

(8)

即當(dāng)sMAE達(dá)到最小時的時間序列長度ts作為式(3)的近似解。

類似地可以討論增加估計半年項、周年項以及錢德勒項情形下的最佳數(shù)據(jù)長度問題，相關(guān)討論略。

3實驗與結(jié)果分析

3.1方案設(shè)計

利用國際GNSS服務(wù)組織(international GNSS

service，IGS)公布的igs95p02.erp序列，選取2010年第182 d到2015年第181 d的數(shù)據(jù)序列，包含極移分量X和Y、日長變化LOD、地球自轉(zhuǎn)速率UT1-UTC等，時間間隔為1 d。將數(shù)據(jù)分為4組，見表1。

表1中數(shù)據(jù)長度均為500 d，分別采用下述方案1～4建立極移參數(shù)X、Y預(yù)報的LS預(yù)報模型。

方案1：僅估計常數(shù)項、線性項；

方案2：僅估計常數(shù)項、線性項、半年項；

方案3：僅估計常數(shù)項、線性項、半年項、周年項；

方案4：全部估計常數(shù)項、線性項、半年項、周年項、錢德勒項。

限于篇幅，僅以第1組數(shù)據(jù)來具體說明。方案1采用第1組數(shù)據(jù)2010年第182 d開始，截取10 d、11 d、…、500 d分別建立僅僅參數(shù)化常數(shù)項和線性項的LS預(yù)報模型，即式(5)中s=10，11，…，500。評價其模型預(yù)報精度時，向后預(yù)報3 d并將IGS公布的極移產(chǎn)品作為真值，采用式(7)計算sMAE(k=3)。

3.2結(jié)果與分析

試驗表明：僅對部分周期信號進(jìn)行參數(shù)化時，明顯存在最佳數(shù)據(jù)長度的選取問題；而且使全部考慮對常數(shù)項、線性項、半年項、周年項和錢德勒項進(jìn)行參數(shù)化，也不是使用的數(shù)據(jù)長度越長越好。導(dǎo)致這種現(xiàn)象的原因可能是在極移信號中存在未參數(shù)化的殘余系統(tǒng)誤差影響，這也是本文研究的基礎(chǔ)和意義所在。下面重點分析X分量的試驗結(jié)果,如圖1～4所示。

圖1　第1組數(shù)據(jù)的4種方案測試結(jié)果圖

圖2　第2組數(shù)據(jù)的4種方案測試結(jié)果圖

圖3　第3組數(shù)據(jù)的4種方案測試結(jié)果圖

圖4　第4組數(shù)據(jù)的4種方案測試結(jié)果圖

試驗表明：利用本文提出的方法可以確定極移短期預(yù)報LS建模的最佳數(shù)據(jù)長度的多個極值點；比較這些極值點，可以確定最小點，其最小點可作為建立最優(yōu)LS預(yù)報模型的參考依據(jù)。隨著擬合數(shù)據(jù)長度的增加，方案1和方案2預(yù)報精度逐漸降低，隨后又出現(xiàn)精度較高的極小值點，這與未參數(shù)化的周期項信號在極小值處得到抵償有關(guān)。方案3和方案4出現(xiàn)很多極小值點，這是因為考慮了低頻極移信號之后殘余的高頻極移信號，且難以對高頻極移信號進(jìn)行參數(shù)化的緣故。

由于極移時間序列中的信號成分往往具有時變性，隨著極移時間序列向后推移，LS擬合最佳數(shù)據(jù)長度也會隨時間緩慢且有規(guī)律地變化，例如方案1從第1組到第4組數(shù)據(jù)，第1組數(shù)據(jù)對應(yīng)的第一個極值點為第323 d，第2組數(shù)據(jù)對應(yīng)的第一個極值點為第243 d，第3組數(shù)據(jù)對應(yīng)的第1個極值點為第237 d，第4組數(shù)據(jù)對應(yīng)的第一個極值點為第148 d。方案2也存在相同的規(guī)律，但其第1個極小點相對與方案1滯后大約10～40 d不等，而其第2個極小值點與方案1基本重合。這就需要利用最新的極移觀測資料分析確定LS擬合最佳數(shù)據(jù)長度，以期提高模型預(yù)報精度。

本文4種方案的預(yù)報結(jié)果都采用平均絕對誤差作為評定精度的標(biāo)準(zhǔn)，并以此來確定最佳數(shù)據(jù)長度。各組數(shù)據(jù)4種方案的預(yù)報精度和最佳數(shù)據(jù)長度的統(tǒng)計結(jié)果見表2，表2數(shù)值單位mas為毫角秒。

表2　各組數(shù)據(jù)4種方案的預(yù)報精度統(tǒng)計

4結(jié)束語

本文基于最小二乘模型對極移短期預(yù)報中的最佳數(shù)據(jù)長度進(jìn)行試驗分析，通過比較4種不同方案得出以下結(jié)論：最佳數(shù)據(jù)長度的選取與LS擬合模型不同的參數(shù)化方案有關(guān)，最佳數(shù)據(jù)長度并非越長越好，應(yīng)盡量覆蓋LS擬合模型項的整數(shù)周期；由于極移時間序列的信號成分復(fù)雜，對建模數(shù)據(jù)長度進(jìn)行優(yōu)化選取可以提高LS擬合精度；極移時間序列中的信號成分往往具有時變性，隨著極移時間序列的向后推移，LS擬合模型參數(shù)化方案選取的最佳數(shù)據(jù)長度也會隨時間緩慢且有規(guī)律的變化，這就需要利用最新的極移觀測資料分析確定最小二乘擬合最佳數(shù)據(jù)長度，以期提高模型預(yù)報精度。

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Data length analysis of LS fitting for short-term forecast of polar motion

WANG Chuanyang1，2，DANG Yamin2，XUE Shuqiang2，QIU Ronghai1，2

(1.Geomatics College，Shandong University of Science and Technology，Shandong Qingdao 266590，China；2.Chinese Academy of Surveying and Mapping，Beijing 100830，China)

Abstract：Aiming at the problem that high-precision pole motion parameters are generally obtained by parameter estimation through long-term spatial geodetic observations，while navigation and position require real-time pole motion parameters，this paper analyzed the influence of the data length on forecast accuracy by using four least squares parameterization schemes.The results showed that different least squares fitting parameterization schemes corresponded to different optimal data length;the optimal data length of the same least squares fitting parameterization scheme varied over time slowly and regularly.It indicated that the optimal data length would be related to different parameterization schemes and not as long as possible,but should cover the cycle of model items.In addition，since the signal components of pole motion series are often time-varying，it should use the latest polar motion observations to analyze and determine the least squares fitting data length in order to improve the forecast accuracy.

Keywords：least squares；polar motion；short-term；data length

收稿日期：2015-12-18

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(41020144004;41104018);國家科技支撐計劃項目(2012BAB16B01);國家863計劃項目(2009AA121405，2013AA122501);北斗全球連續(xù)監(jiān)測評估項目(GFZX0301040309);福建省海島與海岸帶管理技術(shù)研究實驗室開放基金項目;北斗動態(tài)參考框架維持關(guān)鍵技術(shù)及其應(yīng)用項目(7771416)。

第一作者簡介：王川陽(1991—)，男，河南許昌人，碩士研究生，研究方向為地球自轉(zhuǎn)參數(shù)預(yù)報。

中圖分類號：P228

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：2095-4999(2016)02-0062-05

引文格式：王川陽，黨亞民，薛樹強(qiáng)，等.極移短期預(yù)報LS建模擬合數(shù)據(jù)長度分析[J].導(dǎo)航定位學(xué)報，2016，4(2)：62-66.(WANG Chuanyang，DANG Yamin，XUE Shuqiang，et al.Data length analysis of LS fitting for short-term forecast of polar motion[J].Journal of Navigation and Positioning，2016，4(2)：62-66.)DOI：10.16547/j.cnki.10-1096.20160213.