GPS網(wǎng)平差方程的自動(dòng)列寫及實(shí)現(xiàn)

洪　菊，趙　凱，李金濤，王勝利，石　波

(1.山東科技大學(xué) 測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東　青島　266590；2.山東科技大學(xué) 海洋工程研究院，山東　青島　266590)

GPS網(wǎng)平差方程的自動(dòng)列寫及實(shí)現(xiàn)

洪菊1，趙凱1，李金濤1，王勝利2，石波1

(1.山東科技大學(xué) 測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東青島266590；2.山東科技大學(xué) 海洋工程研究院，山東青島266590)

摘要：針對(duì)GPS網(wǎng)平差中由于數(shù)據(jù)過(guò)多導(dǎo)致的方程列寫困難、運(yùn)算效率低等問(wèn)題，提出了GPS網(wǎng)平差方程自動(dòng)列寫及快速實(shí)現(xiàn)的方法。根據(jù)GPS網(wǎng)平差數(shù)據(jù)特點(diǎn)，該方法在無(wú)約束平差與約束平差具體應(yīng)用過(guò)程中采用壓縮存儲(chǔ)法存儲(chǔ)對(duì)稱矩陣以節(jié)省內(nèi)存空間，采用Cholesky分解法解算法方程以加快運(yùn)算效率，達(dá)到GPS網(wǎng)平差方程的快速解算的效果。結(jié)果表明：使用該方法能夠確定GPS網(wǎng)中點(diǎn)在指定參照系下的坐標(biāo)，達(dá)到GB/T18314—2009對(duì)約束平差的要求；此方法與常規(guī)方法相比可較好節(jié)省內(nèi)存空間，提高運(yùn)算效率。

關(guān)鍵詞：GPS網(wǎng)平差；無(wú)約束平差；約束平差；自動(dòng)列寫方程式；矩陣壓縮存儲(chǔ)；Cholesky分解法

0引言

與常規(guī)測(cè)量方法相比，全球?qū)Ш较到y(tǒng)(global positioning system，GPS)技術(shù)在精度、社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益以及布網(wǎng)的靈活性上具有很大的優(yōu)越性，因此GPS技術(shù)在測(cè)繪領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用[1-2];但就數(shù)據(jù)處理而言，GPS觀測(cè)值的數(shù)據(jù)處理與常規(guī)測(cè)量觀測(cè)值的數(shù)據(jù)處理相比更加復(fù)雜。在進(jìn)行GPS網(wǎng)平差過(guò)程中主要應(yīng)用無(wú)約束平差、約束平差、聯(lián)合平差3種方法，其處理流程主要是先通過(guò)無(wú)約束平差發(fā)現(xiàn)和剔除GPS觀測(cè)值中存在的粗差以及評(píng)定網(wǎng)平差的精度，再進(jìn)行約束平差增加約束條件，求得站點(diǎn)在指定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)以及評(píng)定GPS網(wǎng)精度。GPS平差處理是GPS定位的重要組成部分，也是GPS最活躍的研究領(lǐng)域之一，現(xiàn)國(guó)內(nèi)外有很多平差處理軟件[3]，例如GAMZT、TopADJ、天寶Trimble Geomatics Offic等。這些軟件能夠處理各種網(wǎng)型，功能較強(qiáng)、操作簡(jiǎn)單。在GPS網(wǎng)平差中會(huì)遇到不同的平差處理問(wèn)題，特別是隨著站點(diǎn)數(shù)目的增加，實(shí)現(xiàn)平差方程的自動(dòng)列寫、自動(dòng)解算和提高大量數(shù)據(jù)的處理效率變得尤為困難與重要。因此，本文針對(duì)GPS網(wǎng)平差數(shù)據(jù)特點(diǎn)，采用矩陣壓縮法存儲(chǔ)矩陣和Cholesky分解法解算法方程，實(shí)現(xiàn)了GPS網(wǎng)平差的自動(dòng)列寫、自動(dòng)解算。

1GPS網(wǎng)平差的數(shù)學(xué)模型

GPS網(wǎng)平差模型[4-6]主要有無(wú)約束平差和約束平差兩種平差模型。

1.13維無(wú)約束平差

GPS網(wǎng)無(wú)約束平差在只引入1個(gè)位置基準(zhǔn)時(shí)，平差所得到的GPS網(wǎng)的精度指標(biāo)常被作為衡量GPS網(wǎng)內(nèi)符合精度的指標(biāo)；同時(shí)通過(guò)GPS網(wǎng)平差所反映的觀測(cè)值的質(zhì)量，又被作為判斷粗差觀測(cè)值及其相應(yīng)處理的依據(jù)。

(1)

式中：

如果GPS網(wǎng)共有n個(gè)點(diǎn)，通過(guò)觀測(cè)共得到m條獨(dú)立基線向量，可將總的誤差方程寫為

(2)

引入起算基準(zhǔn)的方法一般有2種，本文采用的方法是以GPS網(wǎng)中1個(gè)點(diǎn)的地心坐標(biāo)為起算基準(zhǔn)，即可有1個(gè)起算方程為

(3)

式中

(4)

1.23維約束平差

GPS網(wǎng)約束平差引入了會(huì)使GPS網(wǎng)的尺度和方位發(fā)生變化的外部起算數(shù)據(jù)。GPS網(wǎng)的約束平差常被用于確定GPS網(wǎng)中點(diǎn)在指定參照系下的坐標(biāo)，主要方法有2種：第1種方法是利用已知參心坐標(biāo)，計(jì)算參心系到地心系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將已知的參心坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到地心坐標(biāo)系下，然后在地心系下進(jìn)行約束平差，最后將平差結(jié)果轉(zhuǎn)換到參心坐標(biāo)系；第2種方法是建立包含地心系到參心系下坐標(biāo)參數(shù)在內(nèi)的統(tǒng)一函數(shù)模型，平差后可直接得出待定點(diǎn)在參心系下的坐標(biāo)。本文采用第2種方法。對(duì)于1個(gè)由n個(gè)點(diǎn)、m條基線向量構(gòu)成的GPS網(wǎng)，其總的誤差方程同式(2)。

一般參心坐標(biāo)系下使用坐標(biāo)、邊長(zhǎng)和方位作為約束條件。本文僅提供考慮坐標(biāo)約束條件的基準(zhǔn)方程，若有l(wèi)個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)作為約束條件，則有約束方程

(5)

式中：

(6)

(7)

上述2種平差模型基線向量的觀測(cè)值權(quán)陣，通常都是由基線解算時(shí)得出各基線向量的方差-協(xié)方差陣來(lái)確定。根據(jù)基線向量解算模式，確定最終參與計(jì)算的方差-協(xié)方差陣。針對(duì)單基線解算模式，其權(quán)陣為

P=D-1。

(8)

式中

(9)

其中dm為相應(yīng)基線的方差-協(xié)方差陣。

根據(jù)式(2)、式(3)和式(5)，按照最小二乘原理進(jìn)行平差計(jì)算，得到平差結(jié)果為

(10)

待定點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)估值為

(11)

根據(jù)平差結(jié)果進(jìn)行精度評(píng)定，3維無(wú)約束平差中觀測(cè)值的單位權(quán)中誤差為

(12)

3維約束平差中觀測(cè)值的單位權(quán)中誤差為

(13)

2平差實(shí)現(xiàn)及處理方法

平差解算的流程如圖1所示，首先根據(jù)基線解算結(jié)果得到站點(diǎn)坐標(biāo)和基線向量的統(tǒng)計(jì)信息；然后選取作為網(wǎng)平差時(shí)的基線向量并利用其估值進(jìn)行3維無(wú)約束網(wǎng)平差，根據(jù)平差結(jié)果剔除粗差，評(píng)定網(wǎng)精度確定最終參與無(wú)約束網(wǎng)平差的基線向量[7]；最后利用所確定的基線向量組成觀測(cè)方程，利用已知點(diǎn)形成的限制條件方程進(jìn)行3維約束網(wǎng)平差，求得待定參數(shù)的估值和觀測(cè)值的平差值、觀測(cè)值的改正數(shù)以及相應(yīng)的精度統(tǒng)計(jì)信息。

圖1　平差解算流程圖

本文在平差過(guò)程中使用壓縮存儲(chǔ)法與Cholesky分解法分別對(duì)矩陣和法方程進(jìn)行處理，以達(dá)到節(jié)省內(nèi)存空間，加快數(shù)據(jù)處理效率的結(jié)果。

2.1對(duì)稱矩陣壓縮存儲(chǔ)

對(duì)稱矩陣，一般只需存儲(chǔ)上三角就可以，在實(shí)際計(jì)算中可以復(fù)現(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)的矩陣?？紤]到GPS網(wǎng)平差中方差-協(xié)方差陣為對(duì)稱正定矩陣以及誤差方程系數(shù)陣分塊對(duì)稱的特點(diǎn)，使用如下存儲(chǔ)方法，以3階對(duì)稱矩陣為例

(14)

存儲(chǔ)時(shí)，可按照向量格式存儲(chǔ)為

(15)

此方法同規(guī)范Hadamard矩陣的壓縮存儲(chǔ)方式類似，在極限情況下，采用此種存儲(chǔ)方法對(duì)稱矩陣可節(jié)省50%的存儲(chǔ)空間[8]。

2.2Cholesky分解法求解法方程

Cholesky分解法又叫平方根法，是求解對(duì)稱正定線性方程組最常用的方法之一?；驹頌閷⒎ǚ匠痰膶?duì)稱正定系數(shù)矩陣分解為下三角矩陣以及它的共軛轉(zhuǎn)置矩陣的乘積，這樣僅通過(guò)行變換、列變換就可以解法方程。

由于法方程系數(shù)陣一般是對(duì)稱正定矩陣，所以使用Cholesky分解法不用求逆就可以解法方程。

3算例分析

3.1數(shù)據(jù)概述

本實(shí)驗(yàn)所用數(shù)據(jù)為2011-03-31 18時(shí)至2011-03-31 18時(shí)美國(guó)CORS網(wǎng)7個(gè)站連續(xù)記錄的導(dǎo)航文件和觀測(cè)文件，使用HGO軟件[9-10]對(duì)這7個(gè)站的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到了這個(gè)時(shí)間段7個(gè)測(cè)站的站坐標(biāo)文件以及基線向量文件，測(cè)區(qū)如圖2所示，本測(cè)區(qū)位于美國(guó)舊金山附近，使用源坐標(biāo)WGS84，使用源橢球WGS84，無(wú)橢球轉(zhuǎn)換參數(shù)。

圖2　實(shí)驗(yàn)測(cè)試測(cè)區(qū)示意圖

3.2方法分析

1)在GPS網(wǎng)平差中，由于數(shù)據(jù)量較大，占用大量?jī)?nèi)存空間使得計(jì)算效率低，同時(shí)考慮到方差-協(xié)方差陣對(duì)稱和誤差方程系數(shù)陣分塊對(duì)稱的特點(diǎn)，本文采用的矩陣壓縮存儲(chǔ)法與常規(guī)矩陣存儲(chǔ)方法相比，節(jié)省了內(nèi)存空間，提高了運(yùn)算效率。

本實(shí)驗(yàn)無(wú)約束網(wǎng)平差中系數(shù)陣是對(duì)角線元素全為-1的單位陣，只需要存儲(chǔ)對(duì)角線數(shù)值，約束網(wǎng)平差中將系數(shù)陣作為分塊對(duì)稱矩陣進(jìn)行存儲(chǔ)，方差-協(xié)方差陣全部壓縮存儲(chǔ)，壓縮存儲(chǔ)前后數(shù)據(jù)占用內(nèi)存單元見(jiàn)表1。

表1　壓縮存儲(chǔ)結(jié)果分析表

2)GPS網(wǎng)平差中一般使用求逆法與LU分解法求解法方程。求逆法不僅效率低，而且當(dāng)數(shù)據(jù)量過(guò)大時(shí)會(huì)導(dǎo)致求逆結(jié)果不穩(wěn)定；LU分解法是將系數(shù)矩陣分解為一個(gè)下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積，直接通過(guò)行變換與列變換就可以直接解法方程，克服了求逆法的缺點(diǎn)。但考慮到GPS網(wǎng)平差中法方程系數(shù)陣對(duì)稱正定的特點(diǎn)，本文采用Cholesky分解法只需要將法方程系數(shù)矩陣分解為下三角矩陣以及它的共軛轉(zhuǎn)置矩陣的乘積，這種方法較普通的LU分解差不多快一倍[11]。

本實(shí)驗(yàn)在無(wú)約束網(wǎng)平差與約束網(wǎng)平差求解法方程中均采用了Cholesky分解法進(jìn)行解算，提高了解算速度。

3.3結(jié)果分析

在3維無(wú)約束平差中以點(diǎn)DP1A坐標(biāo)為起算數(shù)據(jù)，平差后得到21條基線向量的信息。由于數(shù)據(jù)過(guò)多，本文只選取其中7條基線向量的改正數(shù)及中誤差等信息，如表2所示。

表2　3維無(wú)約束平差后基線向量改正數(shù)及中誤差等信息分析表

根據(jù)GB/T18314—2009的要求，對(duì)21條基線進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，結(jié)果如圖3所示。

圖3　無(wú)約束平差殘差分析圖

圖3中橫坐標(biāo)代表參與無(wú)約束平差的基線向量個(gè)數(shù)。由圖3可知，無(wú)約束平差基線向量改正數(shù)的絕對(duì)值滿足要求

(16)

由式(16)可知21條基線向量可全部用于約束平差。

約束平差中引入點(diǎn)DP1A、DP2A、DP3A 3點(diǎn)的坐標(biāo)為約束條件，約束平差后得到21條基線向量的信息；由于數(shù)據(jù)過(guò)多，同樣只選取其中7條基線向量的改正數(shù)及中誤差等信息，如表3所示。

表3　3維約束平差后基線向量改正數(shù)及中誤差等信息分析表

根據(jù)GB/T18314—2009要求，對(duì)21條基線進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，結(jié)果如圖4所示。

圖4　約束平差殘差分析圖

圖4中橫坐標(biāo)代表參與約束平差的基線向量個(gè)數(shù)。約束平差中，基線分量改正數(shù)經(jīng)過(guò)粗差剔除后的無(wú)約束平差的同一基線相應(yīng)改正數(shù)較差的絕對(duì)值滿足要求

(17)

式(17)證明作為約束的已知點(diǎn)坐標(biāo)不存在誤差較大的值。

4結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)GPS網(wǎng)平差數(shù)據(jù)的特點(diǎn)進(jìn)行了解算方式的改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了同步環(huán)的自動(dòng)構(gòu)建并完成了網(wǎng)平差，評(píng)定了觀測(cè)值精度，達(dá)到了壓縮內(nèi)存、快速解算的效果；但是在規(guī)模較大、系統(tǒng)誤差復(fù)雜的GPS網(wǎng)整體平差中仍然有許多問(wèn)題需要研究，例如觀測(cè)量的選取，網(wǎng)形的構(gòu)建等都值得進(jìn)一步探究。

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Automatic establishment and realization of GPS net adjustment equation

HONG Ju1，ZHAO Kai1，LI Jintao1，WANG Shengli2，SHI Bo1

(1.College of Geomatics，Shandong University of Science and Technology，Shandong Qingdao 266590，China；2.Institute of Ocean Engineering，Shandong University of Science and Technology，Shandong Qingdao 266590，China)

Abstract：In view of the difficulty of writing and the low computation efficiency of the equation caused by large amounts of data in GPS network adjustment，a method of the automatic establishment and quick realization of GPS net adjustment equation was presented in this paper.In the light of the characteristics of GPS net adjustment data，in order to save memory space and improve computation efficiency，the compression storage method and the Cholesky decomposition method were taken to store positive definite matrices and resolve normal equations in the specific applications of free adjustment and constraint adjustment.The result showed that the method compared with the conventional one could save memory space and improve computation efficiency greatly on the basis of rightly determining the coordinate of the midpoints of GPS network in the specified reference coordinate system,with matching the accuracy requirements of GB/T18314—2009 for constraint adjustment.

Keywords：adjustment of GPS network；free adjustment；constraint adjustment；automatic established equation；matrix compression storage；Cholesky decomposition method

收稿日期：2016-01-20

基金項(xiàng)目：海島(礁)測(cè)繪技術(shù)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助項(xiàng)目(2014B02，2015A01)。

第一作者簡(jiǎn)介：洪菊(1994—)，女，山東濟(jì)南人，本科學(xué)歷，研究方向?yàn)镚NSS數(shù)據(jù)處理。

中圖分類號(hào)：P228

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2095-4999(2016)02-0108-05

引文格式：洪菊，趙凱，李金濤，等.GPS網(wǎng)平差方程的自動(dòng)列寫及實(shí)現(xiàn)[J].導(dǎo)航定位學(xué)報(bào)，2016，4(2)：108-112.(HONG Ju，ZHAO Kai，LI Jintao，et al.Automatic establishment and realization of GPS net adjustment equation[J].Journal of Navigation and Positioning，2016，4(2)：108-112.)DOI：10.16547/j.cnki.10-1096.20160223.