求和∑與積分∫的若干性質(zhì)比較研究

摘要：積分是連續(xù)的數(shù)學(xué)工具，求和是離散的數(shù)學(xué)工具。積分與求和本質(zhì)上沒有區(qū)別，就像一對孿生兄弟，只是適用對象不同，一個用于連續(xù)的數(shù)學(xué)對象——函數(shù)，一個用于離散的數(shù)學(xué)對象——數(shù)列。本文總結(jié)了求和與積分的若干性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)求和與積分的性質(zhì)是基本平行的，求和的性質(zhì)一般都可以平行地推廣到積分上。

關(guān)鍵詞：求和；積分；性質(zhì)；比較；研究

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）23-0118-02

眾所周知，積分是經(jīng)過分割、近似求和、取極限三個步驟得到的。有人說積分就是一種特殊的求和。積分的英文單詞是“integration”，就是結(jié)合、一體化、累積的意思。積分是用于函數(shù)的數(shù)學(xué)工具，而求和是用于數(shù)列的數(shù)學(xué)工具。積分是連續(xù)的數(shù)學(xué)工具，求和是離散的數(shù)學(xué)工具。積分與求和本質(zhì)上沒有區(qū)別，就像一對孿生兄弟，只是適用對象不同，一個用于連續(xù)的數(shù)學(xué)對象——函數(shù)，一個用于離散的數(shù)學(xué)對象——數(shù)列。

與積分和求和的區(qū)別和聯(lián)系相仿的兩外兩個數(shù)學(xué)工具是導(dǎo)數(shù)（微分）和差分。導(dǎo)數(shù)（微分）是用于函數(shù)的，而差分是用于數(shù)列的。函數(shù)可以存在高階導(dǎo)數(shù)，數(shù)列可以存在高階差分。

定義 數(shù)列{ai}的一階差分為Δai=ai+1-ai，k階差分為Δkai=Δ（Δk-1ai）

我們把求和與積分的性質(zhì)對比如下。

性質(zhì)1 求和的值與下標(biāo)無關(guān)ai=aj=ak

性質(zhì)1' 定積分的值與積分變量無關(guān)f（x）dx=f（t）dt=f（u）du

由性質(zhì)1和性質(zhì)1'，我們知道求和下標(biāo)i與積分變量x都是啞變量。

性質(zhì)2 數(shù)乘性kai=kai

性質(zhì)2' 數(shù)乘性kf（x）dx=kf（x）dx

性質(zhì)3 可加性（ai±bi）=ai±bi

性質(zhì)3' 可加性（f（x）±g（x））dx=f（x）dx±g（x）dx

性質(zhì)4 區(qū)間可加性ai+ai=ai

性質(zhì)4' 區(qū)間可加性f（x）dx+f（x）dx=f（x）dx

性質(zhì)5

ai≤ai

性質(zhì)5'

f（x）dx≤f（x）dx

性質(zhì)6 設(shè)M和m分別是數(shù)列{a}的最大值和最小值，則nm≤ai≤nM

性質(zhì)6' 設(shè)M和m分別是函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則m（b-a）≤f（x）dx≤M（b-a）（a

性質(zhì)7 設(shè)f'（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f'（x）dx=f（b）-f（a）

性質(zhì)7' Δai=an+1-a1

從性質(zhì)7和性質(zhì)7'，我們可以看到定積分的牛頓——萊布尼茨公式（性質(zhì)7）平行推廣到數(shù)列求和的性質(zhì)7'，積分變成了求和，導(dǎo)數(shù)f'（x）變成了差分Δai，函數(shù)增量f（b）-f（a）變成了數(shù)列增量an+1-a1。我們可以看出性質(zhì)7和性質(zhì)7'，并無本質(zhì)上的區(qū)別，只不過一個是關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，一個是關(guān)于數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)7'的證明非常簡單，小學(xué)生就可以完成；而性質(zhì)7（牛頓——萊布尼茨公式）人類到了17世紀(jì)才發(fā)現(xiàn)，并且由大科學(xué)家牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立。我們現(xiàn)在能夠發(fā)現(xiàn)簡單的性質(zhì)7'和相對復(fù)雜的性質(zhì)7并無本質(zhì)上的區(qū)別。我們要從身邊簡單的對象入手，探索發(fā)現(xiàn)科學(xué)上復(fù)雜的結(jié)果。

性質(zhì)8 分部積分公式u（x）v'（x）dx=[u（x）v（x）]-v（x）u'（x）dx

性質(zhì)8' 分部求和公式aiΔbi=anbn+1-a1b1-Δaibi+1

從性質(zhì)8和性質(zhì)8'，我們可以看出二者之間也無本質(zhì)上的區(qū)別。積分變成了求和，導(dǎo)數(shù)v'（x）變成了差分Δbi，函數(shù)增量[u（x）v（x）]變成了數(shù)列增量anbn+1-a1b1。

通過上述性質(zhì)我們發(fā)現(xiàn)，積分及求和是普遍聯(lián)系的。求和具有的性質(zhì)，積分也有；反過來，積分具有的性質(zhì)，求和也基本具有。但是，需要我們注意的是，定積分中值性質(zhì)就不能平行推廣到求和。

我們在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，就是要經(jīng)常給同學(xué)總結(jié)和比較不同數(shù)學(xué)對象的類似性質(zhì)，用同學(xué)熟悉的求和的性質(zhì)來對比不熟悉的積分的性質(zhì)，以便于學(xué)生對積分的性質(zhì)理解和掌握更加到位。

參考文獻(xiàn)：

[1]李心燦，季文鐸，余任勝，等.大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題解析選編[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

[2]謝惠民，惲自求，易法愧，等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

作者簡介：吳楠（1983-），男，河北三河人，博士，講師，研究方向：主要從事復(fù)分析研究。

摘要：積分是連續(xù)的數(shù)學(xué)工具，求和是離散的數(shù)學(xué)工具。積分與求和本質(zhì)上沒有區(qū)別，就像一對孿生兄弟，只是適用對象不同，一個用于連續(xù)的數(shù)學(xué)對象——函數(shù)，一個用于離散的數(shù)學(xué)對象——數(shù)列。本文總結(jié)了求和與積分的若干性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)求和與積分的性質(zhì)是基本平行的，求和的性質(zhì)一般都可以平行地推廣到積分上。

關(guān)鍵詞：求和；積分；性質(zhì)；比較；研究

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）23-0118-02

眾所周知，積分是經(jīng)過分割、近似求和、取極限三個步驟得到的。有人說積分就是一種特殊的求和。積分的英文單詞是“integration”，就是結(jié)合、一體化、累積的意思。積分是用于函數(shù)的數(shù)學(xué)工具，而求和是用于數(shù)列的數(shù)學(xué)工具。積分是連續(xù)的數(shù)學(xué)工具，求和是離散的數(shù)學(xué)工具。積分與求和本質(zhì)上沒有區(qū)別，就像一對孿生兄弟，只是適用對象不同，一個用于連續(xù)的數(shù)學(xué)對象——函數(shù)，一個用于離散的數(shù)學(xué)對象——數(shù)列。

與積分和求和的區(qū)別和聯(lián)系相仿的兩外兩個數(shù)學(xué)工具是導(dǎo)數(shù)（微分）和差分。導(dǎo)數(shù)（微分）是用于函數(shù)的，而差分是用于數(shù)列的。函數(shù)可以存在高階導(dǎo)數(shù)，數(shù)列可以存在高階差分。

定義 數(shù)列{ai}的一階差分為Δai=ai+1-ai，k階差分為Δkai=Δ（Δk-1ai）

我們把求和與積分的性質(zhì)對比如下。

性質(zhì)1 求和的值與下標(biāo)無關(guān)ai=aj=ak

性質(zhì)1' 定積分的值與積分變量無關(guān)f（x）dx=f（t）dt=f（u）du

由性質(zhì)1和性質(zhì)1'，我們知道求和下標(biāo)i與積分變量x都是啞變量。

性質(zhì)2 數(shù)乘性kai=kai

性質(zhì)2' 數(shù)乘性kf（x）dx=kf（x）dx

性質(zhì)3 可加性（ai±bi）=ai±bi

性質(zhì)3' 可加性（f（x）±g（x））dx=f（x）dx±g（x）dx

性質(zhì)4 區(qū)間可加性ai+ai=ai

性質(zhì)4' 區(qū)間可加性f（x）dx+f（x）dx=f（x）dx

性質(zhì)5

ai≤ai

性質(zhì)5'

f（x）dx≤f（x）dx

性質(zhì)6 設(shè)M和m分別是數(shù)列{a}的最大值和最小值，則nm≤ai≤nM

性質(zhì)6' 設(shè)M和m分別是函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則m（b-a）≤f（x）dx≤M（b-a）（a

性質(zhì)7 設(shè)f'（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f'（x）dx=f（b）-f（a）

性質(zhì)7' Δai=an+1-a1

從性質(zhì)7和性質(zhì)7'，我們可以看到定積分的牛頓——萊布尼茨公式（性質(zhì)7）平行推廣到數(shù)列求和的性質(zhì)7'，積分變成了求和，導(dǎo)數(shù)f'（x）變成了差分Δai，函數(shù)增量f（b）-f（a）變成了數(shù)列增量an+1-a1。我們可以看出性質(zhì)7和性質(zhì)7'，并無本質(zhì)上的區(qū)別，只不過一個是關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，一個是關(guān)于數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)7'的證明非常簡單，小學(xué)生就可以完成；而性質(zhì)7（牛頓——萊布尼茨公式）人類到了17世紀(jì)才發(fā)現(xiàn)，并且由大科學(xué)家牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立。我們現(xiàn)在能夠發(fā)現(xiàn)簡單的性質(zhì)7'和相對復(fù)雜的性質(zhì)7并無本質(zhì)上的區(qū)別。我們要從身邊簡單的對象入手，探索發(fā)現(xiàn)科學(xué)上復(fù)雜的結(jié)果。

性質(zhì)8 分部積分公式u（x）v'（x）dx=[u（x）v（x）]-v（x）u'（x）dx

性質(zhì)8' 分部求和公式aiΔbi=anbn+1-a1b1-Δaibi+1

從性質(zhì)8和性質(zhì)8'，我們可以看出二者之間也無本質(zhì)上的區(qū)別。積分變成了求和，導(dǎo)數(shù)v'（x）變成了差分Δbi，函數(shù)增量[u（x）v（x）]變成了數(shù)列增量anbn+1-a1b1。

通過上述性質(zhì)我們發(fā)現(xiàn)，積分及求和是普遍聯(lián)系的。求和具有的性質(zhì)，積分也有；反過來，積分具有的性質(zhì)，求和也基本具有。但是，需要我們注意的是，定積分中值性質(zhì)就不能平行推廣到求和。

我們在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，就是要經(jīng)常給同學(xué)總結(jié)和比較不同數(shù)學(xué)對象的類似性質(zhì)，用同學(xué)熟悉的求和的性質(zhì)來對比不熟悉的積分的性質(zhì)，以便于學(xué)生對積分的性質(zhì)理解和掌握更加到位。

參考文獻(xiàn)：

[1]李心燦，季文鐸，余任勝，等.大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題解析選編[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

[2]謝惠民，惲自求，易法愧，等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

作者簡介：吳楠（1983-），男，河北三河人，博士，講師，研究方向：主要從事復(fù)分析研究。

摘要：積分是連續(xù)的數(shù)學(xué)工具，求和是離散的數(shù)學(xué)工具。積分與求和本質(zhì)上沒有區(qū)別，就像一對孿生兄弟，只是適用對象不同，一個用于連續(xù)的數(shù)學(xué)對象——函數(shù)，一個用于離散的數(shù)學(xué)對象——數(shù)列。本文總結(jié)了求和與積分的若干性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)求和與積分的性質(zhì)是基本平行的，求和的性質(zhì)一般都可以平行地推廣到積分上。

關(guān)鍵詞：求和；積分；性質(zhì)；比較；研究

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）23-0118-02

眾所周知，積分是經(jīng)過分割、近似求和、取極限三個步驟得到的。有人說積分就是一種特殊的求和。積分的英文單詞是“integration”，就是結(jié)合、一體化、累積的意思。積分是用于函數(shù)的數(shù)學(xué)工具，而求和是用于數(shù)列的數(shù)學(xué)工具。積分是連續(xù)的數(shù)學(xué)工具，求和是離散的數(shù)學(xué)工具。積分與求和本質(zhì)上沒有區(qū)別，就像一對孿生兄弟，只是適用對象不同，一個用于連續(xù)的數(shù)學(xué)對象——函數(shù)，一個用于離散的數(shù)學(xué)對象——數(shù)列。

與積分和求和的區(qū)別和聯(lián)系相仿的兩外兩個數(shù)學(xué)工具是導(dǎo)數(shù)（微分）和差分。導(dǎo)數(shù)（微分）是用于函數(shù)的，而差分是用于數(shù)列的。函數(shù)可以存在高階導(dǎo)數(shù)，數(shù)列可以存在高階差分。

定義 數(shù)列{ai}的一階差分為Δai=ai+1-ai，k階差分為Δkai=Δ（Δk-1ai）

我們把求和與積分的性質(zhì)對比如下。

性質(zhì)1 求和的值與下標(biāo)無關(guān)ai=aj=ak

性質(zhì)1' 定積分的值與積分變量無關(guān)f（x）dx=f（t）dt=f（u）du

由性質(zhì)1和性質(zhì)1'，我們知道求和下標(biāo)i與積分變量x都是啞變量。

性質(zhì)2 數(shù)乘性kai=kai

性質(zhì)2' 數(shù)乘性kf（x）dx=kf（x）dx

性質(zhì)3 可加性（ai±bi）=ai±bi

性質(zhì)3' 可加性（f（x）±g（x））dx=f（x）dx±g（x）dx

性質(zhì)4 區(qū)間可加性ai+ai=ai

性質(zhì)4' 區(qū)間可加性f（x）dx+f（x）dx=f（x）dx

性質(zhì)5

ai≤ai

性質(zhì)5'

f（x）dx≤f（x）dx

性質(zhì)6 設(shè)M和m分別是數(shù)列{a}的最大值和最小值，則nm≤ai≤nM

性質(zhì)6' 設(shè)M和m分別是函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則m（b-a）≤f（x）dx≤M（b-a）（a

性質(zhì)7 設(shè)f'（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f'（x）dx=f（b）-f（a）

性質(zhì)7' Δai=an+1-a1

從性質(zhì)7和性質(zhì)7'，我們可以看到定積分的牛頓——萊布尼茨公式（性質(zhì)7）平行推廣到數(shù)列求和的性質(zhì)7'，積分變成了求和，導(dǎo)數(shù)f'（x）變成了差分Δai，函數(shù)增量f（b）-f（a）變成了數(shù)列增量an+1-a1。我們可以看出性質(zhì)7和性質(zhì)7'，并無本質(zhì)上的區(qū)別，只不過一個是關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，一個是關(guān)于數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)7'的證明非常簡單，小學(xué)生就可以完成；而性質(zhì)7（牛頓——萊布尼茨公式）人類到了17世紀(jì)才發(fā)現(xiàn)，并且由大科學(xué)家牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立。我們現(xiàn)在能夠發(fā)現(xiàn)簡單的性質(zhì)7'和相對復(fù)雜的性質(zhì)7并無本質(zhì)上的區(qū)別。我們要從身邊簡單的對象入手，探索發(fā)現(xiàn)科學(xué)上復(fù)雜的結(jié)果。

性質(zhì)8 分部積分公式u（x）v'（x）dx=[u（x）v（x）]-v（x）u'（x）dx

性質(zhì)8' 分部求和公式aiΔbi=anbn+1-a1b1-Δaibi+1

從性質(zhì)8和性質(zhì)8'，我們可以看出二者之間也無本質(zhì)上的區(qū)別。積分變成了求和，導(dǎo)數(shù)v'（x）變成了差分Δbi，函數(shù)增量[u（x）v（x）]變成了數(shù)列增量anbn+1-a1b1。

通過上述性質(zhì)我們發(fā)現(xiàn)，積分及求和是普遍聯(lián)系的。求和具有的性質(zhì)，積分也有；反過來，積分具有的性質(zhì)，求和也基本具有。但是，需要我們注意的是，定積分中值性質(zhì)就不能平行推廣到求和。

我們在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，就是要經(jīng)常給同學(xué)總結(jié)和比較不同數(shù)學(xué)對象的類似性質(zhì)，用同學(xué)熟悉的求和的性質(zhì)來對比不熟悉的積分的性質(zhì)，以便于學(xué)生對積分的性質(zhì)理解和掌握更加到位。

參考文獻(xiàn)：

[1]李心燦，季文鐸，余任勝，等.大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題解析選編[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

[2]謝惠民，惲自求，易法愧，等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

作者簡介：吳楠（1983-），男，河北三河人，博士，講師，研究方向：主要從事復(fù)分析研究。