優(yōu)化解題過程　培養(yǎng)思維能力

龍正祥

(陜西省西安惠安中學，710302)

優(yōu)化解題過程培養(yǎng)思維能力

龍正祥

(陜西省西安惠安中學，710302)

數(shù)學教育作為培養(yǎng)人的思維能力、創(chuàng)新意識,是豐富多彩、充滿活力的．新課程標準強調(diào):高中數(shù)學課程應注重提高學生的數(shù)學思維能力,這是數(shù)學教育的基本目標之一．從高考改革的趨勢來看,將來的高考試題會給思維能力強的學生留下了充分施展才能的空間，在高考中這種思維能力主要體現(xiàn)在解題能力上.解題能力的提高在高考數(shù)學復習課中,主要是讓學生通過一題多法、多題共法、一題多變、一題多用、一題多聯(lián)的思維訓練逐漸培養(yǎng)思維靈活性、廣闊性、嚴謹性、批判性、深刻性等品質(zhì)．

一、一題多法，培養(yǎng)思維的靈活性

解法1(利用三角函數(shù)的有界性) 設動點D(3+cosθ,sinθ),則

解法3(利用三角不等式)

由柯西不等式，得

需要特別指出的是,一題多法的價值并不是為了使學生掌握這道題的所有解法,而在于使學生學會從不同角度、不同方位去審視、去思考,從而溝通知識之間的縱橫聯(lián)系,激發(fā)學生的求知欲,達到培養(yǎng)學生思維靈活性品質(zhì)的目標.要實現(xiàn)這一目標,需教師引導學生多方位思考,并及時調(diào)整，否則可能造成學生的迷惘,走入誤區(qū).

二、多題共法，培養(yǎng)思維的廣闊性

例2(1)設關于x的方程x2+2x+a=0在(0,+∞)上有解,求實數(shù)a的取值范圍.

(2)設關于x的方程sin2x+2sinx+a=0有解,求實數(shù)a的取值范圍；

(3)設關于x的不等式sin2x+2sinx+a>0有解,求實數(shù)a的取值范圍.

(4)設關于x的不式sin2x+2sinx+a>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

經(jīng)過分析、比對,雖然這個例子中(1)～(4)數(shù)學情境不同,分別以二次方程、三角方程、三角不等式的“面孔”出現(xiàn),但其本質(zhì)特征——通過兩個變量的相互關系,尋找其中一個變量的取值(范圍)是相同的,所以都可以用“分離法”解決.

對第(4)問略解如下:

sin2x+2sinx+a>0恒成立等價于a>-(sinx+1)2+1對x∈R恒成立.

∵f(x)=-(sinx+1)2+1的最大值為1,故所求a的取值范圍是(1,+∞).

多題共法需要學生有一定的類比、觀察和概括能力,對學生掌握基本數(shù)學技能和解題規(guī)律性有著一定的積極作用,能達到做一題,會一類;用一法,解多題的效果.有利于求同思維的發(fā)展,有利于培養(yǎng)學生思維的廣闊性.

三、一題多變——培養(yǎng)思維的嚴謹性

例3已知a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=1,求證:|ac+bd|≤1.

在學生用比較法、分析法、綜合法證明之后, 可啟發(fā)學生反思是否還有其它解法.經(jīng)過學生獨立思考、合作交流,分析歸納出柯西不等式法、三角代換法、向量法、復數(shù)法、幾何法等方法.通過師生共同探究,還可以將例題變形、推廣,得出一系列新題:

變式2已知a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=1,求證:|ac-bd|≤1；

變式5已知a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=1,ab+cd=1,求證:ab-cd=0；

以“原型題”作為素材,適當改變條件或問題背景；或?qū)栴}作橫、縱向拓展引申,能大大增強學生對問題的認識,辯證地分析和應用條件,對培養(yǎng)思維嚴謹性大有裨益.課堂教學中若能發(fā)揮此類題的輻射作用,可起到事半功倍的效能.

四、一題多用，培養(yǎng)思維的批判性

該題的證明比較簡單，這里從略.此函數(shù)不妨簡稱“對勾”函數(shù),其單調(diào)性在求最值方面用途非常廣泛,我們可以利用這種函數(shù)的結論或方法解決一類函數(shù)最值問題.

(i)若0

(ii)若c>1,求f(x)的最小值.

f(t)min=f(1)=2.

由單調(diào)性可得

利用基本不等式求最值是常用方法之一,但取“=”條件不具備時,我們應想到利用“對勾”函數(shù)的單調(diào)性,讓例4的功用得到彰顯.

五、一題多聯(lián)——培養(yǎng)思維的深刻性

思路1鑒于MF1和MF2是橢圓上點與兩焦點連線,故可聯(lián)系橢圓定義.

∵|MF1|+|MF2|=2a,

|MF1|2+|MF2|2=4c2,

思路2由F1M⊥F2M,可聯(lián)系直線的斜率.設M(x0,y0) (-a

①

又點M在橢圓C上,有

②

思路3采用“交軌法”,聯(lián)系點M上是以F1F2為直徑的圓上.

因為F1M⊥F2M,所以點M所在的軌跡方程為x2+y2=c2.

與橢圓方程聯(lián)立,可得

(a2-b2)x2-a2(c2-b2)=0,

思路4由F1M⊥F2M及張角∠F1MF2大小隨點M的變化趨勢,可聯(lián)系運動觀念.

一個數(shù)學問題,可從不同角度、不同的知識點出發(fā),都能得到圓滿的解決.同時，在問題解決過程中,思維的廣闊性、深刻性也得到深化．