Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的生存分析

山西醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計教研室（030001） 梁 潔 王 彤崔 燕

?

Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的生存分析

山西醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計教研室（030001） 梁 潔 王 彤△崔 燕

問題的提出

例：用兩種療法治療94名乳腺癌患者隨訪數(shù)月后的結果，其中針對46名乳腺癌患者用放射性療法（RT）治療，另48名乳腺癌患者用放射性療法加輔助性化學療法（RCT）治療，每4～6個月隨訪一次，觀察乳腺收縮情況，比較兩種療法的優(yōu)劣［1］。

表1　兩種療法治療94名乳腺癌患者隨訪數(shù)月后結果

表1中數(shù)據(jù)包含了不同患者乳腺收縮的時間信息，但沒有觀察到精確時間，其中38名患者在隨訪結束時仍沒有觀察到乳腺收縮，此為右刪失數(shù)據(jù)；另56名患者的乳腺收縮時間落在不同時間區(qū)間內，例如觀察時間（6，10］，表示在第6個月隨訪時患者未出現(xiàn)乳腺收縮，但是在下一次隨訪，即第10個月時，患者出現(xiàn)了乳腺收縮，乳腺收縮情況出現(xiàn)在第6個月至第10個月兩次隨訪之間，但精確的時間未知，此為Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。當數(shù)據(jù)中包含精確數(shù)據(jù)，左/右刪失數(shù)據(jù)及Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)時，稱其為混合區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。

Ⅱ型區(qū)間刪失主要發(fā)生在需要定期隨訪觀察的醫(yī)療研究數(shù)據(jù)中，許多臨床試驗和縱向研究都存在這種現(xiàn)象，如腫瘤發(fā)病率的研究，AIDS的臨床醫(yī)學研究等。由于在實際隨訪中，有些患者不是按照預先確定的觀測時間進行觀察，而是選擇在較方便的時間進行觀察；有些患者可能會錯過一個或多個觀察后再繼續(xù)進行觀察。因此不同患者的隨訪觀察時間是不同的，研究者只能得到患者在出現(xiàn)某個結局之前最后一次臨床觀察的時間和出現(xiàn)此結局之后第一次臨床觀察的時間，即Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。如何正確處理此類數(shù)據(jù)是得出正確結論的關鍵。Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)既不同于可以精確測得的數(shù)據(jù)，又不同于缺失數(shù)據(jù)，我們要根據(jù)其提供的不完整的數(shù)據(jù)信息，來估計出相對穩(wěn)定的回歸模型參數(shù)，從而解決臨床實際問題。

處理此類數(shù)據(jù)的傳統(tǒng)方法有：

（1）忽略Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，用剩余數(shù)據(jù)進行生存分析。顯然這種方法會丟失數(shù)據(jù)信息，尤其在Ⅱ型區(qū)間刪失比例較大的情況下（本例Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的比例為59.6%），得到的結果通常是有偏的，不可信的。

（2）Ad hoc：用區(qū)間左端點、右端點或中點代替區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。Flygare（1985）［2］用兩參數(shù)Weibull回歸模型，分別求得參數(shù)的最大似然估計值（MLE）以及用區(qū)間中點替代刪失數(shù)據(jù)后的參數(shù)估計值（MDE），并對兩者進行比較，發(fā)現(xiàn)在刪失比例較大時，MDE可能會造成對參數(shù)系統(tǒng)性的錯估，MLE優(yōu)于MDE。Wei （1989）［3］將中點填補法應用于刪失比例較小且區(qū)間寬度較窄的Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，但當刪失比例較大、區(qū)間寬度較寬且有變異時，此法對經(jīng)驗生存函數(shù)估計會產(chǎn)生偏倚，導致估計參數(shù)有偏，并低估回歸系數(shù)的標準誤。

解決方法

為了更好地利用Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)信息，獲得更精確的參數(shù)估計值，并克服復雜的計算過程，解決含有Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的回歸分析方法有：參數(shù)回歸分析，半?yún)?shù)回歸分析，非參數(shù)最大似然估計以及填補法。

1.參數(shù)回歸分析

目前對于Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的處理方法多為半?yún)?shù)回歸分析和非參數(shù)回歸分析方法，參數(shù)回歸分析方法研究相對較少。Lindsey（1998）［5］總結了含有混合區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的參數(shù)回歸分析，分別在9種不同的分布假設下，對3個存在嚴重混合區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的實例進行模擬。發(fā)現(xiàn)對嚴重混合區(qū)間刪失數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計時，改變分布假設后所得估計結果很穩(wěn)健，并且與相應的非參數(shù)模型相比，參數(shù)模型包含了更多的數(shù)據(jù)信息，而且可以直接利用最大似然的理論來實現(xiàn)。在分析Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)或混合區(qū)間刪失數(shù)據(jù)時，常用的參數(shù)回歸模型包括線性回歸模型和Weibull回歸模型。

（1）線性回歸模型：G′omez（2003）［6］假設自變量為離散型分布，在線性回歸模型基礎上，用普通最小二乘法與兩步條件算法聯(lián)合估計回歸系數(shù)和協(xié)變量的邊際分布。但對于自變量為連續(xù)性分布的Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，其聯(lián)合似然方程很復雜，此法不適用。G′omez （2005）［7］用優(yōu)化技術對其進行改進，但是這種優(yōu)化技術仍然不適用于自變量連續(xù)性分布的Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。為解決這個問題，Calle（2005）［8］提出了半?yún)?shù)貝葉斯方法，用Dirichlet混合過程指定模型中除Ⅱ型區(qū)間刪失協(xié)變量以外的所有成分并將其參數(shù)化，但是其迭代算法和抽樣過程十分復雜耗時。丁邦?。?012）［9］假設自變量為離散分布的Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，應變量為可觀測數(shù)據(jù)，用EM算法將區(qū)間刪失的問題轉化為缺失值問題：E步根據(jù)似然方程建立偽似然方程，用缺失值所對應的期望值進行填補；M步最大化偽似然方程得到下一步迭代的參數(shù)估計值。對應每一個E步，有相應的M步，經(jīng)過迭代得到線性回歸的參數(shù)極大似然估計值（MLE）并證明在一定條件下估計量分布漸近正態(tài)分布。Yang（2014）［10］提出在無信息區(qū)間刪失條件下，結合對數(shù)樣條的線性回歸分析來解決自變量為連續(xù)性分布的Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。將（li，ui）劃分成（K +1）個子區(qū)間，用對數(shù)樣條法構造時間（T）的分布函數(shù)，得到對數(shù)樣條模型的對數(shù)似然函數(shù)，從而計算參數(shù)的極大似然估計值。需要注意的是，存在Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)時，對數(shù)似然函數(shù)可能是非凸的，如果用修正的Newton-Raphson法，得到的結果可能是局部最大值而不是全局最大值，且當刪失區(qū)間長度固定且較寬時，會出現(xiàn)找不到極值的情況或遇到算法不收斂問題（由于樣條光滑法適用于密集數(shù)據(jù)，區(qū)間較寬，會導致數(shù)據(jù)變得非常稀疏）。此時求出T的條件期望，用條件期望替代未知T，算出線性回歸模型的最小二乘估計值。將此法與中點替代法相比，當刪失比例較大時，由中點替代法得到的估計有偏，且偏倚隨著刪失區(qū)間的增寬而增加，而對數(shù)樣條法可得到更加精確的估計值和較小的誤差均方；與半?yún)?shù)貝葉斯方法相比，兩者結果相近，但運算速度比其快100倍。當刪失區(qū)間寬度固定且較小時，對數(shù)樣條法表現(xiàn)最好，但當區(qū)間寬度較大時，三種方法的表現(xiàn)都不好，特別是對數(shù)樣條法，其誤差均方相當大，在程序運行過程中也會遇到算法不收斂的問題。

（2）Weibull回歸模型：Pradhan（2014）［11］假設區(qū)間刪失機制是無信息發(fā)生的，即刪失信息與生存事件的發(fā)生相互獨立，生存時間為Weibull分布時，計算在伽馬先驗分布下未知參數(shù)的貝葉斯估計。對于Weibull分布，當形狀參數(shù)α已知，此時尺度參數(shù)β共軛先驗分布為Gamma分布。但當形狀參數(shù)也未知時，即使存在連續(xù)-離散的聯(lián)合先驗分布（連續(xù)指尺度參數(shù)，離散指形狀參數(shù)），Weibull分布也沒有連續(xù)共軛先驗；且由于Gamma共軛先驗不好解釋，所以此法應用有很大的局限性。故當兩參數(shù)都未知時，假設兩參數(shù)先驗分布為相互獨立的Gamma分布，用重要抽樣技術來實現(xiàn)貝葉斯估計。但貝葉斯方法計算復雜，且Pradhan沒有對貝葉斯估計與EM計算的最大似然估計進行比較，也沒有考慮協(xié)變量對貝葉斯估計的影響。

2.半?yún)?shù)回歸分析

在處理Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)時，半?yún)?shù)回歸方法比較常用，由于其同時考慮了發(fā)生結局的時間和影響結局的協(xié)變量，而且在計算上又優(yōu)于復雜的非參數(shù)最大似然估計，故比較常用。

（1）Cox比例風險（Cox PH）模型：Satten （1996）［12］提出Cox比例風險模型，用Monte-Carlo結合EM算法來估計回歸方程，此法需要進行大量計算。Goggins（1998）［13］在Satten的基礎上，將Monte-Carlo模擬放在EM算法的E步，從而避免大量的計算。Goetghebeur（2000）［14］將EM算法與Breslow估計相結合：M步用最大化標準Cox偏似然來估計回歸系數(shù)，然后用Breslow估計基線風險；E步估計風險集大小，以及在每一個可能的時間集中事件發(fā)生的個數(shù)。E步同Turnbull的自相合算法，但計算更簡單也不需要迭代。Betensky（2002）［15］發(fā)展了局部似然估計方法，平滑基線風險函數(shù)，其計算比較復雜。Cai （2003）［16］假設一個分段線性基線風險，用懲罰樣條方法估計限制最大似然估計。Heller（2011）［17］在估計方程的基礎上，用一個反概率權重來選擇明確順序的事件時間對，并將其應用于結腸癌數(shù)據(jù)分析中。此法不需要估計基線風險，用標準的結構方程技術產(chǎn)生估計值及其近似分布，如果恰當定義選擇概率模型和比例風險模型，就能建立無偏估計方程，且計算簡單，適用于刪失比例較大的臨床數(shù)據(jù)。Sun（2013）［18］基于修正的局部似然產(chǎn)生兩種估計過程：第一種估計過程是以區(qū)間的左端點填補Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，轉化為右刪失數(shù)據(jù)來處理，方法簡單易行，但是只利用了區(qū)間左端點的信息；第二種估計過程利用了兩個區(qū)間端點，構建出常見的局部似然方程。兩種方法都在估計方程理論基礎上進行估計，避免了求基線累積風險函數(shù)，經(jīng)模擬研究兩種方法都有效可行。比較而言，在刪失區(qū)間較寬的情況下，第二種估計過程可能會更穩(wěn)定，效果更好。

（2）半?yún)?shù)AFT，PO，AH模型：由于Cox PH模型并不能很好地擬合所有生存數(shù)據(jù)，對于某些生存數(shù)據(jù)要考慮線性轉換模型。Odell（1992）［19］將基于Weibull的加速失效時間（AFT）回歸模型，應用于Framingham的冠心病研究數(shù)據(jù)中，計算模型參數(shù)的最大似然估計值并與中點替代法進行比較，發(fā)現(xiàn)前者的估計結果更好。Murphy（1997）［20］提出應用比例優(yōu)勢（PO）模型，用偽似然方法估計參數(shù)。Shen（1998）［21］用sieve極大似然估計和單調樣條方法對PO模型的基線風險和回歸系數(shù)進行估計。Rabinowitz（2000）［22］基于條件logistic回歸擬合PO模型，不需要估計無限維度的冗余參數(shù)，風險集越小，其估計效果越好。Zeng（2006）［23］提出了用可加風險（AH）模型。Zhu （2008）［24］提出將Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)通過某種轉換方式轉換為Ⅰ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，進而用處理Ⅰ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的方法構建AH模型。Wang（2010）［25］在AH模型條件下，用一些基于估計方程的方法來處理Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，這種方法比較穩(wěn)健，可以應用于有信息和無先驗信息的區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，且不用估計基線方程，實現(xiàn)過程簡單快速。

（3）其他模型：Lin（2010）［26］提出了半?yún)?shù)probit模型，作為一種替代PH，PO，AH，AFT的模型，從頻率論和貝葉斯的觀點，進行Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)回歸系數(shù)及基線生存函數(shù)的平滑估計，簡單易行。此法基于似然且不需要對觀察過程進行假設，所以對于任何區(qū)間刪失數(shù)據(jù)都適用，可以進行拓展。Shao（2013）［27］用二分模型來描述這種含有復雜數(shù)據(jù)的生存過程，用靈活的變系數(shù)模型擬合Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。通過交叉驗證法選擇帶寬，用局部多項式方法來擬合模型中未知方程，討論估計值的穩(wěn)定性和漸近性分布，并提出用bootstrap做推斷，構建BIC類的模型選擇方法，合理解釋了模型中的參數(shù)和非參數(shù)部分，易于理解，計算和推斷易于完成。

3.非參數(shù)最大似然估計

在多數(shù)情況下，含Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的隨機變量總體分布未知，所以非參數(shù)回歸分析方法的研究和應用較多。Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)生存函數(shù)的非參數(shù)最大似然估計沒有閉集解，常用的獲得非參數(shù)最大似然估計值的方法有：

Turnbull算法：Turnbull（1976）［28］提出自相合算法，結合EM算法得到單調收斂的經(jīng)驗分布函數(shù)最大似然估計值，與Newton-Raphson算法相比，此法運算簡單，容易實現(xiàn)，便于理解，所以Turnbull的自相合算法在處理Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)時，常被采用。Gentlemen （1994）［29］應用凸優(yōu)化技術驗證自相合算法得到的最大似然估計值是唯一的。Shen（2014）［30］在應用Turnbull自相合算法的前提下，考慮了自變量的權重，獲得條件分布函數(shù)的非參數(shù)估計值，在帶寬固定的情況下，也容易實現(xiàn)。但是自相合算法在刪失比例較大的情況下，估計值偏倚會增大。

其他求非參數(shù)最大似然估計值的算法：Wang （2008）［31］提出Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)降維的非參數(shù)最大似然算法，用CNM（constrained Newton method），SBN （subspace-based Newton），及ICM（iterative convex minorant algorithm）算法有效地剔除迭代過程中出現(xiàn)的冗余支撐區(qū)間，找到梯度最大的支撐區(qū)間，從而有效提高計算效率。用迭代的方法估計非參數(shù)最大似然估計值的缺點是難以得到估計值的漸近分布。Yuan （2014）［32］用保序回歸的方法得到一個近似的非參數(shù)最大似然估計值，并對其漸近分布和收斂速度做出評價。

上述幾種算法中自相合算法簡單易懂容易完成，對于小/中等樣本數(shù)據(jù)，或右刪失比例較大的數(shù)據(jù)，此法是很好的選擇，但目前還沒有方法來證明其估計值即為非參數(shù)最大似然估計值；ICM算法迭代步驟較少，計算所用時間短，收斂速度快，而且它們的整體收斂性可以被證明；保序回歸算法可以得到估計值的漸近分布，但計算較復雜。

4.填補法

在用非參數(shù)回歸分析方法分析Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)時，除了用以上算法求含有Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)變量的最大似然估計值之外，還可以用填補法將Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)轉換成精確數(shù)據(jù)或者Ⅰ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，進而用成熟的方法求解其非參數(shù)最大似然估計值。Pan（2000）［33］用兩種多重填補法：PMDA（poor man｀s data augmentation）與ANDA（asymptotic normal data augmentation），將Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)問題轉化為右刪失數(shù)據(jù)問題，容易實現(xiàn)，與非參數(shù)最大似然估計進行比較，在小樣本和中等樣本情況下，多重填補法得到的結果更好。當刪失比例較大時，推薦ANDA填補法。Xiao （2012）［34］利用多重填補的思想，在Weibull分布條件下用迭代單點填補法——分位數(shù)填補法處理Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，即用刪失區(qū)間的條件分位數(shù)填補刪失數(shù)據(jù)，估計結果穩(wěn)定，方法簡單易實現(xiàn)，但在刪失比例較大時估計可能會有偏。Deng（2014）［35］用無偏轉換的思想，將Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)進行無偏轉換，轉換后的值與真值有相同的條件期望，得到回歸函數(shù)的最鄰近估計，其有很強的穩(wěn)定性和漸近正態(tài)性。Han（2013）［36］建立刪失數(shù)據(jù)的偽觀察值POS（pseudo-observations）［37］，通過PH或PO等適當?shù)倪B接函數(shù)，將問題轉化為廣義線性回歸模型，這種方法計算比較簡單，不需要建立許多假設，可考慮將此法應用于雙邊區(qū)間刪失［38］及其他類型的區(qū)間刪失數(shù)據(jù)分析。

結 論

生存分析的首要任務是估計生存函數(shù)。估計的生存函數(shù)可用來：評價生存變量的模型假設是否正確；估計生存概率；比較不同組之間的生存情況；預測患者未來的生存時間等等。參數(shù)模型有光滑數(shù)據(jù)的內在性質，又可從鄰近點獲取數(shù)據(jù)信息，與非參數(shù)模型相比，Ⅱ型區(qū)間刪失對于參數(shù)模型的影響要小，因此如果有足夠的先驗信息提示數(shù)據(jù)可用參數(shù)模型，那么參數(shù)估計要比非參數(shù)估計更簡單高效。然而在實際研究中，常常沒有足夠的先驗信息提示哪一種參數(shù)模型假設是合理的，因而半?yún)?shù)回歸分析和非參數(shù)回歸分析被更多地應用于分析含Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的實例中。而對于生存函數(shù)的半?yún)?shù)和非參數(shù)估計，與右刪失數(shù)據(jù)的處理方法相比，無論在理論還是實踐中，對Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的處理方法要更復雜。

在半?yún)?shù)回歸分析中，有時既要估計回歸系數(shù)，也要估計基線生存函數(shù)。但對于Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)而言，估計基線生存函數(shù)或風險函數(shù)的方法和計算是比較難的，由于其復雜的數(shù)據(jù)結構以及與樣本量近似的參數(shù)個數(shù)特點，尋找一個合適的理論依據(jù)也很難。有些方法不估計基線生存函數(shù)，直接估計回歸參數(shù)，比如在PH模型下的邊際似然方法、Monte Carlo EM算法，但這些方法都是在假設事件發(fā)生時間的發(fā)生次序與觀察到的數(shù)據(jù)一致的前提下估計的，而且計算都比較復雜。

非參數(shù)回歸分析常用的Turnbull自相合算法，只考察了自變量相互獨立，刪失區(qū)間寬度固定的情況，沒有考慮刪失區(qū)間較寬或有重疊或區(qū)間寬窄不一的情況，而且刪失比例的增大對結果的精度有影響。

由于上述方法計算比較復雜，或需要許多假設，而這些假設在實際應用中很難滿足，所以目前在進行含Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的生存分析時，一方面可以考慮用其他模型來估計生存函數(shù)，比如半?yún)?shù)probit模型，變系數(shù)模型，兩者估計過程中假設較少，而且應用比較廣泛；另一方面考慮填補法，將Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的問題轉換成精確數(shù)據(jù)或Ⅰ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。但是簡單地用區(qū)間中點或端點進行填補會造成結果的偏倚，為了在轉換過程中更好地利用區(qū)間信息，得到精確有效的估計結果，可以使用Deng的無偏轉換填補思想和POS方法，這兩種方法更好地利用了區(qū)間信息，容易實現(xiàn)且估計結果更加穩(wěn)定。

在實際應用中，對于刪失比例較小，刪失區(qū)間寬度適中、變異較小的Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，上述許多方法可得到較為滿意的估計結果，但是對于刪失比例較大，刪失區(qū)間較寬，變異較大，協(xié)變量個數(shù)較多的Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，如何從眾多方法中做出較好的選擇并進行成功的應用還需進一步研究討論。

參考文獻

［1］Sun J.The Statistical Analysis of Interval-censored Failure Time Data.American：springer，2006.

［2］FlygareME.Maximum Likelihood Estimation For The 2-Parameter Weibull Distribution Based On Interval-Data.Ieee Transations on Reliability，1985，R-34，1.

［3］Wei LJ，Lin DY，Weissfeld L.Regression analysis of multivariate incomplete failure time data by modeling marginal distributions.Journal of the American Statistical Association，1989，84：1065-1073.

［4］Goggins WB.A Proportional Hazards Model for MultivariateInterval-Censored Failure Time Data.Biometrics，2000，5（6）：940-943.

［5］Lindesey JK.A study of interval censoring in parametric regressionmodels.Lifetime Data Analysis，1998，4：329-354.

［6］G′omez G.Inference for a linear regression model with anintervalcensored covariate.Statist Med，2003，22：409-425.

［7］G′omez G，Calle ML，Oller R.Frequentist and Bayesian approaches for interval-censored data.Statistics Papers，2005，2：139-173.

［8］Calle ML，G′omez G.A semiparametric hierarchical method for a regression model with an interval-censored covariate.Australian &New Zealand Journal of Statistics，2005，47：351-364.

［9］Ding BJ.Regression model with an interval-censored data covariant.Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2012，28（2）：.

［10］Yang Y.A Logspline Estimation for a Linear Regression Model withan Interval-Censored Continuous Covariate.Taylor & Francis，2014，43（10）：2521-2539.

［11］Pradhan B.Analysis of Interval-Censored Data with Weibull LifetimeDistribution.Sankhya：The Indian Journal of Statistics，2014，76-B（1）：120-139.

［12］Satten GA.Rank-based inference in the proportional hazards model for interval-censored data.Biometrika，1996，83：355-370.

［13］Goggins WB.A Markov chain Monte Carlo EM algorithm for ana-lyzinginterval-censored data under the Cox proportional hazards model.Biometrics，1998，54（4）：1498-1507.

［14］Goetghebeur E.Semiparametric Regression Analysis of Interval-CensoredData.Biometrics，2000，5（6）：1139-1144.

［15］Betensky R，JCLL，Wand AMP.A local likelihood proportional hazards model for intervalcensored data.Statistics in medicine，2002，（21）：263-275.

［16］Cai T，Betensky RA.Hazard regression for interval-censored data with penalized spline.Biometrics，2003，59：570-579.

［17］Glenn Heller.Proportional hazards regression with interval censored data using an inverse probability weight.Lifetime Data Anal，2011，17：373-385.

［18］Sun J.Simple estimation procedures for regression analysis of interval-censored failure time data under the proportional hazards model.Lifetime Data Anal，2015，21（1）：138-55.

［19］Odell PM.Maximum Likelihood Estimation for Interval-Censored D.Biometrics，1992，48（3）：951-959.

［20］Murphy SA，Rossini AJ，Van der Vaart AW.Maximum likelihood estimation in the proportional odds model.Journal of the American Statistical Association，1997，92：968-976.

［21］Shen X.Proportional odds regression and sieve maximum likelihoodestimation.Biometrika Trust，1998，85（1）：165-177.

［22］Daniel Rabinowitz RABA.Using Conditional logistic Regression to Fit ProportionalOdds Models to Interval Censored Data.Biometrics，2000，56：511-518.

［23］Zeng D.Semiparametric additive risks model for interval-censoreddata.Statistica Sinica，2006，16：287-302.

［24］Zhu L.A transformation approach for the analysis of interval-censored failure time data1.Lifetime Data Anal，2008，14：167-178.

［25］Wang L.Regression analysis of case II interval-censored failuretime data with the additive hazards model.Statistica Sinica，2010，20：1709-1723.

［26］Lin X.A semiparametric probit model for case 2 interval-censoredfailure time data.Statistics in Medicine，2010，DOI：10.1002/ sim.3832.

［27］Shao F.Semiparametric varying-coefficient model for intervalcensored data with a cured proportion.Statistics in Medicine，2013，DOI：10.1002/ sim.6054.

［28］Turnbull BW.The Empirical Distribution Function with Arbitrarily-Grouped，Censored and Truncated Data.Journal of the Royal Statistical Society，1976，38（3）：290-295.

［29］Gentleman R，Geyer CJ.Maximum likelihood for interval censored data：Consistency and computation.Biometrika，1994，81：618-623.

［30］Wang Y.Dimension-reduced nonparametric maximum likelihood computation for interval-censored data.Computational Statistics & Data Analysis，2008，52：2388-2402.

［31］Shen P.A Generalization of Turnbull′s Estimator for Interval-Censored and Doubly Truncated Data.Taylor & Francis，2014，43：14，2958-2972.

［32］Yuan A.Approximate Nonparametric Maximum Likelihood Estimationfor Interval Censoring Model Case II.International Journal of Statistics and Probability，2014，3（3）.

［33］Pan W.A Multiple Imputation Approach to Cox Regression with-Interval-Censored Data.Biometrics，2000（56）：199-203.

［34］Xiao X.Study of an imputation algorithm for the analysis of intervalcensored data.Taylor &Francis，2012，84（3）：477-490.

［35］Deng WL.Nonparametric regression with interval-censored data.Acta Mathematica Sinica，English Series，2014，30（8）：1422-1434.

［36］Seungbong Han.A Semiparametric Regression Method for Interval.Communications in Statistics-Simulation and Computation，2013，1 （43）：18-30.

［37］Andersen PK.Pseudo-observations in survival analysis.Statistical Methods in Medical Research，2009，0（0）：1-29.

［38］Seungbong Han.A flexible semiparametric modeling approach for doublycensored data with an application to prostate cancer.Statistical Methods in Medical Research，2013，0（0）：1-18.

（責任編輯：郭海強）

通信作者：△王彤，E-mail：wtstat1@ sina.com