高中數(shù)學(xué)函數(shù)極限證明的例題梳理

■江漢大學(xué)　馮　青

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高中數(shù)學(xué)函數(shù)極限證明的例題梳理

■江漢大學(xué)馮青

函數(shù)是被廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)概念，在自然科學(xué)、工程技術(shù)，甚至某些社會(huì)科學(xué)中都會(huì)認(rèn)識(shí)到函數(shù)。研究高中數(shù)學(xué)函數(shù)不等式證明的方法是極限。無論是再中學(xué)數(shù)學(xué)還是在大學(xué)數(shù)學(xué)中，極限的概念和思想都非常重要，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變，都要用到極限。我們還能夠通過極限研究函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、收斂性等概念。因此極限概念是研究函數(shù)的重要概念，具有一定的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。本文梳理了極限概念，歸納總結(jié)了部分求極限的方法，在進(jìn)行不等式極限求解的過程中，巧妙地運(yùn)用了高中數(shù)學(xué)中相關(guān)的理論知識(shí)，達(dá)到鞏固、復(fù)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的思維能力，并希望能把極限的思想運(yùn)用到更廣泛的領(lǐng)域。

一、辨析概念，夯實(shí)基礎(chǔ)

極限思想作為研究函數(shù)最基本的方法，早在古代就有比較清楚的描述。中國(guó)魏晉時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家劉薇于公元263年創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，就是使用了極限的思想。在近代數(shù)學(xué)許多分支中一些重要的概念與理論都是極限和連續(xù)函數(shù)概念的推廣、延拓和深化。在19世紀(jì)，柯西根據(jù)微積分研究的需要改進(jìn)了極限方法。近年許多專家學(xué)者對(duì)函數(shù)極限的計(jì)算方法作了研究，并取得了一定的突破。房俊、李廣民研究了用中值定理求函數(shù)極限的方法；曹學(xué)鋒、孫幸榮討論了利用無窮小量計(jì)算函數(shù)的極限。極限思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的應(yīng)用越來越大。

眾所周知，常見的求極限的方法包含無窮小量、重要極限公式、洛必達(dá)法則等。但實(shí)際在求極限時(shí)并不是依靠單一方法，而是把多種方法加以綜合運(yùn)用。前人在對(duì)求函數(shù)極限的方法大多是單一的，沒有一個(gè)對(duì)求函數(shù)極限的方法進(jìn)行全面的歸納總結(jié)。對(duì)函數(shù)極限求解方法的討論是本文的核心點(diǎn)，本文通過一些典型例題來討論求函數(shù)極限的解法并加以綜合運(yùn)用。這就需要學(xué)生牢固地掌握求極限的方法并對(duì)函數(shù)極限的方法加以歸納、總結(jié)，希望對(duì)初學(xué)者有所幫助。

二、重點(diǎn)總結(jié)

筆者通過查閱資料總結(jié)出各種求函數(shù)極限的計(jì)算技巧，然后結(jié)合具體的例子給出這些計(jì)算技巧的具體應(yīng)用，最后對(duì)內(nèi)容進(jìn)行整合。常見的求極限的方法有定義法、利用極限四則運(yùn)算、利用夾逼性定理求極限、利用兩個(gè)重要極限求極限、用洛必達(dá)法則、用定積分求極限、利用無窮小量性質(zhì)和無窮小量與無窮小量之間的關(guān)系、利用變量替換等等方法求極限。此外，數(shù)學(xué)歸納法也是常見的方法之一。

（一）定義：（各種類型的極限的嚴(yán)格定義參見《高等數(shù)學(xué)》函授教材，這里不一一敘述）。

說明：（1）一些最簡(jiǎn)單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明，例如：

（2）在后面求極限時(shí)，（1）中提到的簡(jiǎn)單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。

（二）極限運(yùn)算法則

定理1 已知limf（x），limg（x）都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有

（1）lim［f（x）±g（x）］=A±B

（2）limf（x）·g（x）=A·B

說明：極限號(hào)下面的極限過程是一致的；同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。

（三）兩個(gè)重要極限

說明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式，

（四）等價(jià)無窮小

定理2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是0）。

定理3 當(dāng)x→0時(shí)，下列函數(shù)都是無窮小（即極限是0），且相互等價(jià)，即有：

X～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～1n（1+x）～ex-1。

說明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成g（x）時(shí)（g（x）→0），仍有上面的等價(jià)關(guān)系成立，例如：

當(dāng)x→0時(shí)，e3x-1～3x；1n（1-x2）～-x2。

定理4 如果函數(shù)f（x），g（x），f1（x），g1（x）都是x→x0時(shí)的無窮小，且f（x）～f1（x），g（x）～g1（x），則當(dāng)存在時(shí)，也存在且等于，即

三、舉例解析

極限在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分常見，本文現(xiàn)擬從以下幾個(gè)例題來探討求函數(shù)極限的方法。

（一）分類討論求極限

例已知數(shù)列an｛｝bn｛｝、都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p，q，其中p＞q，且p≠1，q≠1，設(shè)cn=an=bn，Sn為數(shù)列Cn｛｝的前n項(xiàng)和，求

分兩種情況討論；

（2）當(dāng)p＜1時(shí)，∵0＜q＜p＜1，

說明：先化簡(jiǎn)，再求極限是求極限經(jīng)常用到的方法，該題考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、恒等變形的能力，分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和求極限的方法。

（二）自變量趨向無窮時(shí)函數(shù)的極限

例求下列極限：

分析：第（1）題中，當(dāng)x→∞時(shí)，分子、分母都趨于無窮大，屬于“”型，變形的一般方法是分子、分母同除以x的最高次冪，再應(yīng)用極限的運(yùn)算法則.

（三）無窮減無窮型極限求解

例求極限：

分析：含根式的函數(shù)求極限，一般要先進(jìn)行變形，進(jìn)行分子、分母有理化，再求極限。

（四）利用運(yùn)算法則求極限

例計(jì)算下列極限：

說明：該題計(jì)算時(shí)，要先求和，再求所得代數(shù)式的極限，不能將只適用有限個(gè)數(shù)列的加、減、乘、除的數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則，照搬到無限個(gè)數(shù)列的加、減、乘、除。

（五）用二項(xiàng)式定理展開或逆用等比數(shù)列和公式化簡(jiǎn)求極限

例設(shè)p∈N*，求

或：逆用等比數(shù)列求和公式：

（六）零乘無窮型轉(zhuǎn)化為無窮除無窮型

分析：當(dāng)n→∞時(shí)，所求極限相當(dāng)于0·∞型，需要設(shè)法化為我們熟悉的型.

說明：對(duì)于這種含有根號(hào)的0·∞型的極限，可采取分子有理化或分母有理化來實(shí)現(xiàn).如本題是通過分子有理化，從而化為，即為型，也可以將分子、分母同除以n的最高次冪即，完成極限的計(jì)算.

（七）零比零型的極限

說明：本題采用的換元法是把x→0化為y-1→0，這是一種變量代換.靈活地運(yùn)用這種代換，可以解決一些型的極限問題.

（八）利用數(shù)學(xué)歸納法求極限

歸納法包含不完全歸納法和完全歸納法。

①不完全歸納法：根據(jù)事物的部分（而不是全部）特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法。

②完全歸納法：根據(jù)事物的所有特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法。

數(shù)學(xué)歸納法常與不完全歸納法結(jié)合起來使用，用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論。

例若數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an=2n-1，設(shè)數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)bn=1+，又記Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)的積.

（Ⅰ）求T1，T2，T3的值；

（Ⅱ）試比較Tn與的大小，并證明你的結(jié)論.

分析與證明：

（1）∵an=2n-1

假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，原不等式成立，即

當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式左邊為

即n=k+1時(shí)不等式也成立，∴對(duì)于n∈N，則有

說明：數(shù)學(xué)歸納法步驟如下

①驗(yàn)證當(dāng)取第一個(gè)時(shí)結(jié)論成立；

②由假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，結(jié)論成立，證明當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；

根據(jù)①②對(duì)一切自然數(shù)時(shí)，都成立。

四、總結(jié)

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，敢于探索，善于總結(jié)，是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備的素質(zhì)。本文只是舉例說明了在極限中證明中常用的幾種方法的運(yùn)用，另外還有很多其它方法可以靈活綜合的解決問題，這需要我們平時(shí)多觀察和總結(jié)。同時(shí)，我們需要在解題時(shí)能舉一反三，從概念出發(fā)深入分析極限與函數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

極限是數(shù)學(xué)中不可缺少的工具之一，它在解決一些數(shù)學(xué)問題中具體所體現(xiàn)出來的作用值得我們?nèi)ニ伎迹莆蘸眠@個(gè)工具，對(duì)學(xué)好這門內(nèi)容抽象邏輯性強(qiáng)的高等數(shù)學(xué)具有一定的幫助。

責(zé)任編輯鄭占怡