信號與系統(tǒng)課程中使用DFT 繪制DTFT 的精度問題

諸葛霞++袁紅星++廖遠江

摘要：該文介紹了使用DFT繪制DTFT的方法，并附有程序代碼和結果演示圖。在此基礎上總結了使用DFT繪制DTFT的特征，給出了使用DFT繪制DTFT的頻率精度。

關鍵詞：信號與系統(tǒng)；MATLAB；DFT；DTFT

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2016）11-0278-02

1 緒言

信號與系統(tǒng)課程是電子類本科專業(yè)的專業(yè)基礎課程[1～4]，DFT和DTFT是該課程的離散信號的傅里葉變換部分的主要內容。DFT即離散傅里葉變換是為了利用計算機對有限長序列進行傅里葉變換而提出的一種專門運算。離散信號分析和處理的主要手段是使用計算機來實現，序列的DTFT是連續(xù)函數，其逆變換為積分運算，無法直接用計算機實現。因此，我們可以借助計算機使用DFT繪制DTFT，尤其是快速傅里葉變換算法（FFT）的提出大大加快了DFT的計算。下面我們將以一個簡單的信號為例研究使用DFT繪制DTFT的精度問題。

2使用DFT繪制DTFT的精度問題

復指數信號[x（t）=ej2πF0t]的離散時間傅里葉變換（DTFT）為[X（f）=n=0N-1ej2πf0ne-j2πfn=sinNπ（f-f0）sinπ（f-f0）e-jπ（N-1）（f0-f）]，取N=32，[f0=732]，直接繪制DTFT的幅度譜[X（f）]如下圖1所示，

以周期[Ts]對[x（t）]采樣得到離散信號[x[n]=ej2πF0nTs=ej2πf0n]，繪制[x[n]]的32點DFT為下圖2和下圖3中的“x”所示，

由圖2可知，當頻率[f0]為1/N的倍數時，除了頻率[f=f0=732]處有一個最大值32之外，其他頻率處的值都為0，這種情況很符合當N→∞時的頻率特征，所以對于N=32來講非常例外。

由圖3可知，當頻率[f0]不為1/N的倍數時，DFT的32個點值呈現類似正弦趨勢的非零值，最大值離[f0]最近。在這種情況下，[f0]和DFT最大值對應的頻率之間的間隔最壞為1/L=1/32，我們定義這種最壞情況下的間隔為使用DFT繪制DTFT的頻率精度。如果信號的采樣頻率為[Fs]（Hz），則使用DFT繪制DTFT的頻率精度為[FsL]（Hz）。

3結論

本文主要研究了使用DFT繪制DTFT的頻率精度問題。若L為DFT的計算點數，則使用DFT繪制DTFT的頻率精度為1/L，或者為[FsL]（Hz），其中[Fs]為信號的采樣頻率。

參考文獻：

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