關(guān)于級(jí)數(shù)論的教學(xué)法探究

何天榮（麗江師范高等?？茖W(xué)校數(shù)計(jì)系　云南麗江　674199）

?

關(guān)于級(jí)數(shù)論的教學(xué)法探究

何天榮（麗江師范高等?？茖W(xué)校數(shù)計(jì)系云南麗江674199）

摘要：級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析課程的一個(gè)重要知識(shí)模塊，它與微積分學(xué)一起作為數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，二者共同以極限為基本工具，分別從離散與連續(xù)兩個(gè)方面，結(jié)合起來研究分析學(xué)的對(duì)象，即變量之間的依賴關(guān)系─函數(shù)。但因?yàn)榧?jí)數(shù)理論與微積分學(xué)之間的邏輯聯(lián)系相對(duì)較少，所以學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)回感覺比較孤立加之理論抽象，所以學(xué)起來會(huì)比較吃力，知識(shí)點(diǎn)容易遺忘，本文從級(jí)數(shù)理論的作用、知識(shí)間的邏輯聯(lián)系、及其所蘊(yùn)含的思想方法等方面進(jìn)行教法探究 。

關(guān)鍵詞：級(jí)數(shù)論；教學(xué)法；數(shù)學(xué)分析。

【DOI】10.19312/j.cnki.61-1499/c.2016.04.069

一、級(jí)數(shù)理論的重要作用

數(shù)學(xué)分析課程的研究對(duì)象是函數(shù)，而級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具，在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都處于重要地位，雖然初等函數(shù)能夠描述許多自然現(xiàn)象和工程技術(shù)中的客觀規(guī)律，但是，只有初等函數(shù)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足描述客觀規(guī)律的要求。為了使數(shù)學(xué)分析所討論的函數(shù)能廣泛地服務(wù)于科學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)理論本身，人們借助于極限、函數(shù)方程、微分和積分等工具表述了更多的非初等函數(shù)，借助級(jí)數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù)，微分方程的解就常用級(jí)數(shù)表示；另一方面又可將函數(shù)表為級(jí)數(shù)，從而借助級(jí)數(shù)去研究函數(shù)，例如用冪級(jí)數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進(jìn)行近似計(jì)算等。

二、級(jí)數(shù)理論及知識(shí)點(diǎn)間關(guān)系

數(shù)學(xué)分析課程中的級(jí)數(shù)理論包括《數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)》、《函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)》、《冪級(jí)數(shù)》和《傅里葉級(jí)數(shù)》四章的內(nèi)容。本文以前三章為例研究知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系。

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)簡(jiǎn)單地說就是，無限個(gè)數(shù)相加的問題，即將數(shù)列的各項(xiàng)依次用加號(hào)連接的結(jié)果問題。需要我們研究的問題：無限和是否存在及如何求其和？這就是要研究的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的核心問題：級(jí)數(shù)的收斂性及其和問題。

討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的作用在于，一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有非常理想的分析性質(zhì)：如無限和運(yùn)算與積分運(yùn)算可以交換次序。

本例通過交換積分運(yùn)算與求和運(yùn)算使得運(yùn)算順利完成。

冪級(jí)數(shù)是一類簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)樗奶厥庑裕沟梦覀兊难芯靠梢赃M(jìn)一步深入，對(duì)于冪級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)目標(biāo)是研究其收收斂域，而要研究收斂域，首先要研究其收斂半徑，有了收斂半徑R，就可以得出收斂區(qū)間（-R，R），收斂區(qū)間及其在區(qū)間端點(diǎn)±R處的收斂性，就可以討論出冪級(jí)數(shù)的收斂域。

函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開就是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)表示非初等函數(shù)的具體方法，也是我們研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)重要原因。

三、關(guān)于級(jí)數(shù)理論的學(xué)習(xí)建議

1.注意知識(shí)點(diǎn)間的邏輯聯(lián)系

級(jí)數(shù)論的編排的邏輯順序是首先研究數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，它是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情況，是相對(duì)簡(jiǎn)單卻又非常重要的內(nèi)容，已經(jīng)分析過，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判別、冪級(jí)數(shù)的收斂性域的討論最終都要借助于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)尤其是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別；其次，要特別注意概念間的區(qū)別及本質(zhì)原因，如數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，要弄清楚為什么會(huì)有不同的概念及其原因。冪級(jí)數(shù)是特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，因此關(guān)于冪級(jí)數(shù)收斂半徑是求法，其理論依據(jù)來源于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)理論，而區(qū)間端點(diǎn)處收斂性的討論則歸結(jié)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法。

2.注重其中所蘊(yùn)含的思想方法

首先，類比的思想方法，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)以及冪級(jí)數(shù)同為級(jí)數(shù)，討論的核心都是收斂性，但又因?yàn)槿咧g有本質(zhì)的區(qū)別，所以討論的方法又不盡相同。學(xué)習(xí)中要充分利用其相似之處便于降低理解的難度同時(shí)要深刻理解其不同之處并理解其本質(zhì)區(qū)別，才可以真正學(xué)懂級(jí)數(shù)論。

其次是化歸思想方法，化歸思想方法廣泛存在于數(shù)學(xué)的各學(xué)科之中，許多數(shù)學(xué)問題的解決都體現(xiàn)了化歸思想，級(jí)數(shù)論也不例外，上述已分析，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性性的M判別法、冪級(jí)數(shù)收斂域的討論最終都化歸為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，如果透徹理解化歸思想并學(xué)透數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)論的學(xué)習(xí)將不再那么抽象。

參考文獻(xiàn)：

［1］顧泠沅.數(shù)學(xué)思想方法［M］.北京：中央廣播電視出版社，2004.

［2］ 華東師大數(shù)學(xué)系編.《數(shù)學(xué)分析》（第三版）［M］ 北京：高等教育出版社 2010.

作者簡(jiǎn)介：

何天榮（1979—）女，講師，碩士研究生，主要從事模糊集理論和粗糙集理論及教育教學(xué)法的研究。