提前領(lǐng)略高中數(shù)學(xué)知識

王冬青

高中內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識在近幾年的中考試題中頻繁出現(xiàn)，而多數(shù)是給出一些規(guī)定、法則或提供一定的閱讀材料，或介紹一個概念、一種解法等，讓你在理解規(guī)定、法則的基礎(chǔ)上，獲得解決問題的方法和思路，從而解決實際問題. 其目的在于考查同學(xué)們的閱讀理解、收集處理信息和運用知識解決實際問題的能力.

例1 一般地，如果函數(shù)y= f （x）對于自變量取值范圍內(nèi)的任意x，都有f（-x）=

-f（x），那么y=f（x）就叫做奇函數(shù)；如果函數(shù)y=f（x）對于自變量取值范圍內(nèi)的任意x，都有f（-x）= f（x），那么y=f（x）就叫做偶函數(shù).

例如f（x）=x3+x，不管x取任何實數(shù)，都有f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），所以f（x）=x3+x是奇函數(shù).

又如f（x）=x，當(dāng)x取任意實數(shù)時，f（-x）=-x=x =f（x），所以f（x）=x是偶函數(shù).

（1） 下列函數(shù)中，①f（x）=x3，②f（x）=x2+1，③f（x）=，④f（x）=，⑤f（x）=x+，______是奇函數(shù)，_______是偶函數(shù). （只填序號）

（2） 請你再寫出一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù).

【思路突破】本題難度不大，只要抓住規(guī)定：若f（-x）=-f（x），那么y=f（x）就叫做奇函數(shù)；若f（-x）= f（x），那么y=f（x）就叫做偶函數(shù)，問題就解決了.

【解答】（1） ∵f（x）=x3，∴ f（-x）=（-x）3=

（2） 奇函數(shù)y=，偶函數(shù)y=x2.（答案不唯一）

【解后反思】該題以高中函數(shù)知識為背景，是初中函數(shù)知識的延伸，由于同學(xué)們有了一定的函數(shù)知識基礎(chǔ)，故只需對照題中兩例，完成對概念的探究，獲取新知識，進(jìn)而應(yīng)用新知識，就可以解答問題.

例2 關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：

利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值.

根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實際問題：

如圖1，直升機在一建筑物CD上方A點處測得建筑物頂端D點的俯角α=60°，底端C點的俯角β=75°，此時直升機與建筑物CD的水平距離BC為42 m，求建筑物CD的高.

【思路突破】先由俯角β的正切值及BC求得AB，再由俯角α的正切值及BC求得A、D兩點的垂直距離，CD的長由二者相減即可求得.

【解答】過D作BC的平行線交AB于E，則四邊形BCDE為矩形，

【解后反思】本題只介紹了三角函數(shù)中的兩角和的相關(guān)計算公式，沒有給出如何求得的，主要考查同學(xué)們應(yīng)用公式的能力.

例3 閱讀資料：

如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2 =x2-x12+y2-y12，所以A，B兩點間的距離為AB =.

我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點的集合，如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（x，y）為圓上任意一點，則A到原點的距離的平方為OA2=x-02+y-02，當(dāng)⊙O的半徑為r時，⊙O的方程可寫為：x2+y2=r2.

問題拓展：

如果圓心坐標(biāo)為P（a，b），半徑為r，那么⊙P的方程可以寫為_______.

綜合應(yīng)用：

如圖4，⊙P與x軸相切于原點O，P點坐標(biāo)為（0，6），A是⊙P上一點，連接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足為D，延長PD交x軸于點B，連接AB.

①證明AB是⊙P的切線；

②是否存在到四點O，P，A，B距離都相等的點Q？若存在，求Q點坐標(biāo)，并寫出經(jīng)過這四個點的圓的方程；若不存在，說明理由.

【思路突破】問題拓展：設(shè)A（x，y）為⊙P上任意一點，則有AP=r，根據(jù)資料中的兩點之間距離公式即可求出⊙P的方程.

綜合應(yīng)用：①只要證明∠PAB=90°，即可得AB是⊙P的切線；

②當(dāng)點Q為線段BP中點時，QO=QP=BQ=AQ，然后運用問題拓展中的結(jié)論就可解決問題.

【解答】問題拓展：設(shè)A（x，y）為⊙P上任意一點，∵P（a，b），半徑為r，∴AP 2=（x-a）2+（y-b）2=r2. 故答案為：（x-a）2+（y-b）2=r2.

【解后反思】本題是一道閱讀題，以考查閱讀理解能力為主，在解決問題的過程中，用到了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、切線的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角函數(shù)的定義等知識，有一定的綜合性.