趣談數(shù)學(xué)中的黃金組合

孫翠微

同學(xué)，你是追星族嗎？你喜歡哪些音樂組合，TFboys或者EXO？在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中也有一對(duì)黃金組合，他們是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老也是最基本的研究對(duì)象——數(shù)與形. 華羅庚先生曾指出：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛. 數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微. 數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.” 這充分說明了數(shù)形結(jié)合在我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性. 當(dāng)然啦，這對(duì)組合在解決很多中考數(shù)學(xué)問題時(shí)也會(huì)大放異彩，作用不可小覷！下面讓我們通過幾道中考題來領(lǐng)略一下“數(shù)形結(jié)合”的風(fēng)采，體會(huì)它是如何把問題變抽象為直觀，化復(fù)雜為簡單的.

一、 以形助數(shù)

你在做題時(shí)是否有過這種感覺——明明題目給的數(shù)量信息很清楚，可就是難以把握，不知從何下手. 這是因?yàn)椤皵?shù)”比較抽象，不易尋找到各個(gè)條件之間的聯(lián)系，而“形”具有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，能表達(dá)較多具體的思維. 因此我們可以把“數(shù)”的對(duì)應(yīng)——“形”找出來，利用圖形來解決問題，會(huì)有“四兩撥千斤”的神奇效果.

例1 （2015·宿遷）當(dāng)x=m和x=n（m≠n）時(shí)，代數(shù)式x2-2x+3的值相等，則x=m+n時(shí)，代數(shù)式x2-2x+3的值為_______.

【分析】構(gòu)造二次函數(shù)y=x2-2x+3，“見數(shù)思形”，該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，由二次函數(shù)圖像的軸對(duì)稱性，結(jié)合當(dāng)x=m和x=n時(shí)，y的值相等，可知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=. 故有=1，如圖1，假設(shè)m

解：（思路一）m+n=2，當(dāng)x=m+n時(shí)，即當(dāng)x=2時(shí)，x2-2x+3=3.

（思路二）觀察圖像，因?yàn)槠鋵?duì)稱軸為直線x=1=，所以當(dāng)x=0時(shí)與當(dāng)x=m+n時(shí)函數(shù)值應(yīng)相等.易知當(dāng)x=0時(shí)，y=x2-2x+3=3，故當(dāng)x=m+n時(shí)，y=3.

變式 （2015·南通模擬）已知當(dāng)x=a和x=a+b（b>0）時(shí)，代數(shù)式x2-2x-3的值相等，則當(dāng)x=6a+3b-2時(shí)，代數(shù)式x2-2x+3的值等于_______.

二、 以數(shù)解形

“形”盡管直觀、形象，但在定量方面，卻離不開“數(shù)”的鼎力相助. 尤其是在較復(fù)雜的“形”中，可以嘗試把圖形數(shù)字化，搜尋隱含條件，合理利用圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進(jìn)行分析計(jì)算.

例2 （2015·徐州，有刪改）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，B為半圓上一點(diǎn)，連接AB并延長至C，使BC=AB，過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，交線段OB于點(diǎn)E，已知CD=8，拋物線經(jīng)過O、E、A三點(diǎn).

（1） 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

【分析】易得OB是AC的垂直平分線，連接OC，則OC=OA=10，利用勾股定理，得OD=6，C（6，8），B（8，4），求出OB所在直線的函數(shù)關(guān)系式從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法得拋物線的解析式.

解：（方法一）連接OC，作BG⊥x軸，如圖3所示.

易得OB是AC的垂直平分線，

∴OC=OA=10，

在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，

∴OD=6，

又由△ABG∽△ACD，得AG=2，BG=4，

∴C（6，8），B（8，4），

∴OB所在直線的函數(shù)關(guān)系為y=x，

又∵E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，

∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，

即E（6，3），

拋物線過O（0，0），E（6，3），A（10，0），

∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為

y=-x2+x.

（方法二）∵CD⊥x軸，OB⊥AC，

∴∠DCA=∠BOA，

∴tan∠DCA=tan∠BOA，

即=，

∵OD=6，∴AD=4，

又∵CD=8，

∴ED=3，即E（6，3），

以下略.

【解后反思】第1小問的難點(diǎn)在于求出點(diǎn)E的坐標(biāo). 需要把OB所在直線理解為一次函數(shù)的圖像，以數(shù)解形，求出其函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而尋找到突破口.

下面再看第2小問：

（2） 若P為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形面積記作S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè)？

【分析】首先要認(rèn)識(shí)到點(diǎn)P的位置可能在CD的左右兩側(cè)，其次要注意到點(diǎn)P在右側(cè)時(shí)該四邊形的最大面積比P在左側(cè)時(shí)該四邊形的最大面積要小，所以當(dāng)點(diǎn)P在CD的右側(cè)某處四邊形面積取最大值時(shí)，在CD的左側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)P滿足同樣的面積，此時(shí)相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè).

解：不妨設(shè)P的坐標(biāo)為m，-m2+m，

①若點(diǎn)P在CD的左側(cè)，延長OP交CD于Q，如圖4，易得OP所在直線的函數(shù)關(guān)系式：

y=-m+x，

表示出Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，

得QE的長，割補(bǔ)法表示出四邊形POAE的面積，

S四邊形POAE=S△OAE+S△OQE-S△PQE

=-m2+m+15，

②若點(diǎn)P在CD的右側(cè)，延長AP交CD于Q，如圖5，易得AP所在直線的關(guān)系式：

y=-mx+m，

從而求得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得QE，求得四邊形AOPE的面積=S△OAE+S△AQE-S△PQE=

-m2+4m=-（m-8）2+16，

當(dāng)P在CD右側(cè)時(shí)，四邊形POAE的面積最大值為16，此時(shí)點(diǎn)P的位置就一個(gè).

令-m2+m+15=16，解得點(diǎn)P位置有兩個(gè).

綜上所知，以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形面積S等于16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè).

試試看，你能獨(dú)立把這道題完整地解下來嗎？坐標(biāo)系背景下，解決幾何問題，是中考命題的熱點(diǎn)，寓形于數(shù)，數(shù)形結(jié)合，會(huì)讓問題解決起來輕松順暢.

怎么樣，“數(shù)形結(jié)合”是不是魅力無限？希望它會(huì)成為你的朋友，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，一定會(huì)幫助你披荊斬棘，所向披靡.