千里之堤毀于蟻穴

祁艷波

同學們，我們知道數(shù)學來源于生活，反過來又應(yīng)用于生活.初中數(shù)學主要包括代數(shù)和幾何兩部分，代數(shù)容易出現(xiàn)的錯誤是計算部分，而幾何的錯誤主要出現(xiàn)在說理論證部分.對于幾何部分，不少學生反映：某某題目我會做，但是過程我不會寫，或者說我寫了不知道對不對.這些都充分反映了同學們對幾何部分理論的掌握情況.不少學生在做幾何說理論證時，把已知條件全部寫出來，然后就得出結(jié)論，這種解答問題的方式是不對的.那我們該如何做才能達到我們想要的結(jié)果呢？下面我們一起來看看在蘇科版七年級（下）第12章《證明》中容易出現(xiàn)的一些錯誤.

1. 對命題與非命題識別中的錯誤

例1 給出下列語句：（1） 三角形的外角和為360°；（2） 好香的茉莉花呀?。?） 在△ABC中，若AB=AC，那么△ABC是等腰三角形，你認為這個結(jié)論正確嗎？（4） 不許和陌生人說話.其中是命題的有_________（填序號）.

【分析】命題表示判斷，不能既肯定又否定，因此命題一定是陳述句，不能是疑問句、感嘆句或祈使句，也不能是畫圖語句或猜測，題中只有（1）表示判斷，是命題.

【錯解】（1）（2）（3）（4）

【正解】（1）.

2. 命題改寫中的錯誤

例2 將下列命題改寫成“如果……那么……”的形式.

對頂角相等.

【分析】在改寫命題時，不能簡單地把條件部分、結(jié)論部分分別填在“如果”“那么”的后面，要適當?shù)卦鰷p詞語，在不改變意思的前提下，保證整體句子敘述的通暢.

【錯解】如果對頂角，那么相等.

【正解】如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.

3. 證明中推理不嚴密導(dǎo)致的錯誤

例3 如圖1，已知AB∥CD，∠B=40°，∠D=40°，求證：BC∥DE.

【分析】證明中的推理過程不能“想當然”，每一步推理都要有根據(jù).這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、定理或公理.推理過程要嚴密，不能跳步.

【錯解】因為∠B=40°，∠D=40°（已知），

所以∠B=∠D（等量代換），

所以BC∥DE（同位角相等，兩直線平行）.

【正解】∵AB∥CD（已知），

∴∠B=∠C=40°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

∵∠D=40°（已知），

∴∠C=∠D（等量代換）.

∴BC∥DE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

4. 要看清條件寫理由

例4 填寫推理依據(jù)：

如圖2，∵∠D=∠C，

∴DE∥BC（ ），

∴∠E=∠B（ ）.

【分析】由∠D=∠C，得到DE∥BC，應(yīng)填平行線的判定條件，即“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”.再由DE∥BC，得到∠E=∠B，應(yīng)填平行線的性質(zhì)，即“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”.

【錯解】兩直線平行，內(nèi)錯角相等.內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

【正解】內(nèi)錯角相等，兩直線平行.兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

【點評】由角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補）得到兩直線的位置關(guān)系（平行），根據(jù)的是平行線的判定方法；而由兩直線的位置關(guān)系（平行）得到角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補），根據(jù)的是平行線的性質(zhì)，填寫理由時不可混淆.

5. 要正確理解“等量代換”的含義

例5 下列推理：（1） ∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3；（2） ∵a∥b，b∥c，∴a∥c；（3） ∵∠1=∠2，∴∠1=∠2；（4） ∵∠1+∠2=90°，∠2=∠3，∴∠1+∠3=90°.其中以“等量代換”為推理依據(jù)的有（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

【分析】“等量代換”的含義是相等的量可以相互代替，它考查的是量與量之間的數(shù)量關(guān)系.（2）中其實是平行的傳遞性，不是數(shù)量關(guān)系，而是位置關(guān)系.（3）是由等式的性質(zhì)得到的.（1）（4）是以等量代換為依據(jù)得到的.

【錯解】D.

【正解】B.

6. 未掌握反例的概念，導(dǎo)致所舉反例不能說明命題為假而產(chǎn)生的錯誤

例6 判斷命題“如果ab>0，那么a>0”的真假，若是假命題，請舉出一個反例說明.

【分析】反例即為滿足命題條件，但不滿足命題結(jié)論的例子.不要誤認為就是逆命題，而出現(xiàn)錯誤.

【錯解】如果a>0，那么ab>0.

【正解】是假命題.例如a=-1，b=-1時，ab=1>0，但a=-1<0.

7. 要看清原命題還是逆命題

例7 下列命題：（1） 相等的角是對頂角；（2） 有理數(shù)的絕對值是非負數(shù)；（3） 無限小數(shù)是無理數(shù)；（4） 二元一次方程組x+3y=-1，

3x-2y=8的解是x=2，

y=-1.其中逆命題是真命題的是___________________.

【分析】本小題是要找出逆命題是真命題的命題，要看清題中的要求.

【錯解】（2）.

【正解】（1）（3）.

8. 證明中的循環(huán)論證問題

循環(huán)論證就是用來證明論題的論據(jù)本身的真實性要依靠論題來證明的邏輯錯誤.比如說：一個瘦子問胖子：“你為什么長得胖？”胖子回答：“因為我吃得多.”瘦子又問胖子：“你為什么吃得多？”胖子回答：“因為我長得胖.”通過這個例子我們能很容易理解什么是“循環(huán)論證”.

例8 如圖3△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°.

【錯解1】延長BC到D，

∵∠ACD是△ABC的外角，

∴∠ACD=∠A+∠B（三角形一外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和），

∵∠ACB+∠ACD=180°（補角的定義），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）.

【分析】本題出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問題中，這是學生提供的一種證明方法.這種方法看似很好，在添加輔助線時并不是很復(fù)雜，但是這位同學犯了典型的“循環(huán)論證”錯誤.“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和”，這個定理是運用三角形內(nèi)角和定理證明的，這很明顯是個“循環(huán)論證”.

【錯解2】過A作AD⊥BC，

（如圖4）∵AD⊥BC（已作），

∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定義），

∴∠BAD+∠B=90°，∠CAD+∠C=90°（直角三角形兩個銳角互余），

∴∠BAD+∠B+∠CAD+∠C=180°（等式的性質(zhì)），

即：∠BAC+∠B +∠C=180°.

【分析】本題也是出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問題中，這種方法也是學生提供的一種證明方法，但是在上一題的講解后，已經(jīng)有學生能夠發(fā)現(xiàn)這種“循環(huán)論證”的錯誤了.

【錯解3】利用四邊形內(nèi)角和是360°，

∵四邊形的內(nèi)角和是360°，

四邊形可以分成兩個三角形，

∴三角形內(nèi)角和是180°.

【分析】本題也是出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問題中，在證明的時候?qū)W生利用了四邊形的內(nèi)角和為360°，有學生發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和是由三角形內(nèi)角和為180°證明得到的，所以這種解法也犯了“循環(huán)論證”的錯誤.

【正解】如圖5，作BC的延長線CD，過點C作CE∥AB，

∵CE∥AB（已作），

∴∠1=∠B （兩直線平行，同位角相等），

∠2=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定義），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）.

（作者單位：江蘇省連云港市海頭中心校）