單位球Dirichlet空間上的緊Toeplitz算子*

陳建軍，王曉峰

(1. 肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣東 肇慶 526061;2. 中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510275;3. 廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)廣東普通高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣東 廣州 510006)

單位球Dirichlet空間上的緊Toeplitz算子*

陳建軍1,2，王曉峰3

(1. 肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣東 肇慶 526061;2. 中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510275;3. 廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)廣東普通高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣東 廣州 510006)

研究單位球上Dirichlet空間上的Toeplitz算子的緊性，得到結(jié)論：有限個具有有界符號的Toeplitz算子乘積的有限和是一個緊算子，等價于它的Berezin型變換消失于單位球面。

Toeplitz算子;Berezin型變換;Dirichlet空間; 單位球

Sobolev空間L2,1(Bn)是一個由滿足如下性質(zhì)的復(fù)值函數(shù)所組成的函數(shù)空間，

顯然，L2,1(Bn) 是一個Hilbert空間，它的內(nèi)積定義為：

Dirichlet空間D2(Bn)是L2,1(Bn)的一個子空間，它由L2,1(Bn)中所有無常數(shù)項(xiàng)的全純函數(shù)所組成的。D2(Bn)的內(nèi)積繼承于L2,1(Bn)的內(nèi)積，具體為：

通過簡單的計(jì)算，Dirichlet空間D2(Bn)中的再生核為：

然而，關(guān)于Dirichlet空間的研究，也有一定的成果。比如盧玉峰等[3]研究了測度符號的Toeplitz算子，并得出了它的有界性和緊性條件。在單位球的情形里，比如有：曹廣福[4]研究了具有連續(xù)符號的Toeplitz算子；曹廣福等[5]進(jìn)一步研究具有有界符號的Toeplitz算子。

利用文獻(xiàn)[6]的思想方法，將其中關(guān)于Toeplitz算子的結(jié)果推廣到單位球區(qū)域上。由于單位球比單位圓盤拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜，Bergman空間和Dirichlet空間再生核的某些性質(zhì)在單位球面附近只有等價關(guān)系而不是相等關(guān)系，不過還是得到相類似的結(jié)論。具體地說，本文主要研究單位球上Dirichlet空間上的Toeplitz算子的緊性。得到結(jié)論：有限個具有有界符號的Toeplitz算子乘積的有限和是一個緊算子，等價于它的Berezin型變換消失于單位球面。

與Toeplitz算子相關(guān)的其它算子，如Wiener-Hopf算子和復(fù)合算子，請參考文獻(xiàn)[7-8]。

1 預(yù)備知識

為了證明主要定理，先給出一些預(yù)備知識。

證明 參考文獻(xiàn)[4]。

引理2 對于任意的z,w∈Bn〈{0}，有

根據(jù)引理2，我們記

為一種輔助核。它有如下的性質(zhì)：

引理3 對于任意給定的z,w∈Bn〈{0}，有

以及

證明 由引理1，

進(jìn)一步結(jié)合引理2，得到

因此，

證畢。

引理4 對任意非零元z,w∈Bn，

證明 參考文獻(xiàn)[3]中的定理5。證畢。

記L∞(Bn)為單位球上本性函數(shù)空間。定義

其中i=1,2,…,n,其上的范數(shù)定義為：

定義1 取u∈L∞,1(Bn)，Dirichlet空間上Toeplitz算子Tu定義為：

其中f∈D2。

引理6 給定u∈L∞,1(Bn)，則Toeplitz算子Tu是一個有界算子。

證明 由Toeplitz算子的定義以及Kz(w)的性質(zhì)，可得：對于任意的f，g∈D2，

因此，存在一個常數(shù)C，使得

這表明Tu是一個有界算子。證畢。

2 主要定理

取ui,j∈L∞,1(i,j=1,2,…,n)，定義

定理1 下列3個結(jié)論是等價的：

(i)S是一個緊算子；

(ii)?(iii):結(jié)合Berezin型變換的定義和H?lder不等式，有

(iii)?(i): 不失一般性，只需證明S=∑Tu1Tu2這一情形即可。為了方便表述，算子中的小指標(biāo)往往省略。

由于結(jié)論(iii)是成立的，所以當(dāng)z→?Bn時，我們有

結(jié)合上面的引理，對上式進(jìn)一步地計(jì)算，得到

繼續(xù)接著計(jì)算

同理，當(dāng)k→∞時，

之前，我們已經(jīng)知道Toeplitz算子S(∑∏ Tui,j)是一個緊算子，因此，由文獻(xiàn)[9-10],

總的來說，已經(jīng)證得

即S是一個緊算子。證畢。

[1] 黃昭波.Bergman空間上的Hankel算子和Toeplitz算子[J]. 復(fù)旦學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1991, 30(2): 151-157.

[2] 李頌孝, 胡俊云. 單位球上Bergman空間上的緊算子[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 47(5): 837-844.

[3]LUYF,SUNSH.ToeplitzOperatorsonDirichletSpaces[J].ActaMathSinica, 2001, 17(4): 643-648.

[4] 曹廣福.Dirichlet空間上的Toeplitz算子[J]. 數(shù)學(xué)年刊, 2000, 21(4): 499-512.

[5] 曹廣福, 朱淥濤.Dirichlet空間上Toeplitz算子的緊性[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2001, 44(2): 241-248.

[6] 夏錦, 王曉峰, 曹廣福.Dirichlet空間上的緊算子[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào), 2009, 29(5): 1196-1205.

[8] 何忠華, 曹廣福, 何莉.Bloch-Orlicz型空間上積分型算子與復(fù)合算子的乘積[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016,55(1): 44-47.

[9]ENGLISM.CompactToeplitzoperatorsviatheBerezintransformonboundedsymmetricdomains[J].IntegrEquOperTheory, 1999, 33: 426-455.

[10]ENGLISM.ErratumtocompactToeplitzoperatorsviatheBerezinTransformonboundedsymmetricdomains[J].IntegrEquOperTheory, 1999, 34: 500-501.

Compact Toeplitz operators on the Dirichlet space over unit ball

CHENJianjun1,2，WANGXiaofeng3

(1. School of Mathematics and Statistics, Zhaoqing University, Zhaoqing 526061, China;2. School of Mathematics, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China;3. School of Mathematics and Information Science and Key Laboratory of Mathematics and Interdisciplinary Sciences of the Guangdong Higher Education Institute,Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

The compactness of Toeplitz operators on Dirichlet space is studied. It is proved that finite sums of finite products of Toeplitz operators with bounded symbols are compact if and only if their Berezin-type transforms vanish on the boundary of the unit ball.

Toeplitz operator; Berezin type transform; Dirichlet space; unit ball

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.06.011

2015-12-08

廣州市教育局科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(2012A018)； 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471084，11301101)

陳建軍(1986年生)，男；研究方向：泛函分析；通訊作者：王曉峰;E-mail:wangxiaofeng514@hotmail.com

O

A

0529-6579(2016)06-0074-05