基于分?jǐn)?shù)階模型的非保守系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對(duì)稱性*

何勝鑫，朱建青，張 毅

(1. 蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2．蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

基于分?jǐn)?shù)階模型的非保守系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對(duì)稱性*

何勝鑫1，朱建青1，張 毅2

(1. 蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2．蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

提出并研究了非保守力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱性及其守恒量?；诜潜Ｊ叵到y(tǒng)的Hamilton原理，導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階模型下非保守系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；根據(jù)分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量在時(shí)間，廣義坐標(biāo)和廣義速度的無(wú)限小群變換下的不變性，給出了非保守力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性的定義和判據(jù)，建立了分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性與守恒量之間的聯(lián)系，得到了分?jǐn)?shù)階Noether守恒量；最后，討論了不存在非勢(shì)廣義力或規(guī)范函數(shù)等于零的特例，并舉例說(shuō)明結(jié)果的應(yīng)用。

分?jǐn)?shù)階模型；非保守系統(tǒng)；Noether準(zhǔn)對(duì)稱性；守恒量

1 分?jǐn)?shù)階微積分的定義和相關(guān)性質(zhì)

在這一節(jié)中，我們列出了文中將涉及到的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義和相關(guān)性質(zhì)。詳細(xì)的討論和證明，可參考文獻(xiàn)[2-3]。

(1)

(2)

其中Γ(*)是歐拉伽馬函數(shù)，n∈N，n-1≤α

(3)

分?jǐn)?shù)階分部積分公式為[14]

(4)

(5)

2 分?jǐn)?shù)階運(yùn)動(dòng)微分方程

我們考慮由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs(s=1,2,…,n)來(lái)確定的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。非保守系統(tǒng)的Hamilton原理為[21]

(6)

其中L為L(zhǎng)agrange函數(shù)，Q″s為非勢(shì)廣義力?？紤]系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(7)

非勢(shì)廣義力為

(8)

則原理(6)可寫為

(9)

考慮到公式(4)和(5)，有

(10)

將(10)代入(9)式中，得到

(11)

考慮積分區(qū)間的任意性以及δqs的獨(dú)立性，得到

(12)

方程(12)可稱為分?jǐn)?shù)階模型下非保守系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。如果非勢(shì)廣義力Q″s=0，則方程(12)變?yōu)?/p>

(13)

方程(13)為分?jǐn)?shù)階Lagrange方程。

3 分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量的變分

(14)

其中γ為某曲線，令

(15)

其展開式為

(16)

(17)

(18)

注意到關(guān)系式

(19)

則(18)式可變?yōu)?/p>

(20)

其中

(21)

式(18)和式(20)是分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量變分的兩個(gè)基本公式。

4 分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性

下面給出分?jǐn)?shù)階模型下非保守系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對(duì)稱性的定義和判據(jù)。

設(shè)L1是某個(gè)另外的Lagrange函數(shù)，如果無(wú)限小群變換(15)精確到一階小量滿足條件

(22)

則相應(yīng)不變性稱為分?jǐn)?shù)階模型下非保守系統(tǒng)(12)的Noether準(zhǔn)對(duì)稱性。于是有

定義1 對(duì)于分?jǐn)?shù)階模型下的非保守系統(tǒng)(12)，如果在無(wú)限小群變換(15)的作用下，滿足條件

(23)

由定義1和公式(18)和(20)，可得如下判據(jù)：

判據(jù)1 對(duì)于無(wú)限小群變換(15)，如果滿足條件

(24)

則變換(15)相應(yīng)于分?jǐn)?shù)階模型下非保守系統(tǒng)(12)的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性。

式(24)可表為

(25)

其中ΔG=εσGσ。當(dāng)r=1時(shí)，式(25)稱為非保守力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether等式。

判據(jù)2 對(duì)于無(wú)限小群變換(16)，滿足r個(gè)方程

(26)

則變換(16)相應(yīng)于分?jǐn)?shù)階模型下非保守系統(tǒng)(12)的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱變換。

利用判據(jù)1-判據(jù)2或分?jǐn)?shù)階Noether等式(25)可以判斷分?jǐn)?shù)階模型下非保守力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性。

5 分?jǐn)?shù)階Noether定理

下面我們研究分?jǐn)?shù)階模型下非保守力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性與守恒量之間的關(guān)系。首先給出分?jǐn)?shù)階守恒量的定義。

(27)

對(duì)于分?jǐn)?shù)階模型下的非保守力學(xué)系統(tǒng)(12)，如果能找到系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性，便可求得相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。于是，有如下定理：

定理1 對(duì)于分?jǐn)?shù)階模型下的非保守系統(tǒng)(12)，如果無(wú)限小群變換(15)相應(yīng)于定義1意義下的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性，則系統(tǒng)存在r個(gè)獨(dú)立的分?jǐn)?shù)階守恒量，形如

(28)

證明：由定義1，并將方程(12)代入判據(jù)2，得到

(29)

對(duì)(29)式進(jìn)行積分，便得到結(jié)果。

定理1稱為分?jǐn)?shù)階模型下非保守力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether定理。由Noether定理可知，對(duì)于分?jǐn)?shù)階模型下的非保守力學(xué)系統(tǒng)，如果能找到系統(tǒng)的一個(gè)分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性，便有可能得到系統(tǒng)的一個(gè)分?jǐn)?shù)階守恒量。

6 特例討論：分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)

如果取非勢(shì)廣義力Q″s=0，則定義1，判據(jù)1和判據(jù)2成為：

定義3 對(duì)于分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)(13)，如果在無(wú)限小群變換(15)的作用下，滿足條件

(30)

則相應(yīng)不變性稱為該系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性。

由定義3和公式(18)和(20)，可得如下判據(jù)：

判據(jù)3 對(duì)于無(wú)限小群變換(15)，如果滿足條件

(31)

則變換(15)相應(yīng)于分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)(13)的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性。

式(31)可表為

(32)

當(dāng)r=1時(shí)，式(32)稱為分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether等式。

判據(jù)4 對(duì)于無(wú)限小群變換(16)，滿足r個(gè)方程

(33)

則變換(16)相應(yīng)于分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)(13)的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性。

利用判據(jù)3-判據(jù)4或分?jǐn)?shù)階Noether等式(32)，可以判斷分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性。

由定理1，如果能找到分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性，便有可能找到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。于是有：

定理2 對(duì)于分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)(13)，如果無(wú)限小群變換(15)相應(yīng)于定義3意義下的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性，則系統(tǒng)存在r個(gè)獨(dú)立的分?jǐn)?shù)階守恒量(28)。

如果非勢(shì)廣義力Q″s=0，并且G=0，則定義1，判據(jù)1和判據(jù)2成為：

定義4 對(duì)于分?jǐn)?shù)階模型下的Lagrange系統(tǒng)(13)，如果在無(wú)限小群變換(15)的作用下，滿足條件

(34)

則相應(yīng)不變性稱為該系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱性。

判據(jù)5 對(duì)于無(wú)限小群變換(15)，滿足條件

(35)

則變換(15)相應(yīng)于分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)(13)的分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱性。

式(35)可表為：

(36)

當(dāng)r=1時(shí)，式(36)稱為分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether等式。

判據(jù)6 對(duì)于無(wú)限小群變換(16)，滿足r個(gè)方程

(37)

則變換(16)相應(yīng)于分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)(13)的分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱性。

利用判據(jù)5-判據(jù)6或分?jǐn)?shù)階Noether等式(36)可以判斷分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱性。

對(duì)于分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)(13)，如果能找到系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱性，便有可能找到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。于是，相應(yīng)的定理1就成為：

定理3 對(duì)于分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)(13)，如果無(wú)限小群變換(15)相應(yīng)于定義4意義下的分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱性，則系統(tǒng)存在r個(gè)獨(dú)立的分?jǐn)?shù)階守恒量，形如

(38)

定理2和定理3稱為分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether定理。由Noether定理可知，對(duì)于分?jǐn)?shù)階模型下的Lagrange系統(tǒng)，如果能找到系統(tǒng)的一個(gè)分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱性，便有可能得到系統(tǒng)的一個(gè)分?jǐn)?shù)階守恒量。

7 算 例

例1 已知力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)和廣義非勢(shì)力為

(39)

(40)

其中質(zhì)量m，阻尼系數(shù)c為常數(shù)。

方程(12)給出

(41)

由分?jǐn)?shù)階Noether等式(25)給出

(42)

方程(42)有解

(43)

(44)

生成元(43)和(44)都相應(yīng)于系統(tǒng)的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換。由定理1，得到

(45)

(46)

因此，生成元(45)相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階守恒量是平庸的。若α→1，(46)式就成為

(47)

(47)式是所論非保守系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對(duì)稱性導(dǎo)致的守恒量。

例2 設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Lagrange函數(shù)

(48)

其中ω為常數(shù)。

方程(13)給出

(49)

由分?jǐn)?shù)階Noether等式(32)，得到

(50)

方程(50)有解

(51)

(52)

因此，生成元(51)和(52)分別相應(yīng)于系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱性和分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性。由定理2和定理3，得到系統(tǒng)的守恒量為

(53)

(54)

式(53)和(54)是系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱性(53)和分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性(52)導(dǎo)致的分?jǐn)?shù)階Noether守恒量。若α→1，式(53)和(54)就成為

(55)

(56)

式(55)和(56)是經(jīng)典Lagrange系統(tǒng)的守恒量。

8 結(jié) 論

近40年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。將分?jǐn)?shù)階模型應(yīng)用到動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，可以更準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的力學(xué)與物理行為。本文基于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建立了非保守系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階運(yùn)動(dòng)微分方程(12)；導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量變分基本公式(18)和(20)；給出了非保守力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱性的定義和判據(jù)，得到了分?jǐn)?shù)階Noether定理。本文的結(jié)果具有普遍性，可以進(jìn)一步推廣到分?jǐn)?shù)階模型下的Birkhoff系統(tǒng)，最優(yōu)控制系統(tǒng)等。

[1]OLDHAMKB,SPANIERJ.Thefractionalcalculus[M].SanDiego:AcademicPress,1974.

[2]PONDLUBNYI.Fractionaldifferentialequations[M].SanDiego:AcademicPress,1999: 62-77.

[3]KILBASAA,SRIVASTAVAHMandTRUJILLOJJ.Theoryandapplicationsoffractionaldifferentialequations[M].Amsterdam:ElsevierBV, 2006: 69-89.

[4]RIEWEF.Nonconservativelagrangianandhamiltonianmechanics[J].PhysicalReviewE, 1996, 53(2): 1890-1899.

[5]AGRAWALOP.Formulationofeuler-lagrangeequationsforfractionalvariationalproblems[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications, 2002, 272(1): 368-379.

[6]CRESSONJ.Fractionalembeddingofdifferentialoperatorsandlagrangiansystems[J].JournalofMathematicalPhysics, 2007, 48(3): 033504.

[7]BALEANUD,TRUJILLOJI.Anewmethodoffindingthefractionaleuler-lagrangeandhamiltonequationswithcaputofractionalderivatives[J].CommunicationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation, 2010, 15(5): 1111-1115.

[8]RABEIEM,RAWASHDEHIM,MUSLIHSANDBALEANUD.Hamilton-Jacobiformulationforsystemsintermsofriesz’sfractionalderivatives[J].InternationalJournalofTheoreticalPhysics, 2011, 50(5):1569-1576.

[9]ZHANGY.Fractionaldifferentialequationsofmotionintermsofcombinedriemann-liouvillederivatives[J].ChinesePhysicsB, 2012, 8(21): 084502.

[10] 張毅. 相空間中類分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱性與守恒量[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013, 52(4): 20-25.

[11]LUOSK,LIL.Freactionalgeneralizedhamiltonianmechanicsandpoissonconservationlawintermsofcombinedrieszderivatives[J].NonlinearDynamics, 2013, 73(1/2): 639-647.

[12]ZHOUS,FUJL,LIUYS.Lagrangeequationsofnonholonomicsystemswithfractionalderivatives[J].ChinesePhysicsB, 2010, 19(12): 120301.

[13]FREDERICOGSF,TORRESDFM.Aformulationofnoether’stheoremforfractionalproblemsofthecalculusofvariations[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications, 2007, 334(2): 834-846.

[15]MALINOWSKAAB,TORRESDFM.Introductiontothefractionalcalculusofvariations[M].London:ImperialCollegePress, 2012：11-65.

[16]ZHOUS,FUJL.Symmetrytheoriesofhamiltoniansystemswithfractionalderivatives[J].ScienceChina-Physics,Mechanics&Astronomy, 2011, 54(10): 1847-1853.

[17]ZHANGY,ZHOUY.Symmetriesandconservedquantitiesforfractionalaction-likepfaffianvariationalproblems[J].NonlinearDynamics, 2013, 73(1/2):783-793.

[18]ZHANGY,LONGZX.Fractionalaction-likevariationalproblemanditssymmetryforanonholonomicsystem[J].ActaMechanica, 2014, 225(1): 77-90.

[19] 丁金鳳, 張毅. 基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的El-Nabulsi-Pfaff變分問(wèn)題的Noether對(duì)稱性[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2014, 54(5): 12-16.

[20] 金世欣, 張毅. 基于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的Noether對(duì)稱性[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2015, 54(5): 24-31.

[21]MEIFX,WUHB.Dynamicsofconstrainedmechanicalsystems[M].Beijing:BeijingInstituteofTechnologyPress, 2009.

Noether quasi-symmetry for non-conservative systems based on fractional model

HEShengxin1,ZHUJianqing1,ZHANGYi2

(1. College of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology,Jiangsu 215009, China;2. College of Civil Engineering, Suzhou University of Science and Technology, Jiangsu 215011, China)

The Noether symmetries and conserved quantities for non-conservative systems are proposed and studied with fractional model. Based on the Hamilton principle for the non-conservative systems, the fractional differential equations of motion are derived. With using the invariance of the fractional Hamilton action under the infinitesimal transformations of group which depends on the time, the generalized coordinates and velocities, the definition and the criterion of the fractional Noether generalized quasi-symmetry for the non-conservative systems are given. The relation between the fractional Noether quasi-symmetry and the conserved quantity is established, and the fractional conserved quantities are obtained. The special cases, which the generalized nonpotential forces do not exit or the gauge function is equal to zero, are discussed. At the end, two examples are given to illustrate the application of the results.

fractional model; non-conservative system; Noether quasi-symmetry; conserved quantity

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.02.011

2015-04-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272227)；蘇州科技學(xué)院研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(SKCX14-057)

何勝鑫(1990年生)，女；研究方向：力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法；通訊作者：張毅；E-mail:zhy@mail.usts.edu.cn

O

A

0529-6579(2016)02-0058-06