考慮未知負(fù)載的機(jī)械臂任務(wù)空間模糊跟蹤控制*

徐恩華，徐 燕，黃宇飛

(1. 廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院飛機(jī)維修工程學(xué)院，廣東 廣州 510403；2. 廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)部，廣東 廣州 510403)

考慮未知負(fù)載的機(jī)械臂任務(wù)空間模糊跟蹤控制*

徐恩華1，徐 燕2，黃宇飛2

(1. 廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院飛機(jī)維修工程學(xué)院，廣東 廣州 510403；2. 廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)部，廣東 廣州 510403)

針對(duì)機(jī)械臂任務(wù)空間控制中動(dòng)力學(xué)參數(shù)及負(fù)載均未知，導(dǎo)致末端軌跡跟蹤難以實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題，提出了一種自適應(yīng)模糊控制器(AFC)設(shè)計(jì)方法。采用一個(gè)濾波器濾除由末端位置微分獲得的速度信號(hào)中的噪聲；根據(jù)關(guān)節(jié)速度與Jacobian矩陣估計(jì)末端速度，并將估計(jì)誤差引入控制器設(shè)計(jì)；通過(guò)另一個(gè)濾波器對(duì)誤差函數(shù)進(jìn)行處理。控制律由兩部分組成，第一部分是一個(gè)模糊邏輯系統(tǒng)的輸出，用來(lái)逼近機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型中包含摩擦等在內(nèi)的非線性環(huán)節(jié)；第二部分是一個(gè)魯棒項(xiàng)，用來(lái)減小系統(tǒng)外部擾動(dòng)及模糊逼近誤差帶來(lái)的影響。通過(guò)Lyapunov方法設(shè)計(jì)控制器并證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Matlab環(huán)境下的對(duì)比仿真表明，本文所提方法下，機(jī)械臂末端跟蹤軌跡平滑，且保持較高的跟蹤精度。

機(jī)械臂；任務(wù)空間；模糊邏輯系統(tǒng)；自適應(yīng)控制；未知參數(shù)

近年來(lái)，機(jī)械臂高精度控制吸引了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注。目前對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間的軌跡跟蹤問(wèn)題的研究，已經(jīng)取得了一系列的成果[1-3]，對(duì)任務(wù)空間的軌跡跟蹤研究相對(duì)較少。而對(duì)于大部分工業(yè)機(jī)械臂，通過(guò)末端執(zhí)行器在任務(wù)空間中完成任務(wù)，機(jī)械臂的期望軌跡也描述在任務(wù)空間中。在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型確定，即已知機(jī)械臂Jacobian矩陣，通常采用機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)將期望軌跡由任務(wù)空間轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間[4-10]；但是由于機(jī)械臂需要抓持不同的負(fù)載進(jìn)行作業(yè)，難以精確獲得機(jī)械臂的Jacobian矩陣，上述由任務(wù)空間到關(guān)節(jié)空間的轉(zhuǎn)換難以實(shí)現(xiàn)；這給機(jī)械臂的任務(wù)空間的軌跡跟蹤帶來(lái)了困難。有必要設(shè)計(jì)高性能的機(jī)械臂任務(wù)空間跟蹤控制算法，以滿足機(jī)械臂高精度跟蹤控制的要求。

針對(duì)上述任務(wù)空間控制中機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)不確定的問(wèn)題，有一些相應(yīng)的研究成果[11-18]，Dixon與Liu等設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂末端的鎮(zhèn)定控制[11-12]；文獻(xiàn)[13]考慮執(zhí)行器飽和，提出了一種設(shè)定值自適應(yīng)控制方法；文獻(xiàn)[14]使用一個(gè)低通濾波器構(gòu)建誤差函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂末端的自適應(yīng)軌跡跟蹤控制，但是由于機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型具有高度非線性和強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，上述方法在機(jī)械臂自由度增加時(shí)難以實(shí)現(xiàn)；文獻(xiàn)[15]提出了一種機(jī)械臂任務(wù)空間魯棒連續(xù)非奇異Terminal滑模跟蹤控制方法，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂在任務(wù)空間的軌跡跟蹤控制；文獻(xiàn)[16]采用單位四元數(shù)法描述機(jī)械臂末端執(zhí)行器的空間軌跡，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法實(shí)現(xiàn)了末端的軌跡跟蹤；文獻(xiàn)[17]假設(shè)Jacobian矩陣已知，設(shè)計(jì)了一個(gè)魯棒神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，但是沒(méi)有給出系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明。

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文提出了一種新的機(jī)械臂任務(wù)空間自適應(yīng)模糊控制器設(shè)計(jì)方法。模糊邏輯系統(tǒng)可以逼近緊致集內(nèi)的任意連續(xù)函數(shù)，且不依賴系統(tǒng)模型[18]。該方法不需要精確測(cè)量機(jī)械臂末端的速度，降低了成本，并且在控制器設(shè)計(jì)中將末端速度的跟蹤誤差考慮在內(nèi)；采用一個(gè)模糊邏輯系統(tǒng)逼近系統(tǒng)的未知非線性環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)化了控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程，并通過(guò)一個(gè)魯棒項(xiàng)減小外部擾動(dòng)及逼近誤差帶來(lái)的影響。采用Lyapunov方法設(shè)計(jì)了控制器參數(shù)的自適應(yīng)律，并給出了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明。

1 機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

圖1所示為一種三關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)械臂模型，圖中機(jī)械臂三個(gè)桿件的質(zhì)量分別為m1、m2、m3，長(zhǎng)度分別為l1、l2、l3；機(jī)械臂的末端所抓持負(fù)載的質(zhì)量與長(zhǎng)度分別為m4與l4。機(jī)械臂末端執(zhí)行器在任務(wù)空間中的矢量坐標(biāo)x∈R3可以描述為

圖1 三關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)械臂模型Fig.1 Robot manipulator with three joint

(1)

式中h(·)∈R3，q=[q1,q2,q3]T為機(jī)械臂的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角向量，末端執(zhí)行器的速度描述為

(2)

不考慮系統(tǒng)柔性，該機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型為

(3)

性質(zhì)1M(q)為正定對(duì)稱矩陣；

(4)

(5)

機(jī)械臂末端的速度難以直接測(cè)量，通過(guò)對(duì)末端位置進(jìn)行微分獲得，但是這樣會(huì)導(dǎo)致噪聲的摻入，因此通過(guò)一個(gè)低通濾波器對(duì)微分獲得的速度進(jìn)行濾波[20]

(6)

其中λ1>0為時(shí)間常數(shù)，y為濾波后的機(jī)械臂末端速度，其初值為y(0)=[0,0,0]T，對(duì)(6)式進(jìn)行拉式變換，得到

(7)

2 自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)其函數(shù)逼近

由于很難獲得精確的動(dòng)力學(xué)參數(shù)，因此機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型通常未知；同時(shí)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型具有高度非線性和強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，在控制器設(shè)計(jì)時(shí)有必要采用合適的非線性補(bǔ)償方法。模糊系統(tǒng)能在任意精度逼近緊致集上的任意連續(xù)實(shí)函數(shù)；本文采用基于乘機(jī)推理方法和中心平均消除器的多輸入多輸出自適應(yīng)模糊系統(tǒng)，來(lái)逼近系統(tǒng)中未知的非線性環(huán)節(jié)。對(duì)一個(gè)N1輸入N2輸出的模糊邏輯系統(tǒng)，若使用N3個(gè)模糊基函數(shù)，其第i個(gè)輸出的表示為

(8)

(9)

自適應(yīng)模糊系統(tǒng)的矩陣形式為

(10)

3 自適應(yīng)模糊控制器設(shè)計(jì)

3.1 控制器設(shè)計(jì)

定義機(jī)械臂末端執(zhí)行器的跟蹤誤差

e=x-xd

(11)

對(duì) (11)式求導(dǎo)得

(12)

(13)

定義機(jī)械臂末端速度跟蹤誤差的估計(jì)值為

(14)

將(13)式代入(14)式并求導(dǎo)得到

(15)

上式可以改寫(xiě)為

(16)

通過(guò)一個(gè)低通濾波器設(shè)計(jì)誤差函數(shù)，定義為

(17)

其中kp>0，kv>0；λ2>0為時(shí)間常數(shù)，p為拉格朗日變量。對(duì)(17)式進(jìn)行拉式逆變換式可以得到

(18)

其中上式兩邊同時(shí)左乘M，得到

(19)

結(jié)合(3)式、(15)式和(19)式得到

(20)

(21)

取控制量

(22)

3.2 穩(wěn)定性分析

定理1 對(duì)于被控對(duì)象(3)，采用(22)式的控制律與(23)式的參數(shù)自適應(yīng)律，若滿足kr>kd1+kd 2，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

(23)

證明 選取Lyapunov函數(shù)

(24)

(25)

將(20)式代入(25)式得到

(26)

將(21)式和控制律(22) 代入(26)式得到：

(27)

根據(jù)性質(zhì)2，(27)式可以寫(xiě)為：

(28)

將(23)式代入(28)式得到

(29)

由于性質(zhì)

(29)式可以改寫(xiě)為

(30)

將(7)式代入(30)式得到

(31)

(32)

所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

4 數(shù)值仿真

兩個(gè)濾波器的時(shí)間參數(shù)取值為：λ1=λ2=40。

仿真1 為了驗(yàn)證本文所提算法的有效性，與文獻(xiàn)[12]算法作對(duì)比，負(fù)載質(zhì)量與尺寸選取為：m4=1 kg；l4=0.5 m。圖2為在本文所提AFC算法下，系統(tǒng)不存在外部擾動(dòng)d時(shí)，機(jī)械臂末端跟蹤軌跡與期望軌跡的對(duì)比曲線，跟蹤軌跡與期望軌跡在XOY、XOZ、YOZ平面的投影如圖3所示。

圖2 AFC算法下的末端跟蹤曲線Fig.2 End tracking curve on AFC algorithm

圖3 AFC算法下跟蹤曲線的平面投影Fig.3 Plane projection of the track curve on AFC algorithm

圖4 文獻(xiàn)[13]算法末端跟蹤曲線Fig.4 End tracking curve in [13]

圖5 文獻(xiàn)[12]算法跟蹤曲線的平面投影Fig.5 Plane projection of the track curve in [12]

兩種算法的位置跟蹤誤差對(duì)比如圖6所示，通過(guò)對(duì)比可以看出，本文所提AFC算法下，機(jī)械臂的末端軌跡收斂更平滑，且穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差更小。

圖6 位置跟蹤誤差對(duì)比圖Fig.6 Comparison diagram of error in position tracking

圖7 速度跟蹤誤差對(duì)比圖Fig.7 Comparison diagram of error in velocity tracking

為了驗(yàn)證文中所用模糊邏輯系統(tǒng)的有效性，將模糊邏輯系統(tǒng)的輸出曲線與(20)式中非線性函數(shù)F作對(duì)比，對(duì)比曲線如圖8所示，模糊邏輯系統(tǒng)能夠有效地逼近系統(tǒng)中的非線性環(huán)節(jié)。

根據(jù)自適應(yīng)更新律(23)得到的機(jī)械臂負(fù)載的尺寸估計(jì)曲線如圖9所示，負(fù)載尺寸的估計(jì)值能夠迅速收斂。

圖8 模糊邏輯系統(tǒng)逼近效果圖Fig.8 Approximation effect diagram of fuzzy logic system

圖9 負(fù)載尺寸估計(jì)曲線Fig.9 Estimation curve of load size

仿真2 為了驗(yàn)證本文所提方法下系統(tǒng)的魯棒性能，進(jìn)行如下仿真實(shí)驗(yàn)，負(fù)載尺寸恒定，質(zhì)量時(shí)變，系統(tǒng)存在外部擾動(dòng)d的情況下，該控制器的控制效果。d=5sint[1,1,1]T，質(zhì)量隨時(shí)間變化的函數(shù)為：m4=1+0.5sint。仿真結(jié)果如圖10所示，仿真結(jié)果表明，在負(fù)載質(zhì)量時(shí)變且系統(tǒng)存在擾動(dòng)的條件下，系統(tǒng)的誤差曲線依然能夠快速收斂，且跟蹤精度較高。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)機(jī)械臂任務(wù)空間控制問(wèn)題中運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)模型不確定的情況，對(duì)機(jī)械臂末端速度進(jìn)行估計(jì)并將估計(jì)誤差引入到控制器設(shè)計(jì)中，使末端跟蹤曲線更平滑；使用低通濾波器構(gòu)造了誤差函數(shù)，并通過(guò)一個(gè)模糊邏輯系統(tǒng)簡(jiǎn)化了控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程，魯棒項(xiàng)的引入使系統(tǒng)具有了更好的魯棒性。

圖10 負(fù)載質(zhì)量時(shí)變且存在擾動(dòng)時(shí)位置跟蹤誤差Fig.10 Position tracking error with the changed load mass and the destabilization

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Adaptive fuzzy control for robot manipulators with uncertain load in task-space

XUEnhua1,XUYan2,HUANGYufei2

(1. School of Aircraft Maintenance Engineering, Guangzhou Civil Aviation College,Guangzhou 510403, China;2. Department of Mathematics, Guangzhou Civil Aviation College, Guangzhou 510403, China)

An adaptive fuzzy controller(AFC) is proposed by considering the uncertain payload as well as robot dynamics in task space. To eliminate the noise from the velocity obtained by the differential of position, the velocity is filtered by a low-pass filter, while, the task-space velocity is estimated by the Jacobian matrix. The estimation error is considered in the controller design. And another low-pass filter is used to build the error function. The control law is composed of two parts. The first part is a fuzzy logic system approximating the nonlinear term of the robot dynamics, including friction; and the second part is a robust term to reduce the approximate error of the fuzzy logic system as well as the uncertain external disturbance. Using Lyapunov theory, the controller is given and the stability of the closed-loop system is proved. Comparing simulink results by using matlab show that, the tracking tajectory of the end-effector under the proposed AFC controller has good accuracy and smoothness.

robot manipulator; task-space tracking; fuzzy logic system; adaptive control; uncertain parameters

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.02.002

2016-01-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11501139)

徐恩華(1980年生)，男；研究方向：電氣自動(dòng)化、航空可靠性；通訊作者：徐燕;E-mail:10000583@caac.net

TP241

A

0529-6579(2016)02-0007-07