二階矩陣環(huán)的交換圖的自同構(gòu)*

周津名

(1. 中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2. 合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

二階矩陣環(huán)的交換圖的自同構(gòu)*

周津名1,2

(1. 中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2. 合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

設(shè)Γ(M)為有限域上二階矩陣環(huán)的交換圖，通過構(gòu)造Γ(M)的壓縮圖并研究兩圖的自同構(gòu)群之間的關(guān)系，完全刻畫出Γ(M)的所有自同構(gòu)。

矩陣環(huán)；非交換環(huán)；交換圖；自同構(gòu)

近年來，很多學(xué)者致力于研究兩個同構(gòu)的交換圖所對應(yīng)的非交換環(huán)之間的關(guān)系及交換圖的參數(shù)問題[1-8]。與此同時，我們注意到關(guān)于圖的自同構(gòu)問題的研究已取得很多成果，例如強(qiáng)正則圖、廣義正交圖、循環(huán)圖、零因子圖、Cayley 圖等圖的自同構(gòu)的刻畫[9-13]，但對于交換圖的自同構(gòu)問題的研究卻較為滯后。到目前為止，我們僅僅搜索到兩篇論文研究有限群的交換圖的自同構(gòu)[14-15]，且目前還沒有公開發(fā)表的完全刻畫非交換環(huán)的交換圖的自同構(gòu)群的論文，而研究交換圖的自同構(gòu)群有助于研究代數(shù)系統(tǒng)上保交換的非線性映射?；诖?，本文致力于研究有限域上二階矩陣環(huán)的交換圖Γ(M)的自同構(gòu)群，并將其完全刻畫出來。

1 預(yù)備知識

本文討論的圖均為簡單圖。對圖Γ，通常用V(Γ)表示Γ的頂點(diǎn)集。對頂點(diǎn)x∈V(Γ)，用N(x)={y∈V(Γ)|y與x鄰接}表示x在Γ中的鄰集。設(shè)A?V(Γ)，若A中的任意兩個不同的頂點(diǎn)在Γ中均鄰接，則稱A為Γ的一個團(tuán)；若A中的任意兩個不同的頂點(diǎn)在圖Γ中均不鄰接，則稱A為Γ的一個獨(dú)立集。若V(Γ)上一個雙射σ保持Γ頂點(diǎn)間的鄰接關(guān)系(即x與y鄰接當(dāng)且僅當(dāng)σ(x)與σ(y)鄰接)，則稱σ為Γ的一個自同構(gòu)。Γ的所有自同構(gòu)形成的群稱為Γ的自同構(gòu)群，記為Aut(Γ)。設(shè)n為正整數(shù)，記Sn為n次對稱群。設(shè)B為一個集合，|B|表示B的基數(shù)，SB表示B上的置換群。

設(shè)F是含q個元素的有限域，F(xiàn)*=F{0}，M2(F)為F上的所有二階矩陣構(gòu)成的環(huán)，Eij為M2(F)中(i,j)元為 1 其余元為 0 的矩陣單位，I為M2(F)的單位陣，則環(huán)M2(F)的中心為Z={aI|a∈F}。對A∈M2(F)，記F[A]為域F上的關(guān)于A的多項(xiàng)式全體。簡記Γ(M)為M2(F)的交換圖，即以M2(F)為頂點(diǎn)集，兩個不相同的頂點(diǎn)A與B相鄰接當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA。本節(jié)主要研究M2(F)中矩陣的中心化子，為研究Γ(M)及其壓縮圖ΓE(M)的結(jié)構(gòu)及其自同構(gòu)群做準(zhǔn)備。

引理1 設(shè)A,B∈M2(F)，則

(i)F[A]={aA+bI|a,b∈F}，

(ii)F[A]=F[B]當(dāng)且僅當(dāng)存在a∈F*,b∈F使得A=aB+bI。

證明

(i) 通過直接計(jì)算，易證對任意的A∈M2(F)均存在a,b∈F使得A2=aA+bI，進(jìn)而F[A]={aA+bI|a,b∈F}。

(ii) “?” 若A=aB+bI，其中a∈F*,b∈F，則由 (i)可得

故F[A]=F[B]。

“?”若F[A]=F[B]，則存在a,b,c,d∈F使得A=aB+bI,B=cA+dI。從而A=acA+(ad-b)I,B=acB+(bc+d)I, 進(jìn)而

(1)

若A?Z或者B?Z，則由(1)式可知ac=1，進(jìn)而a∈F*，A=aB+bI。若A,B∈Z，則顯然有A=B+(A-B+I),B=A+(B-A+I)滿足條件。證畢。

引理2 設(shè)A∈M2(F)，則C(A)=F[A]，C(A)={aA+bI|a∈F*,b∈F}。

從而

(2)

由 (2)式可知，對任意的2≤i,j≤4均有aibj=biaj，進(jìn)而

(3)

Z={aA+bI|a,b∈F}=F[A]

證畢。

2 主要結(jié)論

本節(jié)構(gòu)造了Γ(M)的壓縮圖ΓE(M)，通過研究ΓE(M)的自同構(gòu)群及Aut(Γ(M))與Aut(ΓE(M))之間的關(guān)系，刻畫了Γ(M)的自同構(gòu)群。

下面給出Γ(M)的壓縮圖。在給定的非交換環(huán)M2(F)中規(guī)定關(guān)系～：A～B當(dāng)且僅當(dāng)C(A)=C(B)。則Γ(M)的頂點(diǎn)集有如下分類

(4)

故Γ(M)的壓縮圖ΓE(M)以{[Ai]|i=1,2,…,q2+q+1}為頂點(diǎn)集，兩個不相同的頂點(diǎn)[Ai]與[Aj]相鄰接當(dāng)且僅當(dāng)AiAj=AjAi。

引理3 設(shè)A,B∈M2(F)，則AB=BA當(dāng)且僅當(dāng)[A]=[B]。

證明 若AB=BA，則由引理2可得,

故存在a0∈F*,b0∈F使得B=a0A+b0I，進(jìn)而C(B)=C(a0A+b0I)=C(A)，從而[A]=[B]。反之，若[A]=[B]，則C(A)=C(B)，進(jìn)而F[A]=F[B]，再由引理1可知存在a∈F*,b∈F使得B=aA+bI，故AB=BA。證畢。

接下來討論ΓE(M)的結(jié)構(gòu)及其自同構(gòu)群，然后再回到Γ(M)來討論Γ(M)的自同構(gòu)群。

引理 4ΓE(M)為頂點(diǎn)數(shù)為q2+q+1的獨(dú)立集，且Aut(ΓE(M))?Sq2+q+1。

證明 由ΓE(M)的定義可知，

若ΓE(M)有一條邊從頂點(diǎn)[Ai]到頂點(diǎn)[Aj]，則AiAj=AjAi。由引理3可知[Ai]=[Aj]，矛盾。故ΓE(M)中沒有邊，其為獨(dú)立集。從而V(ΓE(M))的任一置換均為ΓE(M)的自同構(gòu)，故Aut(ΓE(M))?Sq2+q+1。證畢。

下述引理討論了Γ(M)的具體結(jié)構(gòu), 其結(jié)論和文獻(xiàn)[1]的定理2一致，但該引理明確給出了Γ(M)的q2+q+1個團(tuán)。

引理5Γ(M)為q2+q+1個團(tuán)的不交并，且每個團(tuán)的大小為q(q-1)。

引理6 對任意的σ∈Aut(Γ(M))，1≤i,j≤q2+q+1，若存在A∈[Ai]使得σ(A)∈[Aj]，則σ([Ai])=[Aj]。

證明 設(shè)B∈[Ai]且B≠A，則[B]=[Ai]=[A]。由引理3得AB=BA，從而在Γ(M)中A和B鄰接，進(jìn)而σ(A)和σ(B)鄰接，故σ(A)σ(B)=σ(B)σ(A)。由引理3可得[σ(B)]=[σ(A)]=[Aj]，即σ(B)∈[Aj]。從而σ([Ai])?[Aj]。由|[Ai]|=q(q-1)=|[Aj]|且σ為雙射可知σ([Ai])=[Aj]。證畢。

對任意的[Ai],1≤i≤q2+q+1，令σi為V(Γ(M))上的雙射，滿足σi([Ai])=[Ai]，且當(dāng)B∈V(Γ(M))[Ai]時有σi(B)=B，即σi置換了團(tuán)[Ai]內(nèi)的頂點(diǎn)，同時穩(wěn)定[Ai]外的頂點(diǎn)。顯然σi為Γ(M)的自同構(gòu)，令Σi={σi|σi([Ai])=[Ai],σi(B)=B,B∈V(Γ(M))[Ai]}，則Σi為Aut(Γ(M))的子群，且Σi?S[Ai]?Sq(q-1)。接下來研究Aut(Γ(M))與Aut(ΓE(M))之間的關(guān)系。

證明 顯然，有：

以下分三個步驟來證明本定理。

第一步： 證明每一個σ∈Aut(Γ(M))均誘導(dǎo)一個σ′∈Aut(ΓE(M))。

對任意σ∈Aut(Γ(M))，令σ′為V(ΓE(M))上的映射，且σ′([Ai])=σ([Ai])，i=1,2,…,q2+q+1，下面分四步證明σ′∈Aut(ΓE(M))。

(ii)σ′是單射。 若σ′([Ai])=σ′([Aj])，則σ([Ai])=σ([Aj])，由σ為V(Γ(M))的雙射可知[Ai]=[Aj]，即σ′是V(ΓE(M))的單射。

(iii)σ′ 是滿射。 對任意[Aj]，由于σ為V(Γ(M))上的雙射，故存在i=1,2,…,q2+q+1，A∈[Ai]使得σ(A)∈[Aj]。由引理6知σ′([Ai])=σ([Ai])=[Aj]，即σ′為滿射。

(iv)σ′為ΓE(M)的自同構(gòu)。由(i)-(iii) 可知，σ′為V(ΓE(M))={[Ai]|i=1,2,…,q2+q+1}上的雙射，由于ΓE(M)為獨(dú)立集，故V(ΓE(M))上的任意雙射均為ΓE(M)的自同構(gòu)，故σ′∈Aut(ΓE(M))。

欲證φ為滿同態(tài)，只需證明φ為滿射且為同態(tài)映射，我們分兩步進(jìn)行證明。

(v)φ為滿射。注意到對任意的σ′∈Aut(ΓE(M))，1≤i≤q2+q+1，均有|[Ai]|=q(q-1)=|σ′([Ai])|。可令σ為V(Γ(M))上滿足σ([Ai])=σ′([Ai]),1≤i≤q2+q+1的雙射，下證σ∈Aut(Γ(M))。一方面，對任意A,B∈V(Γ(M))，若A與B鄰接，則A≠B且AB=BA，從而[A]=[B]。不妨設(shè)[A]=[B]=[Ai]，其中1≤i≤q2+q+1，則存在1≤j≤q2+q+1使得

故

σ(A)∈σ([A])=[Aj],σ(B)∈σ([B])=[Aj]

而[Aj]={aAj+bI|a∈F*,b∈F}中的任意兩個矩陣均可換，故σ(A)和σ(B)可換。又由A≠B且σ為雙射可知σ(A)≠σ(B)。故在Γ(M)中σ(A)和σ(B)鄰接。另一方面，若σ(A)和σ(B)在Γ(M)中鄰接，則σ(A)≠σ(B)且σ(A)和σ(B)可換。由σ(A)≠σ(B)和σ為雙射易得A≠B。假設(shè)AB≠BA，則由引理3可知[A]≠[B]，從而[A]和[B]在獨(dú)立集ΓE(M)中不鄰接，進(jìn)而σ′([A])和σ′([B])在ΓE(M)中不鄰接。而σ([A])=σ′([A]),σ([B])=σ′([B])，故σ([A])的任一矩陣與σ([B])中的矩陣均不可換，從而σ(A)和σ(B)不可換，矛盾。故假設(shè)不成立，即AB=BA。故σ∈Aut(Γ(M))，φ為滿射。

(vi)φ為同態(tài)映射。對任意的σ1,σ2∈Aut(Γ(M))，結(jié)合引理6可知，對任意[Ai]存在[Aj]使σ2([Ai])=[Aj]，則

又(σ1σ2)([Ai])=(σ1σ2)′([Ai])，從而(σ1σ2)′=σ1′σ2′，即φ為同態(tài)映射。

第三步：證明滿同態(tài)φ的核為

一方面，若φ(σ)=σ′為V(ΓE(M))上的恒等自同構(gòu)，則對任意的1≤i≤q2+q+1均有σ′([Ai])=[Ai]，即

推論1 Aut(Γ(M))?(Sq(q-1))q2+q+1×Sq2+q+1證明 由定理1可知，

證畢。

由推論1立得如下推論。

推論2

設(shè){j1,j2,…,jq2+q+1}={1,2,…,q2+q+1}，令δ(j1,j2,…,jq2+q+1)為V(Γ(M))上的雙射，且δ([Ai])=[Aji],1≤i≤q2+q+1。由引理5易知δ(j1,j2,…,jq2+q+1)為Γ(M)的自同構(gòu)。令

由推論2立得下述結(jié)論。

推論3 Aut(Γ(M))=Δ

證明 顯然Δ?Aut(Γ(M))，又由

可知，Aut(Γ(M))=Δ。證畢。

[1]AKBARIS,GHANDEHARIM,HADIANM,etal.Oncommutinggraphsofsemisimplerings[J].LinearAlgebraAppl, 2004, 390:345-355.

[2]ABDOLLAHIA.Commutinggraphsoffullmatrixringsoverfinitefields[J].LinearAlgebraAppl, 2008, 428:2947-2954.

[3]MOHAMMADIANA.Oncommutinggraphsoffinitematrixrings[J].CommunAlgebra, 2010, 38:988-994.

[4]AKBARIS,MOHAMMADIANA,RADJAVIH,etal.Onthediametersofcommutinggraphs[J].LinearAlgebraAppl, 2006, 418:161-176.

[5]ARAUJOJ,KINYONM,KONIECZNYJ.Minimalpathsinthecommutinggraphsofsemigroups[J].EuropeanJCombin, 2011, 32:178-197.

[6]DOLZAND,OBLAKP.Commutinggraphsofmatricesoversemirings[J].LinearAlgebraAppl, 2011, 435:1657-1665.

[7]GIUDICIM,POPEA.Thediametersofcommutinggraphsoflineargroupsandmatrixringsovertheintegersmodulom[J]. Australas J Combin, 2010, 48:221-230.

[8] SEGEV Y. The commuting graph of minimal nonsolvable groups [J]. Geom Dedicata, 2001, 88:55-66.

[9] BABAI L. On the automorphism groups of strongly regular graphs II [J]. J Algebra, 2015, 421:560-578.

[10] 霍麗君, 郭文彬, 麻常利. 特征為奇數(shù)的廣義正交圖的自同構(gòu)[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報, 2014, 57(1):71-88.

[11] 孫良. 循環(huán)圖的自同構(gòu)群[J]. 北京理工大學(xué)學(xué)報, 1988(1):1-5.

[12] WONG D Y, MA X B, ZHOU J M. The group of automorphisms of a zero-divisor graph based on rank one upper triangular matrices [J]. Linear Algebra Appl, 2014, 460(1):242-258.

[13] MORRIS J, SPIGA P, VERRET G. Automorphisms of Cayley graphs on generalised dicyclic groups [J]. Eur J Combin, 2015, 43:68-81.

[14] MIRZARGAR M, PACH P P, ASHRAFI A R. The automorphism group of commuting graph of a finite group [J]. Bull Korean Math Soc, 2014, 51(4):1145-1153.

[15] MIRZARGAR M, PACH P P, ASHRAFI A R. Remarks on commuting graph of a finite group [J]. Electron Notes Discrete Math, 2014, 45:103-106.

Automorphisms of the commuting graph over 2×2matrixring

ZHOUJinming1,2

(1. School of Sciences, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China;2. School of Mathematics and Statistics, Hefei Normal University, Hefei 230601, China)

LetΓ(M)bethecommutinggraphof2×2matrixringoverafinitefield.ThecompressedgraphofΓ(M)isconstructedandtherelationshipoftheautomorphismgroupsofthesetwographsisstudied,thenalltheautomorphismsofΓ(M)aredetermined.

matrix rings; noncommutative rings; commuting graphs; automorphisms

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.01.007

2015-07-07

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401570)；江蘇省自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(BK20140177)；2014年江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目 (KYZZ_0371)

周津名(1982年生)，女；研究方向:代數(shù)圖論;E-mail:zjminguv@163.com

O

A

0529-6579(2016)01-0039-05