關(guān)于線性代數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考

朱艷麗（華南農(nóng)業(yè)大學(xué)　數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，廣東　廣州　510642）

關(guān)于線性代數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考

朱艷麗
（華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，廣東廣州510642）

摘要：隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，線性代數(shù)在許多科學(xué)領(lǐng)域起著越來越重要的作用，線性代數(shù)也成為高等院校的一門重要的基礎(chǔ)課程，本文主要介紹了兩點(diǎn)在線性代數(shù)教學(xué)中學(xué)生經(jīng)常遇到的問題以及解決的方法，這在教師的實(shí)際教學(xué)和學(xué)生日常學(xué)習(xí)中非常實(shí)用，最后也對(duì)如何學(xué)好這門課提出了一些自己的建議。

關(guān)鍵詞：特征值；可逆；正交；正定；對(duì)稱

引言

線性代數(shù)是高等院校的一門重要基礎(chǔ)課程，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的飛速發(fā)展，使它在許多科學(xué)領(lǐng)域都起著越來越重要的作用。由于線性代數(shù)里面所包含的基本概念較多，涉及的理論和方法具有較強(qiáng)的邏輯性和抽象性，以至于很多學(xué)生，尤其中學(xué)是文科背景出來的學(xué)生學(xué)習(xí)起來非常吃力。本文主要介紹兩個(gè)在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中學(xué)生容易遇到的問題和解決的方法，第一個(gè)是學(xué)生在求矩陣特征值時(shí)經(jīng)常遇見的問題，一旦遇到矩陣特征方程的次數(shù)是三次或三次以上時(shí)，學(xué)生往往不知道如何分解因式求特征值，針對(duì)這個(gè)問題通過代數(shù)學(xué)里的艾森斯坦判別法來解決；第二個(gè)是對(duì)于書本里面四個(gè)容易混淆的概念：可逆矩陣、正交矩陣、正定矩陣、對(duì)稱矩陣的定義進(jìn)行了梳理，并討論了它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，讓大家對(duì)這四個(gè)概念有著更加清晰和深刻；最后對(duì)如何學(xué)好線性代數(shù)提出了一些建議。

一、用艾森斯坦判別法求矩陣的特征值

在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，求矩陣的特征值經(jīng)常遇到，因?yàn)檫@在矩陣的對(duì)角化和二次型化標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)都要用到。而求矩陣的特征值需要先求矩陣的特征多項(xiàng)式，再求特征多項(xiàng)式的根。這時(shí)一旦遇到次數(shù)是三次或三次以上的特征多項(xiàng)式求特征根時(shí)，學(xué)生往往不知道怎么分解因式找特征根，這時(shí)可以使用代數(shù)學(xué)里的艾森斯坦判別法來解決。下面先介紹艾森斯坦判別法的定理內(nèi)容：定理：f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而是它的一個(gè)有理根。其中r,s互素，那么必有s|an,r|a0。特別的，如果f(x)的首項(xiàng)系數(shù)an=1，那么f(x)的有理根都是整數(shù)，而且是a0的因子。

1.如果矩陣的特征多項(xiàng)式是整系數(shù)多項(xiàng)式，由于特征多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)為1，使用艾森斯坦判別法我們知道矩陣的特征值一定是其特征多項(xiàng)式中常數(shù)項(xiàng)的因子，這樣求特征值的范圍就大大縮小了，可以先找出特征多項(xiàng)式中常數(shù)項(xiàng)的所有因子，它們就是矩陣的所有可能的特征值，最后再把它們帶回到特征多項(xiàng)式中，滿足該特征方程的就是矩陣的特征值。下面我們看一道例題：

解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：f(λ)=|λI-A|=λ3-6λ2+3λ+10，由艾森斯坦判別法可知該矩陣的特征值是常數(shù)項(xiàng)10的因子，所以可能的特征值有±1,±2，±5,±10代入特征多項(xiàng)式后發(fā)現(xiàn)-1,2,5是矩陣A的特征值。

2.如果矩陣的特征多項(xiàng)式是有理系數(shù)但不是整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，我們可以找到一個(gè)與之有相同特征值的整系數(shù)多項(xiàng)式，從而也可以使用艾森斯坦判別法求出其特征值。如例2：

這個(gè)方法在求特征值時(shí)非常有用，尤其是對(duì)次數(shù)是三次以及三次以上的特征多項(xiàng)式求有理特征根時(shí)效果明顯，并且簡單，容易操作，學(xué)生很容易理解和掌握，在日常的教學(xué)中可以介紹給學(xué)生。

二、可逆矩陣、正交矩陣、正定矩陣、對(duì)稱矩陣的區(qū)別與聯(lián)系

線性代數(shù)這門課程邏輯性強(qiáng)，前后知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系緊密，理解清楚每個(gè)概念非常重要，由于涉及到的概念較多，學(xué)生對(duì)概念理解的不夠徹底，容易把很多概念混在一起。最常見的問題是學(xué)完整本書后，把矩陣?yán)锩娴目赡婢仃?，正交矩陣、正定矩陣、?duì)稱矩陣混在一起，搞不清楚它們之間的區(qū)別和聯(lián)系因此有必要把這幾個(gè)概念理清楚。可逆矩陣的概念在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)里經(jīng)常見到，它幾乎貫穿在整個(gè)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，可逆矩陣一般可以用三種方式來定義：1. n階矩陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)存在n階矩陣B使得AB=(BA)=I（I為單位矩陣）；2. n階矩陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)存在有限個(gè)初等矩陣p1,p2,…，pn使得A=p1,p2,…，pn；3. n階矩陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)（A*為A的伴隨矩陣）。

第一個(gè)是可逆矩陣最基本的定義，是后面兩個(gè)定義的基礎(chǔ)，在有關(guān)可逆矩陣的證明時(shí)會(huì)常用到；第二個(gè)定義是用初等變換求逆矩陣的基本原理，在實(shí)際的求逆矩陣時(shí)我們經(jīng)常會(huì)使用初等變換求矩陣的逆矩陣；第三個(gè)定義在實(shí)際操作中經(jīng)常用來判斷矩陣是否可逆，因?yàn)橹恍枰袛嗑仃嚨男辛惺绞欠駷榱憔涂梢粤?，方法簡單容易操作。正交矩陣的定義有兩種：1. n階矩陣A為正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AAT=ATA=I；2. n階矩陣A為正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A的行向量和列向量都是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。

第一個(gè)定義是正交矩陣的基本定義，在許多關(guān)于正交矩陣的證明里會(huì)用到；第二個(gè)定義可以從矩陣本身看出其是否為正交矩陣，在實(shí)際的判斷正交矩陣時(shí)經(jīng)常用到。

正定矩陣是根據(jù)二次型來定義的，它的定義是通過正定二次型來刻畫的，正定二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣稱為正定矩陣，所以正定矩陣首先是對(duì)稱矩陣。關(guān)于正定矩陣的等價(jià)命題一般常用的有三種：

1.實(shí)對(duì)稱矩陣A正定當(dāng)且僅當(dāng)A與單位矩陣I合同；2.實(shí)對(duì)稱矩陣A正定當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣C使得A=CTC；3.（霍爾維茨定理）實(shí)對(duì)稱矩陣A正定當(dāng)且僅當(dāng)A的所有順序階主子式均大于零。

其中在證明與正定矩陣有關(guān)的問題時(shí)經(jīng)常用到前面兩個(gè)命題，而最后一個(gè)命題是我們?cè)趯?shí)際中判斷一個(gè)矩陣是否正定最常用的方法。

對(duì)稱矩陣的定義一般有兩種：1. A為對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AT=A；2. A=(aij)為對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)aij=aji，即矩陣A關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱位置上的元素對(duì)應(yīng)相等。

第一個(gè)定義是對(duì)稱矩陣的基本定義，在許多關(guān)于對(duì)稱的證明里會(huì)用到；第二個(gè)是從矩陣的元素來定義它的對(duì)稱性，非常的直觀且容易理解。

通過對(duì)定義的分析和理解，可以很容易分清四者的區(qū)別和聯(lián)系：1.正交矩陣，正定矩陣都是可逆的，因?yàn)檎痪仃嚨男辛惺綖椤?，正定矩陣的行列式大于零，都不等于零，所以可逆；2.正交矩陣和正定矩陣之間沒有特別的聯(lián)系，但正定矩陣一定是對(duì)稱矩陣，正交矩陣不一定是對(duì)稱矩陣；3.有限個(gè)可逆矩陣相乘還是可逆的，有限個(gè)正交矩陣相乘也是正交的，但是兩個(gè)正定矩陣相乘未必正定，兩個(gè)對(duì)稱矩陣相乘也未必是對(duì)稱矩陣；

其實(shí)如果n階矩陣A,B均為對(duì)稱矩陣，AB為對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA，由于矩陣的乘法一般不滿足交換律，所以兩個(gè)對(duì)稱矩陣相乘未必是對(duì)稱矩陣。

4.在平時(shí)的教學(xué)中，很多學(xué)生會(huì)問，矩陣的可逆性，正交性，正定性，對(duì)稱性對(duì)矩陣的加法和減法保持嗎？即A,B可逆，A±B可逆嗎？當(dāng)然不一定，這些反例證明是很容易的。

三、結(jié)束語

在線性代數(shù)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，無論是求矩陣的特征值還是關(guān)于可逆矩陣、正交矩陣、正定矩陣，對(duì)稱矩陣、它們都是非?；A(chǔ)和重要的知識(shí)點(diǎn)，在線性代數(shù)教學(xué)中經(jīng)常遇到，這樣的解釋和總結(jié)往往讓學(xué)生更容易理解和掌握，可以在平時(shí)的教學(xué)中使用。學(xué)好線性代數(shù)首先要做到：1.理解清楚定義，這是最基本的第一步，只有對(duì)每個(gè)概念的定義理解清楚了，才能開始下一步的學(xué)習(xí)；2.會(huì)用基本定理，對(duì)于有的定理而言，證明的過程不需要掌握，但是要知道該定理用在什么地方以及怎么用；3.掌握常用方法，比如求逆矩陣的方法，求行列式的方法，判斷線性方程組是否有解，以及如何求出解的方法，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法等等；4.善于總結(jié)歸納，把一些容易混淆的定義放在一起，找出它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，比如：矩陣與行列式，初學(xué)線性代數(shù)的人會(huì)經(jīng)常搞不清楚它們的關(guān)系，本質(zhì)的區(qū)別就是，矩陣是一張數(shù)表，行列式是一個(gè)具體的數(shù)值；形狀上看，矩陣的行數(shù)和列數(shù)不一定一樣，行列式的行數(shù)和列數(shù)必須一樣；寫法上來看，矩陣一般用大寫的小括號(hào)表示，行列式一般用兩條豎線表示；它們之間的聯(lián)系就是只有方陣才可以求它的行列式。5.通過找反例解決心中疑問，比如：行列式有乘法規(guī)則，即A,B是數(shù)域P上的兩個(gè)n階矩陣，那么|AB|=|A||B|，這時(shí)有同學(xué)就會(huì)提出問題，|A+b|=|A|+|| B||是否成立？這時(shí)可以通過找反例解決這個(gè)問題，如令A(yù)=

，則|A+B|=9≠5=1+4=|A|+|B|。以上就是對(duì)如何學(xué)習(xí)線性代數(shù)這門課提出的一些建議，相信只要做到以上幾點(diǎn)，一定可以學(xué)好這門課。

參考文獻(xiàn)

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Abstract:With the rapid development of information technology, linear algebra plays an increasingly important role in many scientific fields; it is an important basic course in higher education. This paper mainly introduces the problems and solutions which are often encountered in linear algebra teaching, finally also putting forward some suggestions on how to learn this course.

Keywords:eigenvalue; reversible; orthogonal; positive definite; symmetric

中圖分類號(hào)：G642

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2096-000X（2016）05-0132-02

作者簡介：朱艷麗（1979-），女，漢族，四川眉山人，碩士，講師，研究方向：代數(shù)圖論，組合圖論。