三種給藥方式的微分方程及函數(shù)性態(tài)比較探討

王蓮招（廈門醫(yī)學(xué)高等專科學(xué)校，福建　廈門　361008）

三種給藥方式的微分方程及函數(shù)性態(tài)比較探討

王蓮招
（廈門醫(yī)學(xué)高等專科學(xué)校，福建廈門361008）

摘要：建立數(shù)學(xué)模型，揭示醫(yī)藥學(xué)中各變量之間的數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，已成為現(xiàn)代醫(yī)學(xué)發(fā)展的潮流。微分方程是建立數(shù)學(xué)模型的一個(gè)重要工具。函數(shù)是描述變量間相互聯(lián)系的一種數(shù)學(xué)模型，用于表達(dá)變量間相互依賴關(guān)系的基本數(shù)學(xué)形式。研究函數(shù)的性態(tài)可以更好了解其變化規(guī)律，幫助指導(dǎo)解決一些醫(yī)藥學(xué)問題。本文列表比較一室模型中三種給藥方式的微分方程，并用極限、導(dǎo)數(shù)、定積分等微積分?jǐn)?shù)學(xué)工具對(duì)相應(yīng)函數(shù)的性態(tài)進(jìn)行分析探討，梳理三種給藥方式血藥濃度變化規(guī)律。

關(guān)鍵詞：微分方程；函數(shù)；性態(tài)；血藥濃度

隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，醫(yī)藥學(xué)的發(fā)展日趨精確化和解析化，亟需利用數(shù)學(xué)方法解決醫(yī)藥學(xué)中發(fā)現(xiàn)的問題。由定性描述轉(zhuǎn)向定量化分析，揭示醫(yī)藥學(xué)中的數(shù)量規(guī)律性已成為一種趨勢(shì)。微分方程在醫(yī)藥學(xué)的應(yīng)用也越來(lái)越引起人們的關(guān)注和重視。藥物動(dòng)力學(xué)是運(yùn)用動(dòng)力學(xué)原理和數(shù)學(xué)方法，研究藥物、毒物及代謝物在機(jī)體內(nèi)吸收、分布、代謝和排泄過程定量規(guī)律的科學(xué)。一室模型假定身體是由一個(gè)房室組成，給藥后藥物立即均勻分由于整個(gè)房室，并按一級(jí)速率過程從該室中排泄出去。不同的給藥方式藥量在體內(nèi)的變化有不同的規(guī)律、不同的效果。血藥濃度變化規(guī)律是藥物動(dòng)力學(xué)中重要的問題。下面就最簡(jiǎn)單一室模型中三種給藥方式（快速靜脈注射、恒速靜脈滴注、血管外給藥）的微分方程和函數(shù)性態(tài)及血藥濃度變化情況列表比較探討。

一、微分方程模型及函數(shù)[1]

設(shè)D0為給藥劑量，D(t)為t時(shí)刻體內(nèi)的藥物量，c(t)為t時(shí)刻體內(nèi)的藥物濃度，vd為藥物的表觀分布容積，k為一級(jí)消除速率常數(shù)。假設(shè)藥物在體內(nèi)的分布符合一室模型，且按一級(jí)速率過程從體內(nèi)消除，根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型及藥物在體內(nèi)的變化符合級(jí)速率過程的微分方程表示為：可以建立以下三個(gè)微分方程（組），解微分方程的初值問題可得藥量隨時(shí)間的變化關(guān)系。再將D(t)除以表觀分布容積，得到體內(nèi)血藥濃度隨時(shí)間變化關(guān)系。如表1所示。

三種函數(shù)都與指數(shù)衰減模型函數(shù)y=A·ax（其中0＜a＜1）有關(guān)。藥物衰變規(guī)律公式C=C0·e-kt在醫(yī)學(xué)上稱為藥物動(dòng)力學(xué)一級(jí)反應(yīng)公式。用它可以研究藥物的衰變規(guī)律。

二、函數(shù)圖像的性態(tài)分析

函數(shù)的作圖可以借助計(jì)算機(jī)作圖軟件或有繪圖功能的函數(shù)型計(jì)算器等工具，（例如表2中的圖象）。下面利用導(dǎo)數(shù)判斷三種血藥濃度函數(shù)圖像（稱為藥時(shí)-曲線）的性態(tài)：有界性、單調(diào)性、凹凸性、極值、最值、拐點(diǎn)、漸近線等，如表2所示。

表1

表2　

三、體內(nèi)血藥濃度變化情況

觀察表2中三種給藥方式的藥時(shí)-曲線圖像的性態(tài)特征，可以很直觀看出三種給藥方式體內(nèi)的血藥濃度的有不同的變化過程。如表3所示。

四、典型例題舉例[2]

例1.用某藥物進(jìn)行靜脈注射，其血藥濃度下降是一級(jí)速率過程。第一次注射后，經(jīng)過一小時(shí)后濃度降至初始的，求半衰期。

分析：設(shè)t時(shí)刻血藥濃度為，c=c(t)，c(0)=c0

由已知得：

解得，C=C0e-kt把已知條件代入，可得ln2，根據(jù)表3可得半衰期為。也就是第一次注射后要使體內(nèi)濃度不低于初始濃度的一半，經(jīng)過2小時(shí)要進(jìn)行第二次注射。

例2.已知n次靜脈注射某藥后，血液濃度的最高水平和最低水平分別為

表3　

例3.口服一定劑量的某種藥物后，其血藥濃度C與時(shí)間的的關(guān)系是C(t)=40(e-0.2t-e-2.3t)，問為何值，血藥濃度最高，并求出最高濃度。

分析：C'(t)=40(-0.2e-0.2t+2.3e-2.3t)，由C'(t)=0，可解得t=因?yàn)槭俏ㄒ获v點(diǎn)，所以當(dāng)t=1.1630時(shí)，C有最大值Cmax?28.9423。

以上對(duì)藥物動(dòng)力學(xué)中最簡(jiǎn)單的一室模型中三種給藥方式函數(shù)性態(tài)進(jìn)行對(duì)比總結(jié)。藥物治療中，治療作用與血液濃度密切相關(guān)。藥時(shí)-曲線的性態(tài)直觀精準(zhǔn)地反映出了不同給藥方式的血藥濃度在不同時(shí)段的變化情況，對(duì)了解藥效的強(qiáng)弱、吸收的快慢及生物利用度等參數(shù)有重要的指導(dǎo)作用，為科學(xué)準(zhǔn)確判斷、分析解決醫(yī)藥學(xué)中最優(yōu)化和有效性問題提供了根據(jù)，例如口服或肌注一定劑量的某種藥物后，血藥濃度何時(shí)達(dá)到最高值？為獲得理想的穩(wěn)定血藥濃度，怎樣控制靜脈滴注速度？病人需要多次給藥，如何確定給藥間隔時(shí)間才能達(dá)到和維持有效的血藥濃度？等等。隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，高等數(shù)學(xué)成為醫(yī)學(xué)領(lǐng)域不可或缺的定量分析工具，為醫(yī)藥學(xué)科研究提供精確的數(shù)據(jù)和可靠的指導(dǎo)。但藥物在體內(nèi)的動(dòng)態(tài)變化過程相當(dāng)復(fù)雜（如二室模型、多次給藥情況等），還需要更多高等數(shù)學(xué)知識(shí)方法綜合運(yùn)用才能更好解決醫(yī)學(xué)問題，因此在醫(yī)用高等教學(xué)中教學(xué)要結(jié)合醫(yī)藥學(xué)實(shí)際問題，實(shí)施問題驅(qū)動(dòng)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模能力的訓(xùn)練和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)創(chuàng)新研究精神和定量分析的思維方法，提高分析問題和解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1]顧作林.高等數(shù)學(xué)[M].北京：人民衛(wèi)生出版社，2011.

[2]吳贛昌.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2012.

Abstract:To establish mathematical model which reveals the quantitative relation between the variables in the medicine and to solve some problems by mathematic thinking have formed the trend of the development of modern medicine. Differential equation is an important tool for the establishment of a mathematical model while its function is a mathematical model describing the interrelation between the variables. The research on function condition may help understand the change rule, which guides to solve some problems in medicine. This paper compares the differential equations of three drug delivery methods in one room model, explores the properties of the corresponding functions by means of the limit, derivative, definite integral, etc. and analyzes the change law of blood concentration of the three drug delivery methods.

Keywords:differential equation; function; condition; blood concentration

中圖分類號(hào)：O175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2096-000X（2016）05-0111-03

作者簡(jiǎn)介：王蓮招（1964-），女，福建龍海人，高級(jí)講師，從事數(shù)學(xué)教育工作。