支鏈布局對重力場下3-RS并聯(lián)機構靜柔度的影響分析

李　祺，劉海濤，劉　君

(1. 天津大學機構理論與裝備設計教育部重點實驗室，天津 300072；2. 天津航天機電設備研究所，天津 300301)

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李祺1, 2，劉海濤1，劉君1

(1. 天津大學機構理論與裝備設計教育部重點實驗室，天津 300072；2. 天津航天機電設備研究所，天津 300301)

摘 要：研究了支鏈布局對重力場下3-RS并聯(lián)機構靜柔度的影響．首先通過分別構造靜力及靜變形在操作空間與關節(jié)空間之間的映射模型，將切削力/力矩、運動部件重力及支鏈分布重力引起的變形映射到末端，進而借助線性疊加原理構造系統(tǒng)的靜柔度模型；然后建立子裝配體在各自局部坐標系中定義的柔度系數(shù)與界面柔度系數(shù)間的映射模型；最后，在利用有限元軟件驗證所建立靜柔度模型正確性的基礎上，研究機構末端重力引起的變形及末端靜柔度隨支鏈布局不同的變化規(guī)律．研究結果表明，全對稱布局的3-RS并聯(lián)機構具有較好的抵抗重力和外載荷的能力，為該類裝備的設計提供了理論依據(jù)．

關鍵詞：重力場；靜柔度模型；并聯(lián)機構

由于龍門立式5軸聯(lián)動加工機床的結構局限性，普遍存在體積質量大、不宜實現(xiàn)高速運動、排屑困難和刀具空間定向速度低等缺陷，為此，工業(yè)界提出了采用少自由度并聯(lián)動力頭輔以X/Y長行程導軌構成移動加工工作站的解決方案[1]，這一思路在德國DSTechnology公司以Sprint Z3[2]頭搭建的Ecospeed和Ecolinear[3]數(shù)控加工裝備中得到體現(xiàn)，并已在飛機制造企業(yè)得到成功應用．

對于高速銑削加工類并聯(lián)裝備，剛度是評價整機性能的重要指標，而建立精準完備的剛度模型是實現(xiàn)剛度性能評價的重要環(huán)節(jié)．目前，并聯(lián)機構剛度建模方法可大致分為兩類：①基于有限元法(finite element analysis，F(xiàn)EA)或結構矩陣分析(matrix structural analysis，MAS)的數(shù)值方法[4-6]；②將機器人學與有限元法及結構力學相結合的解析(analytical)和半解析(semi-analytical)建模方法[7-8]．因能精確描述復雜結構件的外形尺寸、界面接觸剛度以及分布載荷等因素，有限元法是目前最準確的建模方法．但當機構位形發(fā)生變化時，有限元法需要不斷重復網(wǎng)格劃分與求解，進而導致復雜構型裝備的剛度分析耗時巨大，故該方法多用于設計最終階段的驗證與校核．解析/半解析剛度建模方法最早可追溯到Gosselin[9]提出的虛關節(jié)法，其主要貢獻為提出將主動關節(jié)剛度簡化為一維彈簧，通過建立關節(jié)/操作力與各自引起變形間的映射關系，構造出外載荷與末端變形間的映射關系，即剛度矩陣．該方法后被許多學者引用并通過計入零部件彈性而不斷得到完善，可用于構造更為精準的剛度模型．例如，Zhang等[10]以一種含被動支鏈的3自由度并聯(lián)機構為例，建立了計及支鏈和關節(jié)變形的剛度模型；Rezaei等[11]以3-PSP并聯(lián)機構為對象，分別采用集中和分布參數(shù)模型研究了其剛度建模方法．為了得到剛度系數(shù)的解析解，上述工作均將支鏈簡化為形狀規(guī)則的幾何形體．為提高支鏈剛度系數(shù)建模精度，Wang等[8]采用部件有限元分析和插值算法，以一類球坐標混聯(lián)機器人為對象，提出一種計算支鏈剛度系數(shù)的半解析方法，并通過試驗驗證了該方法的有效性；Li等[12]和Klimchik等[13]先后沿用這一思路研究了3-RP S和Orthoglide等并聯(lián)機構的半解析剛度建模和優(yōu)化問題．注意到刀具末端點變形除由切削載荷引起的變形外，還包括由構件重力引起的變形，特別是對臥式布局而言，不能忽略由重力引起的末端變形，為此趙鐵石等[14]和Quennouelle等[15]將重力處理成集中力，分別以Stewart平臺和Tripteron機構為對象研究了考慮重力場的剛度建模問題．在進一步考慮了支鏈分布重力、運動部件重力以及運動部件和鉸鏈彈性后，Li等[16]和Wang等[17]分別以A3并聯(lián)動力頭和3-SP R機構為對象，研究了考慮重力的靜柔度半解析建模方法，并通過仿真和試驗驗證了模型的有效性．

1 系統(tǒng)描述與位置逆解分析

圖1和圖2分別給出了3-PRS并聯(lián)機構的CAD模型示意和結構示意，該機構由靜平臺、動平臺(包括加工單元)和3條結構相同的PRS支鏈組成，其中P 表示主動移動副(包括滑鞍、絲杠螺母、導軌滑塊和前后支撐軸承)，R表示轉動副，S表示球面副．為了后續(xù)建模的方便，將球面副、支腿部件、轉動副和移動副分別以字母S、L、R和PC表示．

圖1　3-PRS并聯(lián)機構CAD模型示意Fig.1 CAD model of 3-PRS parallel mechanism

圖2　3-PRS并聯(lián)機構結構示意Fig.2 Schematic diagram of 3-PRS parallel mechanism

如圖2所示，點Ai和Pi(i＝1，2，3)分別為第i 條RS支鏈球副和轉動副中心，點Bi為移動副軸線與靜平臺交點．不失一般性，假定靜、動平臺分別為等腰三角形和并分別以其外接圓圓心O和O′為坐標原點，建立靜、動平臺參考坐標系其中軸線x和u′分別與和平行，軸線z和w′分別與和所在平面垂直，軸線y和v′則滿足右手定則．同時，以刀具末端點C為原點，建立參考坐標系其坐標軸u、 v、w與系各坐標軸u′、v′、w′分別平行．為便于定義各部件柔度系數(shù)，在支鏈i上建立參考坐標系(見圖3)，其中系以點Bi為原點，坐標軸z1,i與坐標軸z方向相同，坐標軸x1,i與R副軸線重合，方向如圖3所示；系和系同以點Pi為原點，坐標軸x2,i和x3,i與坐標軸x1,i方向相同，坐標軸z2,i與坐標軸z方向相同，坐標軸與方向相同；坐標系5，6)以點Ai為原點和x6,i(x5,i)分別與S副的3個正交軸線重合，方向如圖3所示．

圖3　支鏈i各連體坐標系示意Fig.3 Body fixed frame of the ith limb-body assembly

式中：bi和ai分別為點Bi與Ai在系中度量的位置矢量；ai0為點Ai在系中度量的位置矢量；b與a分別為與的外接圓半徑；為坐標軸z3,i的單位方向矢量；qi為第i個驅動關節(jié)變量；s1,i為坐標軸z2,i的單位方向矢量，為坐標軸w′的單位方向矢量為坐標軸x與之間夾角(見圖2)，且注意到和分別與和始終保持垂直，故β決定了3-PR S機構的支鏈布局形式．

由于R副限制了支鏈沿R副軸線方向的平動，因此可以構造約束方程為

式中s2,i為坐標軸x2,i的單位方向矢量．

以動平臺進動角ψ、章動角θ和點C沿z軸移動為廣義坐標，由式(3)可得點C沿x、y軸移動和繞z軸轉動表征的牽連運動方程為

2 靜柔度建模

考慮到動平臺和靜平臺的剛性遠高于其他部件，故將二者視為剛體，建立計及系統(tǒng)其他部件彈性和所有運動部件重力的半解析靜柔度模型．

2.1 力分析

考察由動平臺和球鉸鏈與之相連部分構成組件的受力自由體(見圖4)，關于點C列寫靜力和靜力矩平衡方程可得

注意到式(6)包含6個方程共9個未知數(shù)，無法解出內力，因此，需進一步考察支鏈i的受力自由體(見圖5)，并對點Pi取矩，得

將式(8)代入式(6)，并寫成矩陣格式，有

圖4　動平臺受力自由體示意Fig.4 Free-body diagram of the platform

圖5　支鏈i受力自由體示意Fig.5 Free-body diagram of the ith limb-body

式中：$w為作用在點C的等效外力旋量，包括外載荷項$w,C、動平臺重力項及支腿部件重力項J為廣義雅可比矩陣[18]；分塊陣Ja和Jc分別為驅動和約束雅可比矩陣和分別為支鏈作用在動平臺上的單位驅動力和單位約束力旋量；ρwa,i和ρwc,i分別為相應的驅動力旋量和約束力旋量式(9)的物理意義可解釋為：系統(tǒng)達到靜平衡時，等效外力旋量應與支鏈作用在動平臺上的所有驅動力旋量和約束力旋量相等．

2.2 變形分析

現(xiàn)構造動平臺關于點C的微小變形矢量與因各部件彈性引起的點Ai線彈性變形間的映射關系．借助一階攝動理論，由式(2)可得

式中：$t為動平臺關于點C的微小位移(彈性變形)旋量；ρt′a,i與ρt′c,i分別為由點Ai處的內力ρwa,i與ρwc,i引起的彈性變形；ρt′a,i、ρt′c,i分別為由支腿部件本身分布重力引起的沿x3,i、z3,i軸的彈性變形．

2.3 靜柔度模型

將式(9)、式(12)代入式(11)，即可得到考慮重力場的3-PRS機構靜柔度模型為

式中$t,G,1和$t,G,2分別為等效集中重力和分布重力引起的末端靜變形．

2為驅動系統(tǒng)的柔度和分別為滑鞍、支撐軸承、螺母和絲杠沿z1軸的線柔度系數(shù)，和cnut為常數(shù)為截面抗拉模量，ln為點Pi到絲杠螺母端面的距離(見圖6).

圖6　支鏈i零部件構成示意Fig.6 Components of the ith limb-body assembly

圖7　重力作用下PRS支鏈受力自由體示意Fig.7 Free-body diagram of PRS limb-body in the gravitational field

3 算例

本節(jié)利用上述模型，分析3-PRS機構在重力場作用下，末端變形隨機構支鏈布局不同的變化規(guī)律，從而為該類機構的設計提供理論依據(jù)．3-PRS的尺度參數(shù)和工作空間見表1，各部件在各自局部坐標系下的柔度系數(shù)等相關參數(shù)見表2～4，部件質量和重心位置等幾何參數(shù)見表5．

表1　3-PRS機構尺度參數(shù)和工作空間Tab.1 Dimensions and workspace of 3-PRS

表2　球面副各部件線柔度系數(shù)Tab.2 Linear compliance coefficients of the components of S joint 10-3μm/N

表3　LR組件和PC組件的各向線柔度和角柔度系數(shù)Tab.3 Linear and angular compliance coefficients of the components of LR and PC

表4　驅動系統(tǒng)相關參數(shù)及支腿部件自身重力變形Tab.4 Parameters of driver system and the gravitational deformation of the components of limb-body

表5　動平臺和支腿部件重心位置及質量Tab.5 Position of gravity and mass of the platform and limb-body components

首先借助有限元軟件，驗證本文提出靜柔度半解析建模方法的正確性．如圖8所示，在s =100 mm 處選取動平臺典型位姿考察在重力作用下，點C沿/繞系各坐標軸的線/角變形．半解析和有限元模型得到的計算結果見表6．由表可見，有限元結果的絕對值略高于半解析結果的絕對值，但二者基本吻合，從而證明了靜柔度半解析建模方法的正確性和有效性．

考慮重力引起的末端變形和末端靜剛度“最惡劣”情況，選取z向行程s最大值，并在姿態(tài)空間范圍內，以刀具末端點C沿/繞系各坐標軸的線/角最大變形|δx|max、|δy|max、|δz|max、|γx|max、|γy|max和|γz|max為重力引起末端變形的評價指標，以其沿系坐標軸u、v、w的線柔度最大值|cu|max、|cv|max、|cw|max，以及繞系坐標軸w的角柔度最大值|crw|max為末端靜柔度的評價指標，分析各指標隨β的變化規(guī)律．

圖9示出了重力作用下，刀具末端點C在姿態(tài)空間內的最大變形|δx|max、|δy|max、|δz|max、|γx|max、|γy|max和|γz|max隨β(0°～60°)的變化規(guī)律．由圖9可知，重力載荷主要影響末端的線變形，其中重力場方向(y 向)為主要變形方向．|γx|max隨β單調遞增，而|δx|max、|δy|max、|δz|max、|γy|max和|γz|max隨β的增加先減小后增加，其中|δx|max、|δy|max和|γz|max在β＝20.35°時取得最小值，|γy|max在β＝9.75°時取得最小值，|δz|max除在β＝2.15°時有小幅降低外，基本呈單調遞增趨勢．這表明當β＝20°時，機構在抵抗重力變形方面優(yōu)于其他布局形式．此外，當β取值范圍在[0°，30°]時，各向變形的數(shù)值波動較小，說明在內3-PRS機構具有較好的抵抗重力變形的能力．

圖8　重力引起的末端各向變形云圖Fig.8 Deformations of tool center point caused by gravity

表6　半解析法與有限元結果Tab.6 Results of semi-analytical method and FEA

圖9　刀具末端點C的各向重力變形隨β的變化規(guī)律Fig.9 Deformations of tool center point C in the gravitational field versus β

圖10示出了將重力引起的末端變形按等效集中重力項$t,G,1和分布重力項$t,G,2劃分后，刀具末端點C在姿態(tài)空間內的最大變形|δx|max、|δy|max、|δz|max、|γx|max、|γy|max和|γz|max隨β(0°～60°)的變化規(guī)律．由圖可知，的各向變形的貢獻遠小于$t,G,1．由此可知，盡管在重力補償和精度標定中不能忽略$t,G,2的影響，但在整機靜剛度設計與分析過程中，為減少運算時間可忽略分布重力項的影響．

圖11示出了不考慮重力作用下，刀具末端點C在姿態(tài)空間內的最大柔度|cu|max、|cv|max、|cw|max和|crw|max隨β的變化規(guī)律．由圖可知，|cu|max、|cv|max和|cw|max隨β的增加先減小后增加，當β＝30°時達到最小，且在數(shù)值上隨β的變化波動較大；|crw|max隨β的增加而減小并在β＝30°后變化逐漸趨于平緩．

圖10　刀具末端點C的各向重力變形$t, G , 1和$t, G , 2隨β 的變化規(guī)律Fig.10 Deformations of $t, G , 1and $t, G , 2of tool center point C in the gravitational field versus β

圖11　刀具末端點C的各向柔度隨β的變化規(guī)律Fig.11 Compliances of tool center point C versus β

綜上所述，當β＝30°時，即支鏈布局為全對稱布局時，3-RS機構具有較好的抵抗重力和外載荷的能力，因此在該類并聯(lián)構型裝備設計時，應盡量選取全對稱的支鏈布置形式．

4 結論

(1)在力分析和變形分析的基礎上，提出了一種計及運動部件重力及系統(tǒng)各部件彈性的3-RS機構靜柔度半解析建模方法，為快速預估末端靜柔度和重力作用下的末端靜變形奠定了理論基礎．

(2)借助有限元軟件驗證了所提出靜柔度半解析建模方法的正確性，并通過數(shù)值仿真分析比較了支鏈布局形式對機構末端重力引起的變形及末端靜柔度的影響規(guī)律．結果表明，全對稱布局的3-RS并聯(lián)機構具有較好的抵抗重力和外載荷的能力．

(3)分布重力項對末端變形的貢獻遠小于等效集中重力項，因此在整機靜剛度設計與分析過程中，為節(jié)省運算時間可忽略分布重力項的影響．

參考文獻：

［1］Weck M，Staimer D. Parallel kinematic machine tools-Current state and future potentials[J]. CIRP Annals-Manufacturing Technology，2002，51(2)：671-683.

［2］Uriarte L，Zatarain M，Axinte D，et al. Machine tools for large parts[J]. CIRP Annals：Manufacturing Technology，2013，62(2)：731-750.

［3］Hennes N，Staimer D. Application of PKM in aerospace manufacturing high performance machining centers ECOSPEED，ECOSPEED-F and ECOLINER[C]// Proceedings of the 4th Chemnitz Parallel Kinematics Seminar. Chemnitz，Germany，2004∶557-577.

［4］Piras G，Cleghorn W L，Mills J K. Dynamic finite element analysis of a planar high speed parallel manipulator with flexible links[J]. Mechanism and Machine Theory，2005，40(7)：849-862.

［5］Rizk R，F(xiàn)auroux J C，Mumteanu M，et al. A comparative stiffness analysis of a reconfigurable parallel machine with three or four degrees of mobility[J]. Journal of Machine Engineering，2006，6(2)：45-55.

［6］落海偉，張 俊，王 輝，等. 3-RPS并聯(lián)機構靜剛度建模方法[J]. 天津大學學報：自然科學與工程技術版，2015，48(9)：797-803. Luo Haiwei，Zhang Jun，Wang Hui，et al. Static stiffness modeling method of 3-RPS PKM[J]. Journal of Tianjin University：Science and Technology，2015，48(9)：797-803(in Chinese).

［7］Zhang Jun，Zhao Yanqing，Dai Jiansheng. Compliance modeling and analysis of a 3-RPS parallel kinematic machine module[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2014，27(4)：703-713.

［8］Wang Youyu，Liu Haitao，Huang Tian，et al. Stiffness modeling of the Tricept robot using the overall Jacobian matrix[J]. ASME Journal of Mechanisms and Robotics，2009，1(2)：021002. 1-021002. 8.

［9］Gosselin C. Stiffness mapping for parallel manipulator [J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation，1990，6(3)：377-382.

［10］Zhang Dan，Bi Zhuming，Li Beizhi. Design and kinetostatic analysis of a new parallel manipulator[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2009，25(4/5)：782-791.

［11］Rezaei A，Akbarzadeh A，Akbarzadeh-T M-R. An investigation on stiffness of a 3-PSP spatial parallel mechanism with flexible moving platform using invariant form [J]. Mechanism & Machine Theory，2012，51：195-216.

［12］Li Yonggang，Liu Haitao，Zhao Xueman，et al. Design of a 3-DOF PKM module for large structural component machining[J]. Mechanism and Machine Theory，2010，45(6)：941-954.

［13］Klimchik A，Pashkevich A，Caro S，et al. Stiffness matrix of manipulators with passive joints：Computational aspects [J]. IEEE Transactions on Robotics，2012，28(4)：955-958.

［14］趙鐵石，趙延治，邊 輝. 空間并聯(lián)機構連續(xù)剛度非線性映射[J]. 機械工程學報，2008，44(8)：20-32. Zhao Tieshi，Zhao Yanzhi，Bian Hui. Continuous stiffness nonlinear mapping of spatial parallel mechanism[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2008，44(8)：20-32(in Chinese).

［15］Quennouelle C，Gosselin C. Kinematostatic modeling of compliant parallel mechanisms[J]. Meccanica，2011，46(1)：155-169.

［16］Li Qi，Wang Manxin，Huang Tian，et al. Compliance analysis of a 3-DOF spindle head by considering gravitational effects[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2015，28(1)：1-10.

［17］Wang Manxin，Liu Haitao，Huang Tian，et al. Compliance analysis of a 3-SP R parallel mechanism with consideration of gravity[J]. Mechanism and Machine Theory，2014，84：99-112.

［18］Liu Haitao，Huang Tian，Chetwynd D G. Generalized Jacobian analysis of lower mobility manipulators[J]. Mechanism and Machine Theory，2011，46：831-844.

(責任編輯：金順愛)

網(wǎng)絡出版時間：2015-05-05. 網(wǎng)絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20150505.1502.003.html.

Analysis on the Influence of Arrangement of Limbs on Compliance of a 3-RS Parallel Mechanism with Consideration of Gravity

Li Qi1,2，Liu Haitao1，Liu Jun1
(1. Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Tianjin Institute of Aerospace Mechanical and Electrical Equipment，Tianjin 300301，China)

Abstract：With consideration of gravity，the analysis on the influence of arrangement of limbs on the compliance of a 3-RS parallel mechanism was conducted．By formulating the relationship of the external wrench(deflection of the platform)in the operation space and the forces(compliances)in the joint space，the deformations induced by the cutting force/moment，the gravity of moving components，and the distributed gravity of all limbs were mapped into the deflection of the platform．The compliance model of the whole system was then achieved by means of the linear superposition．Subsequently，the expression of the compliance coefficients at the interfaces in terms of those of the subparts within a limb defined in their own local body-fixed frames was derived．The effectiveness of the proposed modeling approach was verified by the FEA software at a typical configuration，based on which the variations of the deformations caused by the gravity and the compliances of the platform with different arrangements of limbs were investigated．The results show that the fully symmetrical 3-RS parallel mechanism better resists the gravity and the externally applied wrench imposed upon the platform，which provides a guideline for the design of the mechanism.

Keywords：gravity field；compliance modeling；parallel mechanism

通訊作者：劉海濤，liuht@tju.edu.cn.

作者簡介：李 祺（1984— ），男，博士研究生，liqi@tju.edu.cn.

基金項目：“高檔數(shù)控機床與基礎制造裝備”科技重大專項資助項目(2014ZX04014-031).

收稿日期：2015-03-19；修回日期：2015-04-17.

DOI:10.11784/tdxbz201503052

中圖分類號：TH133.33

文獻標志碼：A

文章編號：0493-2137(2016)02-0134-09