巧用“分界點”解決一類含參討論問題

◎朱 薇

(南海一中,廣東 佛山 528000)

巧用“分界點”解決一類含參討論問題

◎朱 薇

(南海一中,廣東 佛山 528000)

對這類導(dǎo)函數(shù)涉及二次函數(shù)的分類討論問題，首先要解決的任務(wù)是分類準確，有沒有簡便易操作的方法讓學(xué)生輕松完成這個步驟？我們可以直接把以上三種情況“=0”時參數(shù)的值算出來就找到了參數(shù)的“分界點”.在已知條件下，用這些“分界點”去分參數(shù)，可以保證所分出來的類“不重不漏”.

分界點；函數(shù)；含參討論

一、引出“分界點”的含義

例1 (2009年福建)點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧的長度小于1的概率為________.

二、提出問題

例2 (2011年廣東文)設(shè)a>0,討論函數(shù)f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的單調(diào)性.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

解 定義域{x|x>0}.

設(shè)g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1，x∈(0，+∞).

①若a=1，則g(x)=1>0,

∴在(0，+∞)上有f′(x)>0，即f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù).

②若a>1，則2a(1-a)<0，g(x)的圖像開口向下，

此時Δ=[-2(1-a)]2-4×2a(1-a)×1=4(1-a)(1-3a)>0.

方程2a(1-a)x2-2(1-a)x+1=0有兩個不等的實根,

③若00，g(x)的圖像開口向上，

此時Δ=[-2(1-a)]2-4×2a(1-a)×1=4(1-a)(1-3a),

即f′(x)≥0，f(x)是增函數(shù)；

即f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)；

g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)是減函數(shù).

分析 這道題這里我們研究利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間的含參討論問題，而這個導(dǎo)函數(shù)是靈活的二次函數(shù).在這一題，不少高三同學(xué)是選擇放棄或得分較低的，因為復(fù)習(xí)了一年，還是不能很好地處理，主要是突破不了對參數(shù)的分類.有些同學(xué)因為一直不是很會分，總是不敢下手，部分同學(xué)思路是有的，但因為這類題對思維的嚴謹性和完整性要求較高，所以有時考場一緊張，分類方面就多分或少分或分錯而造成得分不高.

三、分析問題

思路突破：這道題在求好導(dǎo)函數(shù)和定義域后，其實本質(zhì)就是解決導(dǎo)函數(shù)所對應(yīng)的方程在定義域內(nèi)根的分布問題.這時，我們需要畫圖，在確定圖像時我們主要考慮三個問題：

1.二次項x2前面的系數(shù)是“>0”“=0”還是“<0”?(確定拋物線的開口方向)

2.判別式Δ是“>0”“=0”還是“<0”？(確定拋物線與x軸的交點情況)

3.定義域所在區(qū)間的端點函數(shù)值是“>0”“=0”還是“<0”？(確定拋物線與x軸的交點相對于定義域的分布，從而確定定義域內(nèi)零點情況)

四、解決問題

事實上，我們可以直接把以上三種情況“=0”時參數(shù)的值算出來就找到了參數(shù)的“分界點”了.在已經(jīng)條件下，用這些“分界點”去分參數(shù)，可以保證所分出來的類“不重不漏”.在正確的分類下，學(xué)生再往下處理，就會事半功倍.

題目 設(shè)a>0,討論函數(shù)f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的單調(diào)性.

解析 第一步：函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，

第二步：確定“分界點”.

(1)令二次項前面的系數(shù)2a(1-a)=0,解得：a=0或a=1.

(3)求出定義域(0,+∞)所在區(qū)間的端點函數(shù)值f′(0),若仍然含有參數(shù)a,繼續(xù)令f′(0)=0，求出“分界點”.而此題f′(0)=1>0,說明此處沒有“分界點”提供了.

五、總 結(jié)

本文主要希望通過比較直接的方法讓大多數(shù)學(xué)生在含參分類討論中學(xué)會使用“分界點”進行分類，做到不重不漏.其實，這種“分界點”的思想可以滲透到很多涉及不等關(guān)系的題目當(dāng)中.要知道，解不等關(guān)系的基礎(chǔ)是，先解等量關(guān)系，而我們同學(xué)最熟悉的莫過于“=”了.