行波熱聲發(fā)電系統(tǒng)自激振蕩的非線性動(dòng)力學(xué)研究

徐靜遠(yuǎn) 陳燕燕 羅二倉*

(1中國科學(xué)院理化技術(shù)研究所低溫工程學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190) (2中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

行波熱聲發(fā)電系統(tǒng)自激振蕩的非線性動(dòng)力學(xué)研究

徐靜遠(yuǎn)1,2陳燕燕1羅二倉1*

(1中國科學(xué)院理化技術(shù)研究所低溫工程學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190) (2中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

利用非線性熱聲網(wǎng)絡(luò)模型建立了一種行波熱聲發(fā)電系統(tǒng)的簡化動(dòng)力學(xué)演化方程，考察了系統(tǒng)自激振蕩過程。重點(diǎn)探究非線性熱聲效應(yīng)的影響，并與僅考慮線性熱聲效應(yīng)的情況進(jìn)行對比。結(jié)果表明，當(dāng)僅考慮線性熱聲效應(yīng)時(shí)，振蕩曲線不斷增大，無法達(dá)到穩(wěn)定值；而考慮非線性熱聲效應(yīng)時(shí)，自激振蕩最后達(dá)到穩(wěn)定幅值。進(jìn)一步研究得出，系統(tǒng)電機(jī)的非線性阻尼系數(shù)越大，系統(tǒng)穩(wěn)定后的振蕩幅值越小。對不同電機(jī)非線性阻尼系數(shù)時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生的振蕩曲線作頻譜分析，計(jì)算結(jié)果和實(shí)際情況相近。最后考察了回?zé)崞魑催_(dá)臨界溫度梯度時(shí)系統(tǒng)的自激振蕩過程。

非線性 熱聲自激振蕩 網(wǎng)絡(luò)模型 行波熱聲發(fā)電機(jī)

1 引 言

早在200多年前，Byeon Higgins最早記錄了熱聲現(xiàn)象，然而對熱聲現(xiàn)象的系統(tǒng)研究直到近十幾年才取得突破性進(jìn)展。熱聲熱機(jī)是一種與傳統(tǒng)動(dòng)力機(jī)械完全不同的新型裝置，它利用熱聲效應(yīng)，以其結(jié)構(gòu)簡單、壽命長、無運(yùn)動(dòng)部件、運(yùn)行可靠、環(huán)保等諸多特點(diǎn)受到越來越多研究者的關(guān)注。在熱聲學(xué)逐步發(fā)展的過程中，線性熱聲理論已經(jīng)發(fā)展成為熱聲熱機(jī)分析和設(shè)計(jì)的一個(gè)強(qiáng)有力的工具，對于了解其工作機(jī)理和系統(tǒng)的設(shè)計(jì)計(jì)算有著重要的指導(dǎo)作用。但是隨著研究的不斷深入，線性熱聲理論的局限性也逐漸顯現(xiàn)，主要體現(xiàn)在以下3個(gè)方面：(1)線性熱聲理論無法解釋熱聲自激振蕩發(fā)展過程；(2)線性熱聲理論無法解釋某些奇特?zé)崧暚F(xiàn)象，例如熱聲系統(tǒng)振蕩頻率的轉(zhuǎn)變；(3)線性熱聲理論無法解析時(shí)均質(zhì)量聲流、時(shí)均能量轉(zhuǎn)換等效應(yīng)[1]。從理論角度出發(fā)，時(shí)均非零的熱能與聲能的轉(zhuǎn)換過程很可能本質(zhì)上就屬于非線性過程，線性熱聲理論在小振幅情況下對熱聲系統(tǒng)的預(yù)測只是一種近似，其結(jié)果也不一定都是正確的[2]。

20世紀(jì)90年代初，非線性熱聲理論開始興起。1992年，美國Los Alamos實(shí)驗(yàn)室研究人員[3]在研究大尺度熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)，定性解釋了所發(fā)現(xiàn)的一些與線性熱聲理論相違背的現(xiàn)象[3]。Gusev通過建立非線性演化方程對熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)的起振過程進(jìn)行了描述[4]。美國德克薩斯大學(xué)的Hamilton開展了對包括板疊和諧振管在內(nèi)的非線性聲波傳輸研究工作，并建立了非線性熱聲效應(yīng)的二維模型和高效數(shù)值方法[5]。在國內(nèi)研究領(lǐng)域，中國科學(xué)院理化技術(shù)研究所羅二倉等人首次明確指出熱聲效應(yīng)的非線性本質(zhì)，并建立了弱非線性熱聲理論框架[2]。中國科學(xué)院聲學(xué)研究所的馬大猷對熱聲管中的非線性聲波進(jìn)行了研究，推導(dǎo)出非線性行波和駐波的嚴(yán)格解[6-7]。

雖然非線性熱聲理論在十幾年內(nèi)獲得了快速的發(fā)展，但是對其本質(zhì)的掌握依舊很缺乏，尤其對非線性效應(yīng)產(chǎn)生的自激振蕩過程的研究還未能全面。本文基于流體網(wǎng)絡(luò)理論，研究時(shí)域下回?zé)崞骱碗姍C(jī)的非線性效應(yīng)對熱聲系統(tǒng)自激振蕩發(fā)展過程的影響，探究熱聲自激振蕩的非線性效應(yīng)。

2 熱聲網(wǎng)絡(luò)模型

為了研究回?zé)崞髀曌韬碗姍C(jī)阻尼的非線性，采用非線性熱聲網(wǎng)絡(luò)模型對行波熱聲發(fā)電機(jī)的自激振蕩過程進(jìn)行數(shù)值分析。回?zé)崞鞑捎梅植紖?shù)法，其余部件采用集總參數(shù)法進(jìn)行分析。圖1給出了行波型熱聲發(fā)電機(jī)的示意圖。如圖所示，行波型熱聲發(fā)電機(jī)由空腔、主水冷器、回?zé)崞?、加熱器、熱緩沖管、次水冷器、慣性管和電機(jī)組成。

圖1 行波型熱聲發(fā)電機(jī)示意圖Fig.1 Schematic diagram of traveling-wave thermoacoustic generator

2.1 各部件的阻抗模型

熱聲系統(tǒng)中的不同元件，其阻抗特性相差很大。根據(jù)熱聲部件的主要特性，對不同熱聲部件進(jìn)行阻抗模型的簡化：3個(gè)換熱器看作理想換熱器；回?zé)崞髦饕紤]其粘性阻力、聲容、流控恒流源；熱緩沖管和空腔主要考慮其聲容；慣性管主要考慮其聲感；直線電機(jī)主要考慮其阻尼、聲感、聲容。它們的簡化網(wǎng)絡(luò)示意圖如圖2所示。

圖2 主要熱聲部件Fig.2 Simplified impedance diagram of main thermoacoustic components

2.1.1 回?zé)崞?/p>

在行波性熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)的網(wǎng)絡(luò)模型中，回?zé)崞鞑糠植捎梅植紖?shù)法[8]分析。圖3為回?zé)崞鞯姆植紖?shù)模型。

圖3 回?zé)崞鞯姆植紖?shù)模型Fig.3 Distributed parameter model of regenerator

模型中，回?zé)崞鞯拈L分成L(N=L/Δx)份，每個(gè)微元Δx的溫差為ΔT。當(dāng)工質(zhì)為理想氣體時(shí)，回?zé)崞髦忻總€(gè)微元的聲容ΔC=C0Δx/L與溫度無關(guān)。在回?zé)崞髦?，壓力幅值和體積流率的關(guān)系表示為[9]：

(1)

C(φ)=1 268-3 545φ+2 5442φ

(2)

C(φ)=-2.82+10.7φ-8.6φ2

(3)

(4)

式中：Af為回?zé)崞髁鞯烂娣e，μm為氣體動(dòng)力粘度系數(shù)，U1為回?zé)崞髦泄べ|(zhì)的體積流率，φ為回?zé)崞骺紫堵?，rh為回?zé)崞魉Π霃健?/p>

(5)

氣體的動(dòng)力粘度系數(shù)與溫度有關(guān)：

(6)

式中：b為常數(shù)，對于氦氣，b為0.68；μc為進(jìn)口的氣體動(dòng)力粘度。

將式(6)帶入式(5)中，可以得到：

(7)

通過每一微元，體積流率U隨溫度、聲容的變化而變化，體積流率為：

(8)

式(8)的微分形式為：

(9)

對式(9)進(jìn)行整個(gè)回?zé)崞鏖L度的積分，得：

(10)

將式(10)代入式(7)中積分，得到回?zé)崞髦袎毫Σ▌?dòng)和體積流率的變化：

(11)

(12)

對回?zé)崞髯杩沟姆蔷€性部分做計(jì)算：

(13)

由于只考慮回?zé)崞髀曌璧姆蔷€性，只需要求出式(13)中回?zé)崞髀曌瑁虼嘶責(zé)崞鞯捏w積流率可以看作只和溫度差有關(guān)，即：

(14)

對式(14)積分，求出回?zé)崞髦畜w積流率的分布式：

(15)

(16)

將式(16)對x從0到L作積分，得：

(17)

(18)

2.1.2 空腔

空腔具有較大的空體積，因此其主要特性是聲容：

式中：V為空腔的體積，γ為比定壓熱容與比定容熱容之比，P0為系統(tǒng)的平均壓力。

2.1.3 熱緩沖管

熱緩沖管是一個(gè)薄壁管，空體積是其主要特征，因此主要考慮其聲容：

式中：V為熱緩沖管的體積，γ為比定壓熱容與比定容熱容之比，P0為系統(tǒng)的平均壓力。

2.1.4 慣性管

慣性管是一根細(xì)長的管，主要用來調(diào)節(jié)體積流率和壓力幅值的相位，其主要特征為聲感：

式中：l為慣性管的長度，A為慣性管的橫截面積，ρ0為常溫下氣體的密度。

2.1.5 電機(jī)

電機(jī)是一個(gè)比較復(fù)雜的部件，主要考慮其等效聲感L0、等效聲阻R0(將發(fā)電機(jī)等效負(fù)載計(jì)入等效聲阻)、等效聲容C0。

式中：M為彈簧振子質(zhì)量；A0為活塞面積；RM為機(jī)械阻尼；ε為非線性系數(shù)，在本研究中取不同的探究電機(jī)阻尼非線性的影響；KM為機(jī)械彈簧常數(shù)。

2.2 行波熱聲發(fā)電機(jī)熱聲網(wǎng)絡(luò)模型

行波型熱聲發(fā)電機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型如圖4所示。圖中將回?zé)崞骱蜔峋彌_管聲容合并在一起，所有元件都用集總參數(shù)法表示。從圖中可以看出，行波熱聲發(fā)電機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型包括回?zé)崞髀曌?、回?zé)崞黧w積流源、回?zé)崞骱蜔峋彌_管聲容、慣性管聲容、空腔聲容、電機(jī)等效聲阻、電機(jī)等效聲容、電機(jī)等效聲感。

圖4 行波熱聲發(fā)電機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型1.回?zé)崞髀曌瑁?.回?zé)崞黧w積流源；3.回?zé)崞骱蜔峋彌_管聲容；4.慣性管聲感；5.空腔聲容；6.電機(jī)聲阻、聲容、聲感Fig.4 Network model of traveling-wave thermoacoustic generator

3 非線性動(dòng)力學(xué)演化方程

聲學(xué)系統(tǒng)與電路系統(tǒng)具有一定的類比關(guān)系，在研究集中參數(shù)的聲振動(dòng)系統(tǒng)時(shí)，也可以像電路中一樣借助于網(wǎng)絡(luò)圖來討論。在聲學(xué)線路圖中，流經(jīng)各元件的體積流率類比電流I，壓力波動(dòng)幅值類比電壓V。在行波熱聲發(fā)電機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型中，根據(jù)電路定律可得：

(19)

對前面兩式求導(dǎo)，并用導(dǎo)數(shù)符號表示：

(20)

聯(lián)立方程，消去I3、I4，得到以I1、I2兩個(gè)自由度的方程：

(21)

(22)

4 數(shù)值計(jì)算和結(jié)果分析

運(yùn)用上述的網(wǎng)絡(luò)模型和非線性動(dòng)力演化方程研究一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)的自激振蕩過程。選取Backhaus在2004年研制的一臺行波熱聲發(fā)電機(jī)[10]作為實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行研究。該系統(tǒng)充滿5.5 MPa的氦氣，其頻率為120 Hz，回?zé)崞骼錈岫藴囟确謩e為300 K、900 K。其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1和表2所示。

表1 行波熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Main dimensions of traveling-wave thermoacoustic heat engine

表2 電機(jī)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Main dimensions of generator

將結(jié)構(gòu)參數(shù)代入阻抗模型中，求出各元件的阻抗特性參數(shù)參數(shù)，如表3所示，表中單位為國際標(biāo)準(zhǔn)單位。

表3 各元件的阻抗特性參數(shù)Table 3 Characteristic impedance parameters of each component

將所求各元件阻抗特性參數(shù)代入非線性動(dòng)力學(xué)演化方程中。利用Matlab軟件，采用Runge-Kutta方法求解y1、y2，即U1、U2，模擬行波熱聲發(fā)電機(jī)的自激振蕩過程，考察回?zé)崞髀曌韬碗姍C(jī)阻尼的非線性對自激振蕩曲線的影響。

4.1 線性系統(tǒng)自激振蕩過程

首先考察系統(tǒng)為線性時(shí)的情況。當(dāng)電機(jī)非線性阻尼為0且忽略回?zé)崞髀曌璧姆蔷€性部分，即同時(shí)不考慮回?zé)崞骱碗姍C(jī)的非線性時(shí)，振蕩曲線不斷增大，無法達(dá)到穩(wěn)定值。這說明穩(wěn)定自激振蕩系統(tǒng)必須有非線性環(huán)節(jié)，線性理論無法解釋系統(tǒng)在某一溫度開始起振，振動(dòng)幅值迅速放大，最后達(dá)到穩(wěn)定(振幅飽和)的過程。

4.2 非線性系統(tǒng)自激振蕩過程

重點(diǎn)研究系統(tǒng)為非線性時(shí)的情況，即同時(shí)考慮回?zé)崞髀曌韬碗姍C(jī)阻尼的非線性。改變電機(jī)非線性阻尼系數(shù)ε=0、10、100、500、800，其自激振蕩過程如圖6所示。由圖可知，自激振蕩過程是系統(tǒng)先以極小幅值振動(dòng)，在某一時(shí)刻開始起振，振動(dòng)幅值迅速放大，最后達(dá)到穩(wěn)定的非線性過程。不同元件起振時(shí)間基本相同。當(dāng)增加電機(jī)非線性阻尼系數(shù)時(shí)，穩(wěn)定振幅減小。當(dāng)ε=0、10、100、500、800時(shí)，U1的穩(wěn)定幅值依次為3×10-2、2.4×10-2、9×10-3、3.3×10-3、2.3×10-3m3/s，U2的穩(wěn)定幅值依次為1.25×10-2、9×10-3、4×10-3、1.2×10-3、7×10-4m3/s。當(dāng)ε增加到800以后，穩(wěn)定振幅已經(jīng)很小，實(shí)際中電機(jī)很少能達(dá)到這么大的非線性阻尼。為了更好觀察起振過程和穩(wěn)定過程，將ε=100時(shí)U1的振蕩曲線局部放大，

圖6 不同電機(jī)阻尼下的自激振蕩曲線Fig.6 Thermoacoustic self-oscillating curve under different generator damping

其起振過程和穩(wěn)定波形分別如圖7、圖8所示。從圖中可以看出，系統(tǒng)在0.8 s以后開始起振，起振過程中振動(dòng)幅值迅速放大，到1 s時(shí)基本達(dá)到穩(wěn)定振幅，隨后以相同頻率作規(guī)律的周期振蕩。

4.3 振蕩頻率分析

由上節(jié)可知，系統(tǒng)起振后將以某個(gè)頻率作周期振蕩。為了研究穩(wěn)定振蕩頻率與電機(jī)非線性阻尼的關(guān)系，將圖6中U1的振蕩曲線作FFT頻譜分析，其頻譜圖如圖9所示。如圖所示，系統(tǒng)的穩(wěn)定振蕩頻率在120 Hz左右，這與系統(tǒng)實(shí)際的頻率120 Hz非常接近，因此可以證明該方法對系統(tǒng)振蕩頻率的求解有一定的指導(dǎo)作用。同時(shí)可以看到，系統(tǒng)主要在一個(gè)基頻下做振蕩，未出現(xiàn)其它頻率的影響。當(dāng)電機(jī)的非線性阻尼系數(shù)增大時(shí)，系統(tǒng)振蕩頻率會小幅度的下降，因此電機(jī)的非線性對系統(tǒng)頻率有一定的影響。

圖7 起振過程放大圖Fig.7 Enlarged view of self-starting process

圖8 穩(wěn)定過程放大圖Fig.8 Enlarged view of stabilization process

圖9 穩(wěn)定振蕩曲線的頻譜圖Fig.9 Spectrums of stable oscillation curve

4.4 未達(dá)起振溫度時(shí)振蕩曲線

以上研究是在回?zé)崞鳠岫藴囟葹?00 K時(shí)進(jìn)行，此時(shí)回?zé)崞饕呀?jīng)超過系統(tǒng)臨界起振溫度，因此產(chǎn)生了穩(wěn)定的自激振蕩。當(dāng)回?zé)崞鳠岫藴囟容^低時(shí)，回?zé)崞鳑]有達(dá)到臨界溫度梯度，無法產(chǎn)生自激振蕩。用該方法探究回?zé)崞鳠岫藶?00 K時(shí)系統(tǒng)的振蕩情況，計(jì)算中初始時(shí)給系統(tǒng)較大擾動(dòng)，系統(tǒng)振蕩情況如圖10所示。由圖中可以看出，不管電機(jī)非線性阻尼系數(shù)取值如何，振蕩都是從一個(gè)較大的幅值初始值衰減為0，這說明回?zé)崞鳠岫藴囟葹?00 K時(shí)回?zé)崞鳒囟忍荻冗€未達(dá)到臨界起振溫度，自激振蕩無法產(chǎn)生。當(dāng)ε=0時(shí)，振蕩衰減曲線具有對稱性，衰減時(shí)間較短為0.125 s。隨著ε的增大，衰減先大幅振蕩到某值后小幅沿直線振蕩到0。當(dāng)ε為100、500、800時(shí)，衰減時(shí)間依次為0.143 s、0.682 s、1.090 s，衰減時(shí)間增大。從以上可知，電機(jī)的非線性對未達(dá)起振溫度時(shí)的振蕩衰減時(shí)間有一定的影響。

圖10 回?zé)崞鳠岫藴囟葹?00 K時(shí)振蕩曲線Fig.10 Oscillation curve when hot end temperature of regenerator is 400 K

5 小結(jié)

研究了一種行波熱聲發(fā)電系統(tǒng)的自激振蕩，利用熱聲網(wǎng)絡(luò)模型推導(dǎo)出非線性動(dòng)力學(xué)演化方程，考察了行波熱聲發(fā)電機(jī)的自激振蕩過程。

(1)重點(diǎn)探究考慮非線性熱聲效應(yīng)時(shí)系統(tǒng)的自激振蕩過程，并與僅考慮線性熱聲效應(yīng)的系統(tǒng)做對比。結(jié)果表明，當(dāng)系統(tǒng)僅考慮線性熱聲效應(yīng)時(shí)，振蕩曲線不斷增大，無法達(dá)到穩(wěn)定值；而考慮系統(tǒng)非線性熱聲效應(yīng)時(shí)，自激振蕩最后達(dá)到穩(wěn)定幅值，且系統(tǒng)電機(jī)的非線性阻尼系數(shù)越大，系統(tǒng)穩(wěn)定后的振蕩幅值越小。

(2)對不同電機(jī)的非線性阻尼系數(shù)下系統(tǒng)產(chǎn)生的振蕩曲線作頻譜分析，計(jì)算結(jié)果和實(shí)際情況比較相近。結(jié)果表明，電機(jī)的非線性對系統(tǒng)頻率有一定的影響。

(3)對回?zé)崞鳠岫藶?00 K時(shí)系統(tǒng)的振蕩情況進(jìn)行了探究。結(jié)果顯示，振蕩從一個(gè)較大的幅值初始值衰減為0，電機(jī)的非線性越大，衰減時(shí)間越長。結(jié)果表明，此時(shí)回?zé)崞魑催_(dá)到臨界起振溫度梯度。

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Investigation on nonlinear dynamics of self-excited oscillation of a traveling wave thermoacoustic generator

Xu Jingyuan1,2Chen Yanyan1Luo Ercang1

(1Key Laboratory of Cryogenics，Technical Institute of Physics and Chemistry，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China) (2University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China)

A thermoacoustic network model was used to obtain nonlinear dynamical evolution equation. Thermoacoustic self-oscillation process for traveling wave thermoacoustic generator was investigated with emphases on the influence of the nonlinear thermoacoustic effect，and a comparison was made between the equations with and without this effect. An increasing wave amplitude was observed in osciuation curves with linear effect while a stable wave amplitude was obtained considering nonlinear effect. It is also found that increases in nonlinear-effect damping coefficient lead to decreased wave amplitudes. The resonant oscillation frequency is analyzed. Calculation results show desirable agreement with the experiment results. Investigation is performed on the system when temperature difference is lower than the critical self-starting temperature difference.

nonlinear dynamics；self-excited oscillation；thermoacoustic network model；traveling-wave thermoacoustic generator

2016-01-05；

2016-03-09

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51276186)、云南省-國家基金委聯(lián)合項(xiàng)目(51476183)。

徐靜遠(yuǎn)，女，25歲，博士研究生。

羅二倉，男，49歲，博士、博士生導(dǎo)師、研究員。

TB611

A

1000-6516(2016)04-0001-10