群環(huán)ZnG的理想化零因子圖的性質(zhì)

郭述鋒，謝光明，易　忠，3

(1.首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京100048；2.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林541004；3.桂林航天工業(yè)學(xué)院，廣西桂林541004)

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群環(huán)ZnG的理想化零因子圖的性質(zhì)

郭述鋒1，2，謝光明2，易忠2，3

(1.首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京100048；2.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林541004；3.桂林航天工業(yè)學(xué)院，廣西桂林541004)

摘要：研究環(huán)的零因子圖，以圖的方式清晰、直觀地刻畫環(huán)的零因子的結(jié)構(gòu)，這對(duì)理解環(huán)的結(jié)構(gòu)本身具有重要意義。本文主要討論了群環(huán)ZnG關(guān)于增廣理想Δ(G)的理想化ZnG(+)Δ(G)的零因子圖的性質(zhì)，分別給出了環(huán)ZnG(+)Δ(G)的零因子圖的圍長(zhǎng)、直徑和平面性的詳細(xì)刻畫，其中G為素?cái)?shù)階群。

關(guān)鍵詞：群環(huán)； 零因子圖； 圍長(zhǎng)； 直徑；平面性

0引言

設(shè)R是有單位元的交換環(huán)。R的零因子圖是指一個(gè)簡(jiǎn)單圖Γ(R)，它的頂點(diǎn)集為R的非零零因子組成的集合D(R)*，兩個(gè)不同的頂點(diǎn)x與y有一條邊連接?xy=0。1999年，Anderson和Livingston在文獻(xiàn)[1]中首次給出了上述定義，并且獲得了交換環(huán)R的零因子圖Γ(R)的一些基本結(jié)果：對(duì)任意的交換環(huán)R，R的零因子圖Γ(R)是連通的，Γ(R)的圍長(zhǎng)只能為3、4、∞，Γ(R)的直徑只能為0、1、2、3。此后，零因子圖的研究開始成為代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)領(lǐng)域，產(chǎn)生了一系列豐富的成果[2-10]。

研究代數(shù)系統(tǒng)的零因子圖，對(duì)于理解代數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身是很有意義的，這種研究方法的重要性在于其將代數(shù)系統(tǒng)的零因子的結(jié)構(gòu)以圖的形式給出一個(gè)比較清晰的描述，這種方法特別適用于僅含有有限個(gè)元素的代數(shù)系統(tǒng)的研究。2006年，Axtel和Stickles在文獻(xiàn)[2]中研究了交換環(huán)R關(guān)于R-模M的平凡擴(kuò)張的零因子圖的性質(zhì)，對(duì)此平凡擴(kuò)張的零因子圖的圍長(zhǎng)、直徑等問(wèn)題做了一些討論，得到了一些深刻的結(jié)果。在文獻(xiàn)[10]中，我們討論了群環(huán)ZnG的零因子圖的性質(zhì)，具體描述了ZnG的零因子圖的圍長(zhǎng)、直徑和平面性，其中G為素?cái)?shù)階群。在本文中，我們將繼續(xù)研究與群環(huán)ZnG密切相關(guān)的一類環(huán)，以ZnG(+)Δ(G)表示，稱之為ZnG關(guān)于Δ(G)的理想化。我們主要研究環(huán)ZnG(+)Δ(G)的零因子圖Γ(ZnG(+)Δ(G))的性質(zhì)，分別給出Γ(ZnG(+)Δ(G))的圍長(zhǎng)、平面性和直徑的較為具體的刻畫。

本文中的群環(huán)ZnG，Zn均為模n剩余類環(huán)(n>1)，G均為素?cái)?shù)p階群。記Zn={0，1，2，…，n-1}，G={1，a，a2，…，ap-1}，其中a的階°(a)=p。群環(huán)ZnG關(guān)于增廣理想Δ(G)的理想化是指集合{(α，x)|α∈ZnG，x∈Δ(G)}按照以下兩種運(yùn)算做成的環(huán)：

(ⅰ)(α，x)+(β，y)=(α+β，x+y)；

(ⅱ)(α，x)(β，y)=(αβ，αy+βx+xy)。

將其記作ZnG(+)Δ(G)。易證ZnG(+)Δ(G)是有單位元(1，0)的交換環(huán)。

下面，我們主要陳述一些有關(guān)圖的基本概念和符號(hào)。設(shè)Γ是一個(gè)圖，將Γ中最短圈的長(zhǎng)度稱為Γ的圍長(zhǎng)，記作gr(Γ)，如果Γ中不含圈，則稱gr(Γ)=∞；設(shè)x和y是Γ的兩個(gè)頂點(diǎn)，將x與y之間的所有路徑中最短路的長(zhǎng)度稱為x與y之間的距離，記為d(x，y)，Γ的直徑定義為diam(Γ)=sup{d(x，y)|x，y∈V(Γ)}；如果Γ能畫在平面上使得它的邊僅在端點(diǎn)處相交，則稱Γ為平面圖；如果Γ中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有一條路相連，則稱Γ為連通圖；如果Γ中任意兩點(diǎn)均有單邊相連，則稱Γ為完全圖，以Kn表示。我們將完全二部圖表示為Km，n。設(shè)A是環(huán)R的子集，我們用|A|表示A的元素個(gè)數(shù)，A*=A-{0}。關(guān)于群環(huán)的基本性質(zhì)參見文獻(xiàn)[11-12]，關(guān)于圖的有關(guān)其他概念和符號(hào)參見文獻(xiàn)[13]。

1環(huán)ZnG(+)Δ(G)的零因子

本節(jié)將得到環(huán)ZnG(+)Δ(G)的所有零因子。以下引理是文獻(xiàn)[3]命題2.2的一個(gè)直接的結(jié)果：

引理1設(shè)ZnG為群環(huán)，Δ(G)為ZnG的增廣理想，其中G為素?cái)?shù)階循環(huán)群。則環(huán)ZnG(+)Δ(G)的零因子集合D(ZnG(+)Δ(G))={(0，x)|x∈Δ(G)}∪{(x，-x)|x∈Δ(G)} ∪ {(α，x)|α∈D(ZnG)*，x∈Δ(G)}∪{(α，x)|α∈ZnGD(ZnG)，x∈Δ(G)，?y∈Δ(G)*，使得y(α+x)=0}。

2Γ(ZnG(+)Δ(G))的圍長(zhǎng)與平面性

在本節(jié)中，我們主要研究Γ(ZnG(+)Δ(G))的圍長(zhǎng)與平面性。首先，我們給出Γ(ZnG(+)Δ(G))的圍長(zhǎng)的一個(gè)刻畫：

定理1設(shè)Zn為模n剩余類環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，Δ(G)為群環(huán)ZnG的增廣理想，則gr(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。

證明由于在Γ(ZnG(+)Δ(G))中，(0，a-1)—(1+a+…+ap-1，0)—(a-1，1-a)—(0，a-1)構(gòu)成了一個(gè)長(zhǎng)為3的圈，故gr(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。證畢。

其次，我們研究Γ(ZnG(+)Δ(G))的平面性。在證明主要結(jié)果時(shí)，我們需要以下引理。

引理2(文獻(xiàn)[13]定理9.5)圖Γ是平面圖的充分必要條件是K5或K3，3的任何細(xì)分都不是Γ的子圖。

引理3(文獻(xiàn)[10]定理3)設(shè)Zn為模n剩余類環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群。則Γ(ZnG)為平面圖當(dāng)且僅當(dāng)以下情形之一成立：①n=p=2；②n=p=3；③n=4，p=2；④n=3，p=2；⑤xp-1+…+x+1在Zn[x]中不可約，n=2，p≠2；⑥xp-1+…+x+1在Zn[x]中不可約，n=3，p≥5。

我們先給出兩個(gè)有用的例子：

例1設(shè)Z2為模2剩余類環(huán)，G為2階群，則Z2={0，1}，G={1，a}，Z2G={0，a，1，1+a}，Δ(G)={0，1+a}，D(Z2G(+)Δ(G))={(0，0)，(0，1+a)，(1+a，1+a)，(1+a，0)}。直接驗(yàn)證知，Γ(Z2G(+)Δ(G))為完全圖K3，從而為平面圖。

例2設(shè)Z3是模3剩余類環(huán)，G為2階群，則Z3={0，1，2}，G={1，a}，Z3G={0，1，2，a，1+a，2+a，2a，1+2a，2+2a}，D(Z3G)={0，1+a，2+a，1+2a，2+2a}，Δ(G)={0，2+a，1+2a}，D(Z3G(+)Δ(G))={(0，0)，(0，2+a)，(0，1+2a)，(2+a，1+2a)，(1+2a，2+a)，(1+a，0)，(2+a，0)，(1+2a，0)，(2+2a，0)，(1+a，2+a)，(2+a，2+a)，(2+2a，2+a)，(1+a，1+2a)，(1+2a，1+2a)，(2+2a，1+2a)，(1，1+2a)，(2，2+a)，(a，2+a)，(2a，1+2a)}。我們得到Γ(Z3G(+)Δ(G))如圖1所示，不難看出Γ(Z3G(+)Δ(G))是由每個(gè)三分類中均有兩個(gè)頂點(diǎn)的1個(gè)完全三部圖和3個(gè)完全二分圖K2，4銜接而成。因?yàn)棣?Z3G(+)Δ(G))含有K3，3的剖分圖，如圖2所示，所以Γ(Z3G(+)Δ(G))是非平面圖。

下面我們給出Γ(Z3G(+)Δ(G))的平面性的一個(gè)刻畫：

定理2設(shè)Zn為模n剩余類環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，Δ(G)為群環(huán)ZnG的增廣理想，則Γ(ZnG(+)Δ(G))為平面圖當(dāng)且僅當(dāng)n=p=2。

證明由于Γ(ZnG)與Γ(ZnG(+)Δ(G))的一個(gè)子圖同構(gòu)，因此若Γ(ZnG)為非平面圖，則Γ(ZnG(+)Δ(G))必為非平面圖。由引理3知，我們只須考慮以下6種情況：①n=p=2；②n=p=3；③n=4，p=2；④n=3，p=2；⑤xp-1+…+x+1在Zn[x]中不可約，n=2，p≠2；⑥xp-1+…+x+1在Zn[x]中不可約，n=3，p≥5。又Γ(ZnG(+)Δ(G))含有子圖K|Δ(G)|-1，|Δ(G)|-1，從而若|Δ(G)|≥4，由引理2得，Γ(ZnG(+)Δ(G))必為非平面圖。直接計(jì)算知：在①中，|Δ(G)|=2；在②中，|Δ(G)|=9；在③中，|Δ(G)|=4；在④中，|Δ(G)|=3；在⑤中，|Δ(G)|≥4；在⑥中，|Δ(G)|≥81。因此，我們只須考慮①和④。由例1知，當(dāng)n=p=2時(shí)，Γ(ZnG(+)Δ(G))為平面圖；由例2知，當(dāng)n=3，p=2時(shí)，Γ(ZnG(+)Δ(G))不是平面圖。證畢。

圖1　Z3G(+)Δ(G)的零因子圖Fig.1　The zero-divisor graph of Z3G(+)Δ(G)

圖2　K3，3的剖分圖Fig.2　The subdivision graph of K3，3

3Γ(ZnG(+)Δ(G))的直徑

在本節(jié)中，我們主要研究Γ(ZnG(+)Δ(G))的直徑。由于ZnG(+)Δ(G)是有單位元(1，0)的交換環(huán)，從而Γ(ZnG(+)Δ(G))是連通圖，且diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))≤3。又環(huán)ZnG(+)Δ(G)總含有非零零因子(0，a-1)，(a-1，1-a)，且d((0，a-1)，(a-1，1-a))=1，從而diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))≥1。因此diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))只能為1、2、3。

在文獻(xiàn)[10]中，我們給出了群環(huán)ZnG的零因子圖的直徑的一個(gè)刻畫。下面我們將從Γ(ZnG)的直徑出發(fā)，利用分類討論的方法，刻畫Γ(ZnG(+)Δ(G))的直徑。為了讀者方便，我們將以引理的形式重新敘述文獻(xiàn)[10]中的定理2。

引理4(文獻(xiàn)[10]定理2)設(shè)Zn為模n剩余類環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群。則：

①diam(Γ(ZnG))=0當(dāng)且僅當(dāng)n=p=2。

由文獻(xiàn)[3]命題4.11知，如果diam(Γ(ZnG))=3，則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。因此，我們立刻獲得以下結(jié)果：

命題1設(shè)ZnG為群環(huán)，Δ(G)為ZnG的增廣理想，其中G為素?cái)?shù)p階群。如果引理4③的條件(a)、(b)、(c)中有一個(gè)成立，則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。

下面，我們分別予以刻畫這4種情況。

命題2設(shè)Zn為模n剩余類環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，n=p，Δ(G)為群環(huán)ZnG的增廣理想。則：

(a)當(dāng)n=p=2時(shí)，diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=1；

(b)當(dāng)n=p且p≠2時(shí)，diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=2。

證明當(dāng)n=p=2時(shí)，由例1知，Γ(ZnG(+)Δ(G))為完全圖K3，故此時(shí)diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=1。當(dāng)n=p且p≠2時(shí)，由引理4得，diam(Γ(ZnG))=2，故存在x，y∈D(ZnG)*，使得d(x，y)>1，進(jìn)而d((x，0)，(y，0))>1，于是diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))≥2。由于當(dāng)n=p時(shí)，ZnG為局部環(huán)，故D(ZnG)=Δ(G)，從而T2?T3。我們還注意到T4=?。事實(shí)上，若(α，x)∈T4，則存在y∈Δ(G)*，使得y(α+x)=0，從而α+x∈D(ZnG)，進(jìn)而α+x∈Δ(G)，而x∈Δ(G)，于是α∈D(ZnG)，矛盾。因此D(ZnG(+)Δ(G))*=T1∪T3。?(0，x)，(0，y)∈T1，我們有路(0，x)—(x，-x)—(0，y)，故d((0，x)，(0，y))≤2；?(α，x)，(β，y)∈T3，由于Δ(G)=〈a-1〉，其中〈a-1〉表示由a-1生成的ZnG的主理想，于是我們有一條路(α，x)—(ap-1+…+a+1，ap-1+…+a+1)—(β，y)，故d((α，x)，(β，y))≤2； ?(0，x)∈T1，(β，y)∈T3，我們有路(0，x)—(ap-1+…+a+1，ap-1+…+a+1)—(β，y)，故d((0，x)，(β，y)) ≤2，從而diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))≤2。因此diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=2。證畢。

命題3設(shè)Zn為模n剩余類環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，n=pk，k>1，Δ(G)為群環(huán)ZnG的增廣理想，則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=2。

證明由引理4知，當(dāng)n=pk，k>1時(shí)，diam(Γ(ZnG))=2，從而diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))≥2。由文獻(xiàn)[11]推論2得，ZnG為局部環(huán)，其唯一極大理想m=IG+〈a-1〉，其中I為Zn的唯一極大理想，從而Δ(G)?D(ZnG)。由命題2的證明知：D(ZnG(+)Δ(G))*=T1∪T3，且?(0，x)，(0，y)∈T1，d((0，x)，(0，y))≤2。?(α，x)，(β，y)∈T3，我們有(α，x)—(pk-1(ap-1+…+a+1)，pk-1(ap-1+…+a+1))—(β，y)，故d((α，x)，(β，y))≤2；?(0，x)∈T1，(β，y)∈T3，同理可證，d((0，x)，(β，y))≤2，從而diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))≤2。因此diam (Γ(ZnG(+)Δ(G)))=2。證畢。

命題4設(shè)Zn為模n剩余類環(huán)，G為2階群，n為奇素?cái)?shù)，Δ(G)為群環(huán)ZnG的增廣理想，則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。

證明由文獻(xiàn)[11]定理2知，ZnG是有兩個(gè)極大理想的半局部環(huán)，設(shè)其極大理想為m1=〈a-1〉，m2=〈1+a+…+ap-1〉，則D(ZnG)=m1∪m2。首先證明：2+a2+a3+…+ap-1?D(ZnG)。若2+a2+a3+…+ap-1∈m1，則存在xi∈Zn，0≤i≤p-1，使得

2+a2+a3+…+ap-1=(x0+x1a+…+xp-1ap-1)(a-1)=

(xp-1-x0)+(x0-x1)a+(x1-x2)a2+…+(xp-2-xp-1)ap-1，

從而有xp-1-x0=2，x0-x1=0，xj-xj+1=1，j=1，…，p-2，進(jìn)而有x0-xp-1=p-2，于是p=0，這與n≠p矛盾；若2+a2+a3+…+ap-1∈m2，則存在yi∈Zn，0≤i≤p-1，使得2+a2+a3+…+ap-1=(y0+y1a+…+yp-1ap-1)(1+a+…+ap-1)，由于等式右邊每一個(gè)ai的系數(shù)均為y0+y1+…+yp-1，矛盾。因此2+a2+a3+…+ap-1?D(ZnG) 。由于Δ(G)=〈a-1〉，并注意到(a-1)((2+a2+a3+…+ap-1)+(a-1))=ap-1=0，從而 (2+a2+a3+…+ap-1，a-1)∈T4。直接驗(yàn)證知，Ann(2+a2+a3+…+ap-1，a-1)={(0，x)|x∈Δ(G)*}。?x∈Δ(G)*，由文獻(xiàn)[10]引理5得，(a-1)x≠0，從而(a-1，0)(0，x)=(0，(a-1)x)≠ (0，0)，從而d((2+a2+a3+…+ap-1，a-1)，(a-1，0))=3。因此diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。證畢。

綜合命題1～5，我們給出群環(huán)ZnG的理想化ZnG(+)Δ(G)的零因子圖的直徑的一個(gè)刻畫：

定理3設(shè)Zn為模n剩余類環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，Δ(G)為群環(huán)ZnG的增廣理想。則：

①diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=1當(dāng)且僅當(dāng)n=p=2。

②diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=2當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立：(a)n=p且p≠2；(b)n=pk，k>1。

③diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立：(a)(p，n)=1；(b)n=pkq，q>1，(p，q)=1，k≥1。

注綜合定理3和引理4，我們不難得到diam(Γ(ZnG))和diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))之間的關(guān)系：設(shè)Zn為模n剩余類環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，Δ(G)為群環(huán)ZnG的增廣理想，則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))≥diam(Γ(ZnG))。具體地，如果diam(Γ(ZnG))=0，則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=1； 如果diam(Γ(ZnG))=2，則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=2或3；如果diam(Γ(ZnG))=3，則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。在這里，我們給出一個(gè)diam(Γ(ZnG))和diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))不相等的例子：取Zn為模3剩余類環(huán)，G為2階群，則diam(Γ(ZnG))=2，diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。

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(責(zé)任編輯黃勇)

Properties of Zero-divisor Graphs of Idealizations of Group RingsZnG

GUO Shufeng1，2，XIE Guangming2，YI Zhong2，3

(1.School of Mathematical Sciences，Capital Normal University，Beijing 100048，China；2.College of Mathematics and Statistics ，Guangxi Normal University，Guilin Guangxi 541004，China；3. Guilin University of Aerospace Technology ，Guilin Guangxi 541004，China)

Abstract:It is very important to understand the structure of the ring itself by studying the zero-divisor graph of a ring to clearly and intuitively describe the structure of its zero-divisors by means of graph. Let G be a cyclic group of prime order， ZnG group rings of G over Zn and Δ(G)augmentation ideals of ZnG. Properties of zero-divisor graphs of idealizations of ZnG with respect to Δ(G) are discussed in this paper. It provides detailed descriptions of the girth，the diameter and the planarity of zero-divisor graphs of idealizations of ZnG，respectively.

Keywords:group ring； zero-divisor graph； girth； diameter； planarity

中圖分類號(hào)：O153.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-6600(2016)01-0066-06

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11161005)；北京市教育委員會(huì)科技計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(KZ201410028033)

收稿日期：2015-07-27

doi:10.16088/j.issn.1001-6600.2016.01.010

通信聯(lián)系人：易忠(1961—)，男，湖南長(zhǎng)沙人，廣西師范大學(xué)碩士研究生導(dǎo)師，桂林航天工業(yè)學(xué)院教授，博士。E-mail：yizhong66@126.com