談高數(shù)情懷之極限

周雪

【摘 要】很多學(xué)生甚至老師還在為極限一些沒有意義的地方在糾結(jié)和耗時(shí).借此我來談?wù)勎业臄?shù)學(xué)情懷，希望可以給還在糾結(jié)的人一些啟發(fā)和新的學(xué)習(xí)高數(shù)的感悟！

【關(guān)鍵詞】高數(shù)情懷；極限；無限接近

談到高數(shù)情懷，這是一種什么情懷，也許是高數(shù)里那些智慧結(jié)晶的一種贊嘆，也許是對數(shù)學(xué)家用生命研究數(shù)學(xué)的一種感恩，也許是高數(shù)滲透的那些經(jīng)典的哲理的一種吸引，也許是高數(shù)讓我們看到生活真諦的一種沉靜.不知道你們也有我這樣的情懷嗎？在過去教學(xué)一度時(shí)間中，我總是在問自己，老師到底在高數(shù)課堂上要教學(xué)生什么，我一直在尋找答案，每次上完課都總感覺不盡興，總感覺學(xué)生不應(yīng)該這么學(xué)習(xí)高數(shù)。就在一次備課“極限”內(nèi)容，突然讓我找到了答案，我為什么不把我這種高數(shù)情懷也讓學(xué)生知道呢？我為什么不把這種高數(shù)情懷貫穿到我的課堂上呢？從現(xiàn)在開始我就要在我高數(shù)課堂上的談高數(shù)情懷，從極限開始。

一、極限的爭議

例1：阿基米德追烏龜。

這是由古希臘哲人芝諾提出的一個(gè)經(jīng)典悖論。假設(shè)烏龜在阿基米德前面100米的地方，烏龜?shù)乃俣?米/s，阿基米德的速度是10米/s，阿基米德跑完100米的時(shí)候，烏龜又跑了10米，阿基米德再跑那10米，烏龜又跑了1米，阿基米德跑完1米，該死的烏龜又跑了0.1米……按這個(gè)推理，好像阿基米德永遠(yuǎn)也追不上烏龜，烏龜始終都領(lǐng)先阿基米德一點(diǎn)點(diǎn)。這個(gè)問題大家普遍是這么回答的，因?yàn)闉觚斉?0米要10s，跑1米要1s，0.1米是0.1s，0.01米是0.01s……這樣把時(shí)間加起來10+1+0.1+0.01+0.001+……這樣一直加下去是一個(gè)無限的數(shù)列，但是這個(gè)數(shù)列的值是可以求出來，等比數(shù)列求和即 s，時(shí)間在 s的時(shí)候阿基米德就追上了烏龜。但是人們又開始疑惑另一個(gè)問題，極限的概念告訴我們：極限是無限的接近但是不到達(dá)，就算加起來是確定的時(shí)間值，但是按極限概念確是達(dá)不到啊，還是沒追上不是？于是就又出來類似問題，例如例2的問題。

例2：。

0.9到底和1相等嗎？按照極限的概念，0.9應(yīng)該是無限接近，但是沒有達(dá)到，所以不等于1.但是還是有一些人不死心，一直在追究0.9到底等不等于1，如果不相等，那例1中的阿基米德不就永遠(yuǎn)追不上烏龜了嗎？

二、極限的“堅(jiān)持”

針對以上的兩個(gè)例子，讓我反思的不是例子的答案是什么？而是為什么極限的學(xué)習(xí)總有一些人在思考類似的這些問題。思考過后，這些問題就算有了答案，你得到了什么呢？你是一個(gè)學(xué)生？還是老師？你是數(shù)學(xué)業(yè)余愛好者，還是專業(yè)數(shù)學(xué)家？即使你是專業(yè)數(shù)學(xué)家，這樣的問題更沒有意義，何況前三種人。為什么沒有意義，簡單的說，極限定義就是“無限接近”注意是“無限”接近，至于達(dá)到?jīng)]達(dá)到，我可以說這不歸極限管。極限就是用來解決無限接近的。你們有那么多精力放在不歸極限管的領(lǐng)域里面，怎么不用心來感受下極限真正的價(jià)值所在。“極限”的定義能把“無限接近”這么淺顯易懂，但是你用漢語又解釋不清的一個(gè)概念用純粹的數(shù)學(xué)符號翻譯成如此嚴(yán)密思維和邏輯?！唉?N”定義，“ε-X”定義，“ε-δ”定義，如此驚嘆的數(shù)學(xué)語言的翻譯，難道這不應(yīng)該贊嘆一下嗎？贊嘆“極限”這種非凡的能力——“無限接近”，它不僅可以看到你用肉眼看不到的地方——“領(lǐng)域”，它還可以一直堅(jiān)持做一件永遠(yuǎn)做不完的事情，這是何等的超能力，這是多么的值得學(xué)習(xí)的地方。接下來我們來看例3。

例3：這個(gè)數(shù)列的極限是兩個(gè)重要的極限之一，利用準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必收斂已經(jīng)證明了這個(gè)極限值一定存在，那這個(gè)值是多少？很多學(xué)生認(rèn)為當(dāng) n→∞的時(shí)候， ， 所以1∞=1，所以，顯然這個(gè)答案是錯(cuò)的，應(yīng)該是e。你可以把n=1.n=2，n=3，……n=16，……帶入此式計(jì)算出Xn，觀察下Xn無限接近e，所以這個(gè)極限的正確答案應(yīng)該是，這個(gè)極限告訴我們什么：首先你看這個(gè)，答案就是1，這兩個(gè)極限的區(qū)別是什么？我這個(gè)時(shí)候再來解釋下，如果你起點(diǎn)開始擁有的資本是1，如果你每天做一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)（+ ），次方100意思就是做了100天，結(jié)果你的資本還是1，但是如果你做了n→∞天，那你的資本就變成了e≈2.7… 翻了2倍多，這是多么驚嘆！原因其實(shí)就是n→∞，這時(shí)候n其實(shí)不在叫n，而應(yīng)該叫“堅(jiān)持”，而又是誰讓你看到這堅(jiān)持以后帶來的巨大改變，它就是“極限”，這就是極限的意義，這就是我從高數(shù)里感受的情懷，堅(jiān)持是多么的厲害！ 于是趁熱打鐵趕緊問等于多少，也就是你每天少做一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)，結(jié)果，你原來1資本變成了 這個(gè)損失何其大??！這不正是人生真諦嗎？——貴在堅(jiān)持！

所以無論是你前面四種的哪一種人，甚至就是一個(gè)普通老百姓或媽媽奶奶級別的人，這才是我們要學(xué)習(xí)和值得去花時(shí)間思考和感嘆的問題，這也正是我們學(xué)生急需從高數(shù)課堂里面獲得的知識。

三、極限的精神

可能有人要反問我，極限如此厲害，如此有意義，為什么例1和例2解釋不了，那么極限的定義都是錯(cuò)的，就別談它的價(jià)值所在了，其實(shí)前兩問的一個(gè)根本原因是n→∞，在實(shí)際操作和生活當(dāng)中∞有嗎，或者我反問你，你可以把一個(gè)線段給我切成無窮多個(gè)點(diǎn)嗎？你確定你切完了嗎？你真的可以把一把1米的尺子不停的取二分之一嗎？你真的可以在阿基米德追烏龜?shù)穆飞险业健薅鄠€(gè)點(diǎn)嗎？事實(shí)上沒有辦到！這個(gè)時(shí)候極限該笑了，你連n→∞都不能給我，你還要我?guī)湍闳o限接近，這不是可笑之極！所以我要說的是例1悖論的推翻理由根本就不需要極限登場，哪來的無窮項(xiàng)相加？而同樣例二也需要無窮多的9，你有本事給我無窮個(gè)9先！再者，你要0.99循環(huán)等于1干什么？0.99999999999999999999999的精確度就足夠讓火箭飛天了。這個(gè)時(shí)候又會(huì)有人反問我那極限的產(chǎn)生就更沒意義了？沒有意義嗎？你難道還沒有感受到例3極限的那份堅(jiān)持？你難道還沒沒感受到0.9那種永不停息，一直努力地在往自己小數(shù)點(diǎn)后面加9的那份執(zhí)著？你難道不應(yīng)該感嘆極限一直在不停的“無限接近”的這種精神嗎？這其實(shí)就是“經(jīng)典數(shù)學(xué)”。“經(jīng)典數(shù)學(xué)”是不用迎合“應(yīng)用數(shù)學(xué)”，它不僅可以解釋物理現(xiàn)象，它更勝于超越生活的領(lǐng)域。這就是我們學(xué)習(xí)極限的價(jià)值和感受高數(shù)情懷的地方！

高數(shù)情懷不僅可以在極限體會(huì)，它的所有概念，你都應(yīng)該試著去找找那份情懷的存在，所以我的高數(shù)課堂的情懷之路漫漫而道遠(yuǎn)！希望我能帶著越來越多的學(xué)生一起走上這條路！

參考文獻(xiàn)：

[1]高等數(shù)學(xué).同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.6版.北京.高等教育出版社.2007.6