《函數(shù)的單調(diào)性》課例研究

田萬華　楊媛媛

【摘 要】 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的幾大重要性質(zhì)之一，它直觀且有效地反映了函數(shù)的變化趨勢，是我們研究函數(shù)問題的重要內(nèi)容和研究其它性質(zhì)的重要手段，它的應(yīng)用非常的廣泛，比如我們可以應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性來估計生活中的股票和經(jīng)濟(jì)情況的變化趨勢，從而更準(zhǔn)確的抓住這些信息，有利于幫助投資者作出決策和選擇；在數(shù)學(xué)中，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值往往是最直觀和最容易的方法；單調(diào)性的題目在各種考試和高考中經(jīng)常的出現(xiàn)，尤其是有關(guān)單調(diào)性的證明，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用等，更是讓許多考生苦不堪言，所以學(xué)好函數(shù)的單調(diào)性至關(guān)重要。本文結(jié)合我的教學(xué)課堂，以課后總結(jié)式的形式寫此文章，重在體現(xiàn)新課標(biāo)和新課改的大環(huán)境和要求下的教學(xué)新觀念，將課堂還給學(xué)生，學(xué)生是教學(xué)的主體，老師要變教為導(dǎo)，變教授為自學(xué)，多設(shè)置情境和問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和探究問題的能力，由于經(jīng)驗不多，還在學(xué)習(xí)摸索中，本文權(quán)當(dāng)記錄一次課堂教學(xué)的同時，總結(jié)經(jīng)驗和不足促使我以后的課堂教學(xué)更有效。

【關(guān)鍵詞】 增函數(shù)減函數(shù)；單調(diào)性；單調(diào)區(qū)間

【中圖分類號】G63.25 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）18-0-02

函數(shù)是描述事物運動變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，因此如果我們掌握了函數(shù)的變化規(guī)律，也就基本掌握了相應(yīng)事物的變化規(guī)律。函數(shù)的單調(diào)性的學(xué)習(xí)，就是要學(xué)生通過觀察已知的熟悉的函數(shù)的圖象，得出函數(shù)圖象的上升和下降的整體直觀的感受，并且能夠根據(jù)圖象口頭敘述函數(shù)的上升和下降的情況。下面是教學(xué)教案中的一部分，主要記錄的是課堂實際的實施情況。

請同學(xué)們做出的圖象。

觀察函數(shù)的圖象，請你說出它們的上升和下降的情況。

生：的圖象一直在上升，而的圖象先是下降后是上升。

師：好。能否說的更具體和完整一點？

生：的圖象由左至右一直在上升，而的圖象在y軸的左側(cè)是下降的，在y軸的右側(cè)是上升的。

師：很好。大家的敘述很準(zhǔn)確。結(jié)合我們以前學(xué)過的函數(shù)，我們知道函數(shù)中有許多函數(shù)的圖象具有這樣的上升和下降的性質(zhì)，我們把函數(shù)在圖象上表現(xiàn)出來的這種上升和下降的性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性。這就是我們今天要研究的函數(shù)課題。

那么，請同學(xué)們結(jié)合圖（2），我們?nèi)绾蚊枋龊瘮?shù)圖象的上升和下降呢？

生：圖象在y軸的左側(cè)下降，也就是在區(qū)間上，隨著x的增大，相應(yīng)的f（x）隨著減?。粓D象在y軸的右側(cè)上降，也就是在區(qū)間上，隨著x的增大，相應(yīng)的f（x）隨著增大。

師：很好，這是我們的純粹的自然語言來敘述，是我們在圖象的基礎(chǔ)上直觀的表達(dá)出圖象特征。在我們以后的學(xué)習(xí)中，我們會遇到很多函數(shù)是以解析式的形式給出，其中有些還不一定能夠用手工作出函數(shù)圖象，我們又怎樣來判斷其單調(diào)性呢？為此我們就要用數(shù)學(xué)語言來給函數(shù)的單調(diào)性下個定義。

請同學(xué)們研究函數(shù)的圖象，計算f（1）、f（2）、f（3），并將它們標(biāo)在函數(shù)的圖象上。

生：發(fā)現(xiàn)f（1）

師：那么a>b>0時，f（a）與f（b）的大小關(guān)系是？

生：f（a）>f（b）。

師：思考一般的結(jié)論是什么？

生：在區(qū)間上，只要，就有。

師：同學(xué)們回答的很好。我將大家的敘述總結(jié)起來就是：對于二次函數(shù)，我們可以這樣描述：在區(qū)間上，隨著x的增大，相應(yīng)的f（x）隨著增大。也就是在區(qū)間上任取，得到，當(dāng)時，總有。這時我們就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)。

請同學(xué)們試著用我們的數(shù)學(xué)語言定義函數(shù)f（x）的單調(diào)性。

生：對于函數(shù)f（x），如果對于任意的，當(dāng)時，有，則稱函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)。

師：請同學(xué)們對照教材中增函數(shù)的定義，看看有什么不同？為什么？

生：教材定義：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)。

師：教材定義中為什么要說“對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D”呢？

這是因為函數(shù)在其定義域內(nèi)其單調(diào)性并不是一成不變的。如的定義域為，當(dāng)時是減函數(shù)，而時卻是增函數(shù)，顯然，其單調(diào)區(qū)間。這也說明了函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)。

請同學(xué)們仿照增函數(shù)的研究方法，研究并定義減函數(shù)。

生：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)。

師：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=（x）在這一區(qū)間具有單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，其對應(yīng)的區(qū)間D稱之為單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間。

例1：下圖是定義在[-5，5]上的函數(shù)y=f（x），根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出在每一個單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？

解：函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間有（-5，-2），[-2，1），（1，3），[3，5]。其中y=f（x）在區(qū)間（-5，-2），（1，3）上是減函數(shù)；在區(qū)間[-2，1），[3，5]上是增函數(shù)。

生甲：老師，在兩個區(qū)間的公共端點處，比如x=1處，這個函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？

師：這個問題提的很好，請大家對照我們的定義想一想這個問題，有沒有哪位同學(xué)可以回答這個問題？

生乙：我認(rèn)為在x=1處，不具有單調(diào)性，因為由定義知函數(shù)的單調(diào)性是在某個區(qū)間D上具有單調(diào)性。

師：回答正確。這里我還要補(bǔ)充說明一點，雖然對于這個函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-5，-2），（1，3）上是減函數(shù)，但我們不能說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。

這次教學(xué)采用師生問答的形式，老師旨在引導(dǎo)，學(xué)生充分自主，以學(xué)生自主的學(xué)習(xí)為主，意在適應(yīng)新課改理念下的課堂教學(xué)，以突出平等、合作與交流、相互理解、轉(zhuǎn)變角色等新觀念，使師生間的教與學(xué)相互促進(jìn)。具體的突出了研究函數(shù)時我們常用的數(shù)形結(jié)合的思想和研究函數(shù)性質(zhì)的步驟，即第一步，觀察圖象，描述函數(shù)圖象特征；第二步，結(jié)合圖、表，用自然語言描述函數(shù)圖象特征；第三步，用數(shù)學(xué)符號的語言定義函數(shù)的性質(zhì)。在增函數(shù)的研究過程中，讓學(xué)生自己用自己的語言描述，再用數(shù)學(xué)語言定義，大膽的讓學(xué)生去嘗試，重在鍛煉學(xué)生的將實際問題抽象成數(shù)學(xué)語言的概括能力、語言的嚴(yán)密性和準(zhǔn)確性。在研究減函數(shù)時完全將課堂交給了學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)會用類比的思想方法處理問題的技巧和能力，例題的目的在于使學(xué)生能夠結(jié)合定義，根據(jù)圖象能夠用數(shù)學(xué)語言解決問題，進(jìn)一步鞏固知識和加強(qiáng)應(yīng)用能力。在學(xué)生參與的同時有效地完成了教學(xué)目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

1.汪江松主編，重難點手冊高中數(shù)學(xué)1，華中師范大學(xué)出版社；

2.人民教育出版社數(shù)學(xué)教材必修1；

3.人民教育出版社數(shù)學(xué)教材必修1教師教學(xué)用書.