從錯(cuò)例分析談空間觀念的培養(yǎng)策略

鄭紅

空間觀念是新課標(biāo)十大核心詞之一，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）描述了空間觀念的主要表現(xiàn)，其中包括“能夠根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體;進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化”等?？臻g是物質(zhì)存在的一種客觀形式，是物質(zhì)存在的表現(xiàn);空間觀念是由長(zhǎng)度、寬度、高度表現(xiàn)出來(lái)的客觀事物在人腦中留下的概括的形象。空間觀念是創(chuàng)新精神所需的基本因素，沒有空間觀念，就談不上任何發(fā)明創(chuàng)造，許多發(fā)明創(chuàng)造都是以實(shí)物的形態(tài)呈現(xiàn)的，都是設(shè)計(jì)者先根據(jù)想象畫出設(shè)計(jì)圖，然后做出模型，最后完善成功的。在這個(gè)過程中，空間觀念起著非常重要的作用。所以明確空間觀念的意義，認(rèn)識(shí)空間觀念的特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念非常重要。

在實(shí)際教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念存在著較大的困難，現(xiàn)狀不容樂觀。

一、錯(cuò)例分析

1.錯(cuò)例再現(xiàn)

“求彩帶長(zhǎng)度”是三年級(jí)上冊(cè)總復(fù)習(xí)第113頁(yè)中一道經(jīng)典的實(shí)際問題，教材編排此題的目的是：通過本題的練習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法，并能運(yùn)用長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)知識(shí)靈活地解決實(shí)際問題。由于學(xué)生對(duì)立體圖形的特點(diǎn)還不熟悉，教材呈現(xiàn)的直觀圖，能幫助學(xué)生分析“捆盒子的彩帶包括哪幾個(gè)部分”，理解“需要的長(zhǎng)度”的實(shí)際含義。

雖然在此之前，學(xué)生已在一年級(jí)上學(xué)期直觀認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方體、正方體;在一年級(jí)下學(xué)期利用立體圖形與平面圖形的關(guān)系認(rèn)識(shí)了平面圖形——長(zhǎng)方形和正方形;在二年級(jí)上學(xué)期學(xué)會(huì)了從不同的方向觀察物體;在三年級(jí)上學(xué)期第七單元掌握了長(zhǎng)方形和正方形的特征與周長(zhǎng)的計(jì)算方法。但是學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體、正方體的特征缺乏系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，空間想象力不夠，教材雖然提供了直觀圖，但要理解捆盒子的彩帶包括哪幾個(gè)部分，對(duì)學(xué)生來(lái)說難度較大。我在本校三年級(jí)的兩個(gè)班中進(jìn)行了調(diào)查測(cè)試和訪談，錯(cuò)誤率80%以上，具體表現(xiàn)如下：

（1）長(zhǎng)方體盒子錯(cuò)誤率83.0%。

主要錯(cuò)誤：

沒加打結(jié)的45厘米：60×2+40×2+30×4。

30厘米只算了兩根：（30+40+60）×2+45。

30厘米、40厘米、60厘米都算了四根：（30+40+60）×4+45。

30厘米、40厘米、60厘米都只算了一根：30+40+60+45。

30厘米、40厘米、60厘米都算了六根：（30+40+60）×6+45。

打結(jié)的45厘米不加反減：60×2+40×2+30×4-45。

（2）正方體盒子錯(cuò)誤率85.1%。

主要錯(cuò)誤：

沒加打結(jié)的45厘米：40×4+40×4。

40厘米只算了四根：40×4+45。

40厘米算了十二根：40×12+45 ，40×3×4。

40厘米算了六根：40×6+45。

2.錯(cuò)因分析

（1）學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)這一概念缺乏本質(zhì)的理解，長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)計(jì)算公式只會(huì)在簡(jiǎn)單的圖形中運(yùn)用，部分學(xué)生只記住了長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是兩個(gè)已知數(shù)字相加再乘以2。所以在解決“長(zhǎng)方體的盒子需要多少彩帶？”時(shí)，很多學(xué)生列出的算式是“（30+60+40）×2+45”。

（2）對(duì)于三年級(jí)學(xué)生來(lái)說，他們現(xiàn)在只限于對(duì)平面圖形的感知和理解，而這道題目實(shí)際上是要求學(xué)生具備一定的空間觀念。學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體和正方體的結(jié)構(gòu)不了解，找不準(zhǔn)圖上的60厘米、40厘米、30厘米分別是哪一條。

（3）多數(shù)學(xué)生在計(jì)算彩帶的長(zhǎng)度時(shí)，都是看圖數(shù)出根數(shù)再計(jì)算的，但在計(jì)算時(shí)，由于空間想象能力的缺乏，能正確數(shù)出長(zhǎng)寬高的根數(shù)的學(xué)生為數(shù)不多。

（4）教材設(shè)計(jì)這個(gè)練習(xí)的意圖是讓學(xué)生知道要求彩帶的長(zhǎng)度，只要分別求正面的長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)，再加上打結(jié)所需的彩帶長(zhǎng)度就可以了。但學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)少，平時(shí)很少有機(jī)會(huì)接觸到包裝好的盒子，加之三年級(jí)學(xué)生的空間思維能力較弱，他們很難根據(jù)圖畫的意思想象出盒子的包裝方法，更不能將這根彩帶抽象為一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形的形狀來(lái)計(jì)算。

二、培養(yǎng)策略

人們認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)、特點(diǎn)及其規(guī)律時(shí)，總是從具體到抽象，從感性到理性的。因?yàn)閷?shí)物和圖形的直觀性很強(qiáng)，容易為學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解，也容易使學(xué)生建立起空間觀念。利用“實(shí)物和圖形”也就是運(yùn)用和借助實(shí)物和圖形讓學(xué)生通過觀察、比較、綜合、抽象、分析等方法認(rèn)識(shí)客觀事物，這是幫助學(xué)生建立空間觀念最好的途徑。下面，我結(jié)合以上錯(cuò)例談?wù)劺脤?shí)物和圖形幫助學(xué)生建立空間觀念的教學(xué)策略。

1.放大過程，抓住本質(zhì)

在解決“長(zhǎng)方體的盒子需要多少彩帶”時(shí)，很多學(xué)生列出的算式是“（30+60+40）×2+45”。在訪談中我了解到，這些學(xué)生是因?yàn)槔卫斡涀×碎L(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算公式是（長(zhǎng)+寬）×2，而圖中有三個(gè)數(shù)字，所以就把這三個(gè)數(shù)字都加進(jìn)去吧。這讓我回想起在畢業(yè)班的總復(fù)習(xí)時(shí)總會(huì)有一部分學(xué)生概括不出長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算公式中的“長(zhǎng)+寬”表示的是半個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

這個(gè)現(xiàn)象引起了我的思考，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)是否節(jié)奏太快了，認(rèn)識(shí)了周長(zhǎng)的概念后，馬上要學(xué)生概括出長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)計(jì)算公式，然后就是運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。雖然最初作業(yè)正確率很高，但到了舉一反三的運(yùn)用階段，錯(cuò)誤率就明顯上升。其實(shí)，教師在長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的新授課教學(xué)時(shí)，不要過早地讓學(xué)生用（長(zhǎng)+寬）×2來(lái)計(jì)算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。在教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)周長(zhǎng)的初始階段，推遲使用公式計(jì)算，讓學(xué)生用自己的方法計(jì)算周長(zhǎng)，如長(zhǎng)+長(zhǎng)+寬+寬、長(zhǎng)×2+寬×2、長(zhǎng)+寬+長(zhǎng)+寬。雖然這樣的方法看起來(lái)比較麻煩，但它有助于學(xué)生真正地理解長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)是四邊之和。一段時(shí)間后，學(xué)生會(huì)明白長(zhǎng)加寬的和就是半個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，再乘以2就是一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，此時(shí)他們才真正理解了公式：（長(zhǎng)+寬）×2的意思。對(duì)于優(yōu)秀學(xué)生來(lái)說，公式的理解并不是難事，但對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說，這樣才能從本質(zhì)上理解長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)這一概念，過早地人為劃一地要求用公式計(jì)算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械化地記憶公式，模式化地計(jì)算周長(zhǎng)，而不會(huì)靈活地解決問題。

2.學(xué)會(huì)觀察，發(fā)揮想象

學(xué)生的空間知識(shí)來(lái)自豐富的現(xiàn)實(shí)原型，與現(xiàn)實(shí)生活非常緊密，也就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)真觀察周圍的實(shí)物，重視現(xiàn)實(shí)生活中有關(guān)空間與圖形的問題，從視覺上去感受空間。我在上述錯(cuò)例指導(dǎo)課的教學(xué)中采用直觀教學(xué)法，為學(xué)生提供實(shí)物模型，用撲克牌盒來(lái)代替禮品盒，讓學(xué)生觀察這個(gè)禮品盒是什么形狀？摸一摸每一個(gè)面，并思考：這個(gè)長(zhǎng)方體禮品包裝盒共有幾個(gè)面？這些面是什么形狀？你能找到圖中的30厘米、60厘米、40厘米分別在哪個(gè)位置嗎？摸一摸教具，使學(xué)生初步感知長(zhǎng)方體的特征，引導(dǎo)學(xué)生帶著問題觀察，并從立體圖形中準(zhǔn)確找到長(zhǎng)、寬、高，為接下來(lái)計(jì)算彩帶的長(zhǎng)度做準(zhǔn)備。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀?！狈纸鈭D形、想象實(shí)物就是要求學(xué)生具有豐富的想象能力。而想象具有伴隨性，學(xué)生在觀察實(shí)物、概括實(shí)物及幾何圖形時(shí)，在練習(xí)、操作過程中始終伴隨著想象，這些想象既有助于學(xué)生空間觀念的建立，又有助于提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。

在上述錯(cuò)例的學(xué)生訪談中，我發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生在計(jì)算彩帶的長(zhǎng)度時(shí)，都喜歡采用看圖數(shù)出根數(shù)再計(jì)算的方法，所以我在教學(xué)運(yùn)用長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)解決問題的練習(xí)指導(dǎo)課時(shí)，就引導(dǎo)學(xué)生觀察：由于角度的關(guān)系，有些長(zhǎng)方形和線段看得到，有些看不到，需要我們?nèi)ハ胂蟆Ｏ胂笠幌拢涸诙Y品盒上捆的這根彩帶，到底包含了幾根30厘米、幾根40厘米、幾根60厘米呢？經(jīng)過觀察和想象，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)這根彩帶中實(shí)際上包含了4根30厘米、2根40厘米、2根60厘米，所以彩帶的長(zhǎng)度就是4個(gè)30厘米、2個(gè)40厘米、2個(gè)60厘米的和再加上蝴蝶結(jié)的45厘米。

教學(xué)時(shí)，我通常讓學(xué)生先觀察實(shí)物，然后練習(xí)畫出觀察過的實(shí)物幾何圖形，有時(shí)也運(yùn)用猜想、設(shè)計(jì)等手段，借助直觀圖形來(lái)進(jìn)行合情推理，這樣既增強(qiáng)了學(xué)生探究的好奇心，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，激發(fā)出潛在的創(chuàng)造力，又讓他們逐步形成合乎邏輯的思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度和形成創(chuàng)新意識(shí)。

3.結(jié)合操作，訓(xùn)練概括

“操作是智力的源泉，思維的起點(diǎn)?！苯虒W(xué)時(shí)，老師不但要重視引導(dǎo)觀察，而且要重視讓他們由被動(dòng)聽講變?yōu)橐黄饎?dòng)手、共同參與，親身操作。多種形式的操作能使他們的視覺、觸覺協(xié)調(diào)起來(lái)，充分發(fā)揮其內(nèi)化功能，以豐富他們的空間觀念。

教學(xué)時(shí)，我讓學(xué)生想象一下：在禮品盒上捆一根彩帶，這根彩帶捆上后會(huì)是什么形狀？用銅絲代替彩帶動(dòng)手包扎一下，驗(yàn)證一下自己想得對(duì)不對(duì)？讓學(xué)生在動(dòng)手圍一圍中理解“捆盒子的彩帶”指的是哪幾個(gè)部分，然后把扎好的銅絲從盒子上取下來(lái)，讓學(xué)生觀察此時(shí)銅絲的形狀是什么？和盒子正面的周長(zhǎng)有什么聯(lián)系？閉上眼睛想象一下：把取下的銅絲再套上去，是否和彩帶的形狀一個(gè)樣？將抽象問題直觀化，為學(xué)生分析問題提供表象支撐。選擇合適的學(xué)習(xí)材料能在很大程度上提高操作的效率。用銅絲代替彩帶，是因?yàn)殂~絲易彎曲，取下后又可保持長(zhǎng)方形的形狀，便于學(xué)生觀察。

用銅絲扎好后，我讓學(xué)生來(lái)說一說：你在驗(yàn)證過程中發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生發(fā)現(xiàn)了彩帶是長(zhǎng)方形的;彩帶的長(zhǎng)度就是右邊這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，因?yàn)榭梢园巡蕩б频竭吘夁M(jìn)行驗(yàn)證。這時(shí)教師趁熱打鐵：“這根彩帶有多長(zhǎng)？如果再扎上另一根彩帶，這根彩帶有多長(zhǎng)？這個(gè)禮品盒全部包裝好，一共需要多長(zhǎng)的彩帶？”此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了原來(lái)求彩帶的長(zhǎng)度只要分別求長(zhǎng)方形的一個(gè)正面和一個(gè)側(cè)面的周長(zhǎng)之和，再加上打結(jié)所需的彩帶長(zhǎng)度就可以了。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“能描述實(shí)物或幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化，能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的相互關(guān)系?！彼岳蠋熞e極鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度觀察物體，操作過后一定要讓學(xué)生試著總結(jié)概括，把自己在操作過程中的所思所想用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)。讓他們有較多的機(jī)會(huì)去參與活動(dòng)，從語(yǔ)言表達(dá)和聽覺上感知空間觀念，不斷地豐富他們的空間經(jīng)驗(yàn)，使空間觀念得到形成和鞏固。這與觀察實(shí)物相比有較大的難度，但是對(duì)學(xué)生建立空間觀念有很大好處，這是在觀察基礎(chǔ)上的一個(gè)飛躍。

總之，空間觀念對(duì)數(shù)學(xué)乃至其他學(xué)科的學(xué)習(xí)，對(duì)各種能力的培養(yǎng)都有很大的影響?？臻g觀念的培養(yǎng)并不是一蹴而就的，而是一個(gè)長(zhǎng)期的過程。以上三個(gè)方面的策略也并不是孤立存在的，而是相互滲透，相互促進(jìn)，綜合運(yùn)用的。我們要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種感官積極主動(dòng)地參與到教學(xué)中來(lái)，以促使學(xué)生對(duì)幾何形體有深刻的認(rèn)識(shí)，讓他們的空間觀念在學(xué)習(xí)活動(dòng)中慢慢得到提升。