數學概念教育初探

李海波

摘要：概念是思維的基本形式，具有確定研究對象和任務的作用。數學概念則是客觀事物中數與形本質屬性的反映。數學概念是構建數學理論大廈的基石，是導出數學定理和數學法則的邏輯基礎，是提高解題能力的前提，是數學學科的靈魂和精髓。因此，數學概念教學是“雙基”教學的核心，是數學教學的重要組成部分，正確理解概念是學好數學的基礎，學好概念是學好數學最重要的一環(huán)，筆者就數學概念教學提出自己的看法。

關鍵詞：數學概念；數學素養(yǎng)；思維品質

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）06-0071

一、數學概念的特點和學習意義

數學概念是反映一類對象本質屬性的思維形式，它具有相對獨立性。概念反映的是一類對象的本質屬性，即這類對象的內在的、固有的屬性，而不是表面的屬性，而這類對象是現實世界的數量關系和空間形式，它們已被舍去了具體物質屬性和具體的關系，僅被抽取出量的關系和形式構造。在某種程度上表現為對原始對象具體內容的相對獨立性。

數學概念又具有抽象與具體的雙重性。數學概念既然代表了一類對象的本質屬性，那么它是抽象的。以“矩形”概念為例，現實世界中沒見過抽象的矩形，而只能見到形形色色的具體的矩形。從這個意義上說，數學概念“脫離”了現實。由于數學中使用了形式化、符號化的語言，使數學概念離現實更遠，即抽象程度更高。但同時，正因為抽象程度愈高，與現實的原始對象聯(lián)系愈弱，才使數學概念應用愈廣泛。但不管怎么抽象，高層次的概念總是以低層次的概念為其具體內容。且數學概念是數學命題、數學推理的基礎部分，就整個數學體系而言，概念是一個實在的東西。所以，它既是抽象的又是具體的。

數學概念還具有邏輯聯(lián)系性。數學中大多數概念都是在原始概念（原名）的基礎上形成的，并采用邏輯定義的方法，以語言或符號的形式使之固定。其他學科均沒有數學中諸概念那樣具有如此精確的內涵和如此豐富、嚴謹的邏輯聯(lián)系。

數學概念教學是中學數學中至關重要的一項內容，是基礎知識和基本技能教學的核心，正確理解概念是學好數學的基礎，學好概念是學好數學最重要的一環(huán)。一些學生數學之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特別像筆者所在學校這樣的普通中學的學生，數學素養(yǎng)差的關鍵是在對數學概念的理解、應用和轉化等方面的差異。因此，抓好概念教學是提高中學數學教學質量的帶有根本性意義的一環(huán)。

從平常數學概念的教學實際來看，學生往往會出現兩種傾向，其一是有的學生認為基本概念單調乏味，不去重視它，不求甚解，導致概念認識和理解模糊；其二是有的學生對基本概念雖然重視但只是死記硬背，而不去真正透徹理解，只有機械的、零碎的認識。久而久之，嚴重影響對數學基礎知識和基本技能的掌握和應用。比如有的學生認為是奇函數，有的學生在解題中得到異面直線的夾角為鈍角，有的學生認為函數與直線有兩個交點，這些錯誤都是由于學生對概念認識模糊造成的。只有真正掌握了數學中的基本概念，我們才能把握數學的知識系統(tǒng)，才能正確、合理、迅速地進行運算、論證和空間想象。從一定意義上說，數學水平的高低，取決于對數學概念掌握的程度。

二、數學概念的教學形式

1. 注重概念的本源、概念產生的基礎，體驗數學概念形成過程

每一個概念的產生都有豐富的知識背景，舍棄這些背景，直接拋給學生一連串的概念是傳統(tǒng)教學模式中司空見慣的做法，這種做法常常使學生感到茫然，丟掉了培養(yǎng)學生概括能力的極好機會。由于概念本身具有的嚴密性、抽象性和明確規(guī)定性，傳統(tǒng)教學中往往比較重視培養(yǎng)思維的邏輯性和精確性，在方式上以“告訴”為主讓學生“占有”新概念，置學生于被動地位，使思維呈現依賴性，這不利于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)?！皩W習最好的途徑是自己去發(fā)現”。學生如能在教師創(chuàng)設的情景中像數學家那樣去“想數學”，“經歷”一遍發(fā)現、創(chuàng)新的過程，那么在獲得概念的同時還能培養(yǎng)他們的創(chuàng)造精神。由于概念教學在整個數學教學中起著舉足輕重的作用，我們應重視在數學概念教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。引入是概念教學的第一步，也是形成概念的基礎。概念引入時教師要鼓勵學生猜想，即讓學生依據已有的材料和知識作出符合一定經驗與事實的推測性想象，讓學生經歷數學家發(fā)現新概念的最初階段。牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現?！辈孪胱鳛閿祵W想象表現形式的最高層次，屬于創(chuàng)造性想象，是推動數學發(fā)展的強大動力。因此，在概念引入時培養(yǎng)學生敢于猜想的習慣，是形成數學直覺，發(fā)展數學思維，獲得數學發(fā)現的基本素質，也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的重要因素。

比如，在立體幾何中異面直線距離的概念，傳統(tǒng)的方法是給出異面直線公垂線的概念，然后指出兩垂足間的線段長就叫做兩條異面直線的距離。教學可以先讓學生回顧一下過去學過的有關距離的概念，如兩點之間的距離，點到直線的距離，兩平行線之間的距離，引導學生思考這些距離有什么特點，發(fā)現共同的特點是最短與垂直。然后，啟發(fā)學生思索在兩條異面直線上是否也存在這樣的兩點，它們間的距離是最短的？如果存在，應當有什么特征？于是經過共同探索，得出如果這兩點的連線段和兩條異面直線都垂直，則其長是最短的，并通過實物模型演示確認這樣的線段存在，在此基礎上，自然地給出異面直線距離的概念。這樣做，不僅使學生得到了概括能力的訓練，還嘗到了數學發(fā)現的滋味，認識到距離這個概念的本質屬性。

2. 挖掘概念的內涵與外延，理解概念

新概念的引入，是對已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有些概念由于其內涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。如三角函數的定義，經歷了以下三個循序漸進、不斷深化的過程：（1）用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數的定義；（2）用點的坐標表示的銳角三角函數的定義；（3）任意角的三角函數的定義?？梢?，三角函數的定義在三角函數教學中可謂重中之重，是整個三角部分的奠基石，它貫穿于與三角有關的各部分內容并起著關鍵作用。“磨刀不誤砍柴工”，重視概念教學，挖掘概念的內涵與外延，有利于學生理解概念。

3. 尋找新舊概念之間聯(lián)系，掌握概念

數學中有許多概念都有著密切的聯(lián)系，如平行線段與平行向量，平面角與空間角，方程與不等式，映射與函數等，在教學中應善于尋找，分析其聯(lián)系與區(qū)別，有利于學生掌握概念的本質。再如，函數概念有兩種定義：一種是初中給出的定義，是從運動變化的觀點出發(fā)，其中的對應關系是將自變量的每一個取值，與唯一確定的函數值對應起來；另一種高中給出的定義，是從集合、對應的觀點出發(fā)，其中的對應關系是將原象集合中的每一個元素與象集合中唯一確定的元素對應起來。從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，而函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，函數可用圖像、表格、公式等表示，所以高中用集合與對應的語言來刻畫函數，抓住了函數的本質屬性，更具有一般性。認真分析兩種函數定義，其定義域與值域的含義完全相同，對應關系本質也一樣，只不過敘述的出發(fā)點不同，所以兩種函數的定義，本質是一致的。當然，對于函數概念真正的認識和理解是不容易的，要經歷多次接觸的、較長的過程。

4. 運用數學概念解決問題，鞏固概念

數學概念形成之后，通過具體例子，說明概念的內涵，認識概念的“原型”，引導學生利用概念解決數學問題和發(fā)現概念在解決問題中的作用，是數學概念教學的一個重要環(huán)節(jié)，此環(huán)節(jié)操作的成功與否，將直接影響學生的對數學概念的鞏固，以及解題能力的形成。例如，當我們學習完“向量的坐標”這一概念之后，進行向量的坐標運算，提出問題：已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別是，試求頂點的坐標。學生展開充分的討論，不少學生運用平面解析幾何中學過的知識（如兩點間的距離公式、斜率、直線方程、中點坐標公式等），結合平行四邊形的性質，提出了各種不同的解法，有的學生運用共線向量的概念給出了解法，還有一些學生運用所學過向量坐標的概念，把點的坐標和向量的坐標聯(lián)系起來，巧妙地解答了這一問題。學生通過對問題的思考，盡快投入到新概念的探索中，從而激發(fā)了學生的好奇心以及探索和創(chuàng)造欲望，使學生在參與的過程中產生內心的體驗和創(chuàng)造。除此之外，教師通過反例、錯解等進行辨析，也有利于學生鞏固概念。

總之，要做好數學概念的教學，使學生透徹地、牢固地掌握數學概念是提高數學教學質量的關鍵所在，數學教師首先應該認識到數學概念教學和加強數學基礎知識教學，培養(yǎng)學生運用數學知識解決實際問題的能力，以及發(fā)展學生邏輯思維和空間想象能力的關系，在思想上重視它，這樣使我們在教學時會目的明確、方法正確，既不會造成為概念而教學，也不會在數學教學時顧此失彼。

（作者單位：遼寧省盤錦市盤山縣高級中學 124100）