突出概念建構(gòu)，關(guān)注思維培養(yǎng)

楊帆

摘 要：“直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況”這一知識(shí)點(diǎn)，在教材中起著承上啟下的作用。本文探討的重點(diǎn)是如何引入并深刻理解線面垂直的定義，并通過(guò)直觀感受，操作確認(rèn)得到直線與平面垂直的判定定理。

關(guān)鍵詞：線線垂直；任意；線面垂直；相交

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）12-079-1

一、課堂實(shí)錄

1.創(chuàng)設(shè)情境，建構(gòu)定義

回顧舊知，引入課題

[問(wèn)題1] 直線和平面有幾種位置關(guān)系？

[問(wèn)題2] 在這些圖中，有沒(méi)有直線與平面相交的位置關(guān)系呢？

[問(wèn)題3] 你怎么判斷直線與平面垂直的呢？

師生活動(dòng)：讓學(xué)生舉例生活中有哪些線面相交的位置關(guān)系，并為最特殊的一種線面相交命名，并讓學(xué)生利用手中的工具擺出“線面垂直”的情形，學(xué)生能初步說(shuō)出自己如何判斷“線面垂直”。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)操作、聯(lián)想、感知“線面垂直”是線面相交的一種特殊情況，并讓學(xué)生直觀感受判斷線面垂直的方法。學(xué)生初步錯(cuò)誤判斷只要一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則直線垂直于平面。

2.創(chuàng)設(shè)情境，啟發(fā)定義

情境 請(qǐng)同學(xué)們觀察比薩斜塔圖片。

[問(wèn)題4] 為什么感覺(jué)斜塔是斜的？

[問(wèn)題5] 那地面上有沒(méi)有一條直線與比薩斜塔垂直呢？

[問(wèn)題6] 那“不斜”，也就是“垂直”的判斷標(biāo)準(zhǔn)是什么？

[問(wèn)題7] “所有”直線是指哪些直線呢？

師生活動(dòng)：借助“比薩斜塔”的“斜”從反面啟發(fā)定義，請(qǐng)學(xué)生刻畫(huà)出斜塔與地面不垂直的原因，體會(huì)到“線面垂直”的特征。

設(shè)計(jì)意圖：“比薩斜塔”的“斜”是因?yàn)榈孛嫔峡梢哉业揭粭l直線與它不垂直，而“不斜”則是在平面內(nèi)找不到一條直線與已知直線不垂直，即平面內(nèi)所有直線都與已知直線垂直。從而得知之前學(xué)生的判斷“如果一條直線與平面內(nèi)一條直線垂直，那么這條直線垂直于平面”是不精確的。

3.認(rèn)識(shí)定義，鞏固深化

[問(wèn)題8] 請(qǐng)你給“直線與平面垂直”下個(gè)定義。

思考：

（1）如果一條直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直，那么這條直線垂直于平面嗎？

（2）如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線嗎？

師生活動(dòng)：辨析定義，提出“能用‘所有與‘無(wú)數(shù)替換‘任意嗎？”；通過(guò)討論問(wèn)題“如果一條直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直，那么它與平面垂直嗎？”，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)定義，體會(huì)定義中“雙向敘述”的功能。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)關(guān)鍵詞“任意”的分析，讓學(xué)生深刻體會(huì)到“無(wú)數(shù)”并不等價(jià)于“所有”，這個(gè)辨析過(guò)程也為判定定理做了鋪墊。

定義中既體現(xiàn)了由“線線垂直可以定義線面垂直”，同時(shí)也體現(xiàn)了“線面垂直可以得到線線垂直”——即平面的垂線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，這也是判定線線得垂直的方法之一。

二、操作驗(yàn)證，感知判定

[問(wèn)題9] 在實(shí)際操作中，你如何判定一條直線與平面垂直？

師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)在平面內(nèi)找任意一條直線與已知直線垂直并不好操作，從而激發(fā)學(xué)生尋求判定線面垂直的新方法。讓學(xué)生思考討論，請(qǐng)多個(gè)學(xué)生給出判定直線與平面垂直的方法。師生共同討論，根據(jù)已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，排除錯(cuò)的判定方法，猜想正確的方法。學(xué)生能夠猜想到：一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線就可以得到這條直線垂直于這個(gè)平面。

設(shè)計(jì)意圖：用定義直接判定直線與平面垂直是十分困難的，因?yàn)殡y以做到對(duì)平面內(nèi)每一條直線都一一檢驗(yàn)，所以有必要尋求一個(gè)便捷的判定方法，從而引發(fā)學(xué)生思考。

三、確認(rèn)猜想，形成定理

1.操作試驗(yàn)

師生活動(dòng)：學(xué)生帶著猜想，通過(guò)實(shí)驗(yàn)：“（1）怎樣將一本書(shū)立在桌面上，使得書(shū)脊能與桌面垂直？這樣的書(shū)至少需要幾頁(yè)呢？（2）將手中的練習(xí)紙折疊，折痕滿足什么條件，折痕與桌面垂直？”進(jìn)行動(dòng)手操作，確認(rèn)猜想。

設(shè)計(jì)意圖：直線與平面垂直的判定定理不需要證明，只需要通過(guò)生活中的實(shí)例，直觀感知并操作確認(rèn)，學(xué)生更容易接受。

2.形成判定

師生活動(dòng)：由學(xué)生總結(jié)線面垂直的判定定理，并用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表示“直線與平面垂直”的判定定理。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)試驗(yàn)操作確認(rèn)，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受的同時(shí)進(jìn)行理性思考，最終形成定理。接著要求學(xué)生用三種語(yǔ)言表示它，認(rèn)識(shí)定理。

[問(wèn)題10] 與直線與平面垂直的定義相比，判定定理的優(yōu)越性在哪里？

[問(wèn)題11] 現(xiàn)在判斷線面垂直有哪些方法？這兩種方法有什么共同點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感悟到由“無(wú)限化為有限”的思想方法。通過(guò)問(wèn)題11，讓學(xué)生體會(huì)“線面垂直化為線線垂直”，“降維轉(zhuǎn)化”的思想方法。

四、例題講解，鞏固新知

[問(wèn)題12] 在正方體ABCDA1B1C1D1中，求證：（1）AC⊥平面BDD1。（2）求證：AC⊥BD1。

師生活動(dòng)：學(xué)生分析條件以及要證明的結(jié)論，合理選擇方法，教師板書(shū)示范解題過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)生歸納。

設(shè)計(jì)意圖：利用所學(xué)知識(shí)解決直線與平面垂直的有關(guān)問(wèn)題，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在解決問(wèn)題中的應(yīng)用。

五、小結(jié)回授，感悟數(shù)學(xué)

[問(wèn)題13] 本節(jié)課你學(xué)會(huì)了哪些判斷直線與平面垂直的方法？試用自己理解的語(yǔ)言敘述。

[問(wèn)題14] 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計(jì)意圖：以問(wèn)題討論的方式進(jìn)行小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用自己理解的語(yǔ)言對(duì)問(wèn)題進(jìn)行質(zhì)疑和概括。