讓學(xué)生在“做”中感悟數(shù)學(xué)魅力

王迎軍

平面圖形的面積計算屬于“幾何與圖形”的范疇，是“幾何與圖形”中的重點內(nèi)容，是學(xué)習(xí)立體圖形表面積和體積的基礎(chǔ)。這部分教學(xué)內(nèi)容與其他相比，更容易激起學(xué)生對數(shù)學(xué)情感的體驗，可以使學(xué)生在“做”的過程中，通過動手實踐獲得豐富的感性認(rèn)識，理解數(shù)學(xué)知識的形成和發(fā)展，掌握數(shù)學(xué)思想和方法，體驗成功和創(chuàng)造的樂趣，感悟數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力。

一、平面圖形面積計算的教學(xué)現(xiàn)狀

新課程改革給課堂教學(xué)帶來了勃勃生機(jī)，“平面圖形的面積計算”教學(xué)同樣在新課程理念的引領(lǐng)下注入了新的活力，但也存在著一些低效化和形式化的問題。

（一）目標(biāo)定位模糊

教師過度強(qiáng)調(diào)雙基，過分關(guān)注學(xué)生知識的接受、技能的訓(xùn)練，主張“練中學(xué)”和“熟能生巧”。在平面圖形的面積計算教學(xué)時，重結(jié)論，輕推導(dǎo)過程；重機(jī)械學(xué)習(xí)，輕主動建構(gòu)；重公式的識記，輕知識的理解和情感體驗。絕大多數(shù)學(xué)生的解題活動建立在對公式的機(jī)械記憶和例題的簡單模仿上，對所學(xué)的內(nèi)容一知半解，缺乏對面積公式含義的真正理解，倘若題目稍加變化，常常感到束手無策、不知所云。

（二）探索有形無實

探索學(xué)習(xí)是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要方式，它對激發(fā)學(xué)生的求知欲，促進(jìn)學(xué)生獨立思考和創(chuàng)新意識的形成，作用無疑是明顯的。但在教學(xué)中，有些教師為了追求課堂教學(xué)所謂的“高效率”，整齊劃一地讓學(xué)生準(zhǔn)備好動手操作的學(xué)具，并按老師的詳盡提示進(jìn)行，學(xué)生不需要靜心思考、用心體會，就能輕而易舉地得出結(jié)論。如《三角形的面積計算》一課中的教學(xué)設(shè)計：教師先復(fù)習(xí)長方形、正方形、平行四邊形的面積計算公式，再讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的兩個完全一樣的三角形拼一拼，并問學(xué)生發(fā)現(xiàn)了什么。學(xué)生通過擺拼一致發(fā)現(xiàn)可以拼成一個平行四邊形。然后比較三角形與平行四邊形各部分的關(guān)系，順利地得出了三角形的面積=平行四邊形的面積÷2=底x高÷2。這樣的操作活動有意義嗎？這樣的探索有效嗎？答案是否定的。這樣的操作只是學(xué)生配合教師做了一次“操作工”，這樣的探究流于形式，動手與動腦脫節(jié)，沒有激發(fā)學(xué)生的思維功能，只會給學(xué)生帶來思維上的情性。

（三）過度追求“活動化”

新課程提出要賦予學(xué)生更多自主活動、實踐活動、親身體會的機(jī)會。有的教師片面認(rèn)為現(xiàn)在的課堂就是讓學(xué)生積極動手實踐、討論交流，只要學(xué)生動起來就發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，平面圖形的面積計算教學(xué)，教師大多讓學(xué)生借助學(xué)具的操作來推導(dǎo)出面積計算公式，這是合理的、正常的。當(dāng)前的教學(xué)活動中，有的是隨意、膚淺的，純粹是為活動而活動。如一位教師在教學(xué)圓的面積計算公式時先讓學(xué)生拿出各自準(zhǔn)備好的大小不同的圓形紙片，要求四人小組合作，把它轉(zhuǎn)化為已學(xué)的圖形。這樣剪那樣拼，學(xué)生們忙忙碌碌，教室里熱熱鬧鬧，不知不覺過去10多分鐘，但學(xué)生并沒有像老師希望那樣轉(zhuǎn)化為近似的平行四邊形或長方形。此類的操作活動，教師追求的是“活動”的表面化、形式化，教師缺乏明確的活動指向，缺少有效的點撥指導(dǎo)，教學(xué)目標(biāo)難以達(dá)成，操作活動也就失去固有的價值。

二、平面圖形面積計算的教學(xué)策略

平面圖形的面積包括：長方形的面積、正方形的面積、平行四邊形的面積、梯形的面積、三角形的面積、組合圖形的面積、圓的面積。由于這部分內(nèi)容生動有趣、充滿想象，且聯(lián)系現(xiàn)實生活緊密，適合學(xué)生動手操作和進(jìn)行富有意義的推理活動，形成從現(xiàn)實生活到數(shù)學(xué)知識再回到現(xiàn)實生活的過程。在這個過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、驗證和推理等一系列數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生在探究活動中獲得經(jīng)驗，在交流合作中得出結(jié)論，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和個性的發(fā)展。下面結(jié)合這部分內(nèi)容的教學(xué)實踐，談幾點具體做法。

（一）理清脈絡(luò)，讓學(xué)生在推導(dǎo)中學(xué)會轉(zhuǎn)化

在小學(xué)階段，平面圖形的面積計算分三個學(xué)段來完成的，第一學(xué)段：長方形、正方形的面積，第二學(xué)段：平行四邊形、三角形和梯形的面積，第三學(xué)段：圓的面積。長方形的面積計算是其他平面圖形面積計算的基礎(chǔ)，后繼的面積計算公式都是在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)而成的。我們了解了教材的編排體系，理清了知識脈絡(luò)，教學(xué)時要重視以下兩方面的教學(xué)。

1.夯實長方形的面積計算的起始課教學(xué)。長方形的面積計算教學(xué)對其他平面圖形的面積具有積極的指導(dǎo)價值，對于長方形的面積公式不能僅僅理解為長與寬的積，更重要的是要深刻挖掘長方形面積計算最本質(zhì)的內(nèi)容：借助數(shù)方格或擺小方塊（面積單位）讓學(xué)生積累足夠的感性認(rèn)識；通過長、寬與面積的單位個數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合對應(yīng)思想、幾何推理等數(shù)學(xué)思想方法，總結(jié)提煉出長方形的面積=長x寬。這樣安排能充分讓學(xué)生經(jīng)歷公式的形成過程，感悟知識的來龍去脈，同時為以后面積計算教學(xué)的有效遷移打下了基礎(chǔ)。

2.在公式推導(dǎo)中形成“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想?！稗D(zhuǎn)化”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的基本思想，也是解決數(shù)學(xué)問題最普遍的一種思想方法。在進(jìn)行平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積計算教學(xué)時，要力求與已有的知識建立聯(lián)系，實現(xiàn)新舊知識間的轉(zhuǎn)化。例如“平行四邊形的面積計算”教學(xué)，學(xué)生在深索面積計算公式時，會比較容易想到把平行四邊形轉(zhuǎn)化為已學(xué)的圖形（長方形或正方形）。但如何“轉(zhuǎn)化”并不簡單，因為“拉動”和“剪拼”均可轉(zhuǎn)化成長方形，而“拉動”得到的長方形，面積發(fā)生了改變，也就不能以此來推導(dǎo)面積計算公式。因此，在推導(dǎo)公式的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生真正理解“轉(zhuǎn)化”的含義，即“積不變”的前提下，“轉(zhuǎn)化”才有效。這種“轉(zhuǎn)化”思想可以貫穿“平面圖形的面積計算”的教學(xué)的三個階段，在面積公式推導(dǎo)中讓學(xué)生逐步形成“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在問題解決過程中，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣和滿足感。

（二）提供素材，讓學(xué)生在操作中積累經(jīng)驗

心理學(xué)家布魯納曾說過：兒童的思維從動作開始的。根據(jù)小學(xué)生的思維特征和認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要經(jīng)歷從具體到抽象，從感性到理性，逐步認(rèn)識和理解的過程。平面圖形的面積計算教學(xué)，要使學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中加深對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的認(rèn)識，教師需要為學(xué)生提供充足的感性材料，引導(dǎo)學(xué)生開展“數(shù)一數(shù)”“畫一畫”“剪一剪”“擺一擺”“拼一拼”等一系列的操作活動，豐富學(xué)生的感性認(rèn)識，為學(xué)生進(jìn)行對比、分析、綜合、判斷與推理等數(shù)學(xué)活動提供有力的支撐，讓學(xué)生在親歷數(shù)學(xué)活動的過程中積累一些有價值的經(jīng)驗。

例如在教學(xué)《梯形的面積》時，教師首先問學(xué)生：你們會怎樣去研究梯形的面積計算方法？因為有了平行四邊形和三角形的面積公式推導(dǎo)的啟示，學(xué)生自然而然地想到：將梯形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形。接著教師讓學(xué)生拿出預(yù)先準(zhǔn)備好的操作活動素材：直角梯形和一般梯形的紙板，要求通過擺拼、割補(bǔ)等方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由于學(xué)生的思維層次和空間觀念不同，剪拼的方法和次數(shù)各不一樣，最終在學(xué)生的合作和教師針對性的指導(dǎo)下，將梯形進(jìn)行了有效轉(zhuǎn)化。

方法一：將兩個完全相同的梯形拼成平行四邊形或長方形。

方法二：把一個梯形沿著中位線剪或兩個梯形，再拼成平行四邊形。

通過比較梯形與轉(zhuǎn)化成的平行四邊形（或長方形）各部分關(guān)系后，得出梯形的面積計算公式也就水到渠成。平面圖形的面積公式推導(dǎo)離不開學(xué)生的動手操作，梯形的面積計算公式推導(dǎo)正是通過學(xué)生的具體操作活動，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀經(jīng)驗的積累，使新知與已有知識建立起緊密的聯(lián)系，從而加深學(xué)生對梯形面積計算公式的理解。

（三）問題驅(qū)動，讓學(xué)生在探索中發(fā)展思維

問題是數(shù)學(xué)的心臟，是引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究活動的紐帶。它可以促進(jìn)學(xué)生更好地經(jīng)歷問題的解決過程，引導(dǎo)學(xué)生更深入地思考問題、解決問題。平面圖形的面積計算教學(xué)，離不開學(xué)生的動手操作，更離不開問題的驅(qū)動，否則難以誘發(fā)和激起學(xué)生的求知欲，更不可能激發(fā)學(xué)生的求異思維和創(chuàng)新思維。這部分內(nèi)容教學(xué)，教師可結(jié)合學(xué)生的實踐操作活動，創(chuàng)設(shè)問題情境，精心設(shè)計問題，激發(fā)學(xué)生的探究意識，讓學(xué)生在思考中活動，在活動中體悟。

例如“圓的面積計算”教學(xué)，由于有了前面平面圖形的面積計算公式的推導(dǎo)基礎(chǔ)，學(xué)生已經(jīng)具備了探究經(jīng)驗，將圓也要轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形。但將圓如何轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形，如何理解“化曲為直”是教學(xué)的關(guān)鍵點和難點。按直接擺拼的方法將幾個圓拼在一起得不到已學(xué)的平面圖形，學(xué)生就會選擇剪拼的方法，但如何剪拼，這需要教師設(shè)計有效問題進(jìn)行針對性的啟發(fā)引導(dǎo)。

教師：平行四邊形的面積計算公式推導(dǎo)的關(guān)鍵是沿著特殊的線段一高剪開后拼成一個長方形的，那么圓是否也能沿著特殊的線段來剪開呢？（沿著圓的直徑剪開）

學(xué)生將剪開后的兩個半圓怎么拼也拼不出已學(xué)過的平面圖形，教師讓學(xué)生小組合作繼續(xù)剪拼，當(dāng)學(xué)生沿著半圓的對稱軸剪開后拼成的圖形仍然不是已學(xué)的圖形時，探究活動陷入了困境，這時教師給予學(xué)生適當(dāng)?shù)狞c撥，要求學(xué)生重復(fù)剛才的做法繼續(xù)剪拼。學(xué)生通過剪拼發(fā)現(xiàn)平均分后的任意一小份都近似于一個三角形。

教師：請大家回憶三角形的面積計算公式推導(dǎo)過程，你能將平分后近似的小三角形拼成什么樣的圖形？

學(xué)生知道兩個完全一樣的三角形可以拼成平行四邊形，于是將這些小三角形一正一反地擺拼，就拼成了一個近似的平行四邊形。接著教師借助多媒體演示，將圓平均分成16份、32份、64份……得到一個個近似的平行四邊形。

教師：圓等分的份數(shù)多少與拼成近似的平行四邊形有怎樣的聯(lián)系？（均分成的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近平行四邊形）

教師：如果把圓無限等分下去，拼成的將是什么樣的圖形呢？（長方形）

最后教師引導(dǎo)學(xué)生找出圓轉(zhuǎn)化前后圖形的聯(lián)系，比較長方形的長與圓的周長的關(guān)系、長方形的寬與圓的半徑的關(guān)系，歸納總結(jié)出圓的面積計算公式。在圓的面積計算教學(xué)中，教師通過設(shè)置一個又一個問題，借助學(xué)生的動手操作和多媒體課件演示，引導(dǎo)學(xué)生主動探究，讓學(xué)生體會“將圓轉(zhuǎn)化成長方形”的全過程，感受“化曲為直”極限思想在轉(zhuǎn)化過程中的作用，落實了教學(xué)重點，突破了教學(xué)難點，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

以上是我對平面圖形的面積計算教學(xué)的現(xiàn)狀分析和教學(xué)策略上的幾點思考。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情，有效的設(shè)計數(shù)學(xué)探究活動，引導(dǎo)學(xué)生“做”數(shù)學(xué)，通過動手實踐、自主探索、合作交流等途徑，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，體會數(shù)學(xué)思想，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。