如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)

吳亞婷

【摘要】 數(shù)學(xué)公式掌握的好與否牽涉到中學(xué)生整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建和深化. 本文剖析初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式所存在的問題，并結(jié)合實(shí)際案例《平方差公式》，設(shè)計(jì)操作活動(dòng)，提出四點(diǎn)有利于初中生理解數(shù)學(xué)公式本質(zhì)的策略：1.讓學(xué)生在動(dòng)手操作中發(fā)現(xiàn)公式模型；2.讓學(xué)生出題構(gòu)造公式，深化公式理解；3.代數(shù)意義與幾何解釋雙管齊下，多角度理解公式；4.提供公式變式，讓學(xué)生在應(yīng)用中理解公式.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)公式；公式變形；公式構(gòu)造；多角度

一、數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)的重要性

（一）數(shù)學(xué)公式的概念

數(shù)學(xué)公式是人們?cè)谘芯孔匀唤缥锱c物之間時(shí)發(fā)現(xiàn)的一些聯(lián)系，并通過一定的方式表達(dá)出來的一種表達(dá)方法. 是表征自然界不同事物之?dāng)?shù)量之間的或等或不等的聯(lián)系，它確切的反映了事物內(nèi)部和外部的關(guān)系，是我們從一種事物到達(dá)另一種事物的依據(jù)，使我們更好的理解事物的本質(zhì)和內(nèi)涵.

（二）數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)的重要性

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)公式是非常重要的，俗話說，千里之行始于足下，如果學(xué)生要在數(shù)學(xué)領(lǐng)域遠(yuǎn)行千里，那么數(shù)學(xué)公式就是“足下”，是遠(yuǎn)行的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn). 同時(shí)，數(shù)學(xué)公式掌握的好與壞牽涉到中學(xué)生整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu)和深化. 數(shù)學(xué)知識(shí)環(huán)環(huán)緊扣，互相聯(lián)系緊密，只有在深刻理解數(shù)學(xué)公式的基礎(chǔ)上，學(xué)生才能將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，靈活應(yīng)用.

二、初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式所存在的問題

（一）學(xué)生淺層記憶公式

初中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式的時(shí)候偏向于記憶公式，但是對(duì)公式的本質(zhì)意義理解層次低. 如在記憶平方差公式（a + b）（a - b） = a2 -b2時(shí)，學(xué)生開口就直念a加b乘以a減b等于a的平方減b的平方，只是淺層次記憶公式的表達(dá)式，但是當(dāng)公式換個(gè)字母或者換種形式，部分學(xué)生就不知如何處理了.

（二）在公式變式后無法辨認(rèn)公式模型

公式的應(yīng)用非常靈活，但是靈活的應(yīng)用必須是建立在學(xué)生深刻理解公式本質(zhì)特征的基礎(chǔ)之上，如處理在平方差公式中產(chǎn)生的

符號(hào)變形（-a + b）（-a - b） = a2 - b2，

位置變形（-b + a）（a + b） = a2 - b2，

項(xiàng)數(shù)變形（a + b + c）（a + b - c） = （a + b）2 - c2，

指數(shù)變形（a2 + b2）（a2 - b2） = （a2）2 - （b2）2時(shí)，學(xué)生就容易一片混亂，無法在各種變形中辨認(rèn)出平方差公式，因?yàn)閷W(xué)生并沒有理解平方差公式“字母的可變、結(jié)構(gòu)不變”這一本質(zhì)特征.

三、在具體應(yīng)用中無法抽象出公式模型

很多數(shù)學(xué)問題的解決需要學(xué)生分析問題條件，根據(jù)條件特征，去主動(dòng)構(gòu)造公式進(jìn)行問題解決，但是很多學(xué)生沒有辦法在具體應(yīng)用中抽象出公式的模型. 如進(jìn)行10002 × 9998的簡便運(yùn)算，很多學(xué)生就直接死算，構(gòu)造不出（10000 + 2） × （10000 - 2）. 主要原因是學(xué)生心中對(duì)公式就只有一個(gè)符號(hào)概念，沒有現(xiàn)實(shí)中的意義解釋.

四、以《平方差公式（1）》為例，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)

（一）設(shè)計(jì)操作活動(dòng)，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中發(fā)現(xiàn)公式模型

如在新知引入中，我設(shè)置了一個(gè)動(dòng)手操作活動(dòng)

（1）現(xiàn)在有兩個(gè)數(shù)，不知其大小，請(qǐng)你隨意用兩個(gè)字母來表示這兩個(gè)數(shù).

（2）請(qǐng)求這兩個(gè)數(shù)的和與差的乘積

（3）請(qǐng)思考：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積等于什么？

這一活動(dòng)沒有要求具體用什么字母，隨機(jī)抽取幾名同學(xué)到黑板上根據(jù)指示進(jìn)行操作，再抽取臺(tái)下的學(xué)生回答，這個(gè)環(huán)節(jié)可以突破平方差公式“字母可變，結(jié)構(gòu)不變”的本質(zhì)特征，它是兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的乘積，結(jié)果為兩數(shù)的平方差. 學(xué)生自己動(dòng)手操作，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)的公式模型，遠(yuǎn)比老師自上而下灌輸?shù)男Ч?

（二）讓學(xué)生出題構(gòu)造公式，深化公式理解

在“我出題我驕傲”環(huán)節(jié)里，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)因式，使下列式子可以運(yùn)用平方差公式（2a + b）. 根據(jù)構(gòu)建主義的學(xué)習(xí)觀，學(xué)習(xí)不是知識(shí)由教師向?qū)W生的傳遞，而是學(xué)生建構(gòu)自己的知識(shí)的過程. 學(xué)生不是被動(dòng)的信息吸收者，而是意義的主動(dòng)建構(gòu)者，這種建構(gòu)不可能由其他人代替. 學(xué)習(xí)是個(gè)體建構(gòu)自己的知識(shí)的過程，這意味著學(xué)習(xí)是主動(dòng)的，學(xué)生不是被動(dòng)的刺激接受者，他要對(duì)外部信息做主動(dòng)的選擇和加工. 因此在這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，給學(xué)生提供了一個(gè)主動(dòng)構(gòu)建的平臺(tái)，學(xué)生可以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的主動(dòng)整合和構(gòu)建，對(duì)公式的理解就會(huì)達(dá)到更深的層次.

（三）代數(shù)意義與幾何解釋雙管齊下，多角度理解公式

教學(xué)設(shè)計(jì)中在代數(shù)推導(dǎo)之后，添加了一個(gè)幾何解釋環(huán)節(jié)，利用給出的圖形對(duì)平方差公式進(jìn)行驗(yàn)證.

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生常把代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)自動(dòng)隔離，認(rèn)為這是兩個(gè)截然不同的兩個(gè)知識(shí)模塊，在理解代數(shù)公式的時(shí)候，認(rèn)為就是符號(hào)的變換，不具有實(shí)際意義. 但實(shí)際上數(shù)學(xué)的很多公式都可以用圖形進(jìn)行解釋和驗(yàn)證，并且學(xué)習(xí)和理解數(shù)形結(jié)合的思想方法有利于學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之路走得更遠(yuǎn)，特別是解析幾何的學(xué)習(xí).

此外，多角度理解代數(shù)公式的意義，有利于學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)背景問題，如義賣活動(dòng)前期，陳老師提出，把咱班邊長為x米的正方形場地，一邊增加5米，另一邊減少5米，我們?cè)摯饝?yīng)嗎？學(xué)習(xí)了平方差公式的幾何意義后，學(xué)生解決這個(gè)問題就輕而易舉.

（四）提供公式變式，讓學(xué)生在應(yīng)用中理解公式

（1）20002 - 1998 × 2002

（2）2000 × 1999 × 1997

（3）542 - 462 + 772 - 232

（4）502 - 492 + 482 - 472 + … + 22 - 12

（5）（3 - 1）（3 + 1）（32 + 1）（34 + 1）

（6）（2 + 1）（22 + 1）（24 + 1）（28 + 1）（提示 2 - 1 = 1）

在教學(xué)設(shè)計(jì)的最后一個(gè)環(huán)節(jié)看，我設(shè)計(jì)了一個(gè)速算奧秘揭曉環(huán)節(jié)，這個(gè)環(huán)節(jié)是對(duì)平方差公式的變形應(yīng)用. 正用、逆用、變用是應(yīng)用公式的三個(gè)層次，正用是理解公式后所達(dá)到的基礎(chǔ)層次，逆用是掌握知識(shí)后的靈活應(yīng)用，而變用則是學(xué)習(xí)公式后的創(chuàng)造性應(yīng)用. 在這個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)中層層遞進(jìn)，給學(xué)生鋪設(shè)腳手架，讓學(xué)生在應(yīng)用中深入理解公式，達(dá)到應(yīng)用公式的最高層次.

【參考文獻(xiàn)】

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