“化歸”方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

李玉萍 張金諾

【摘要】化歸方法是一種用來研究數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題的重要方法，是數(shù)學(xué)基本思想方法之一.化歸方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用主要有化未知為已知，化數(shù)為形，化實際問題為數(shù)學(xué)問題等三個方面.此外本文通過典型例題對化歸方法做了進(jìn)一步的說明，意在培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識，提高轉(zhuǎn)化能力，掌握化歸的方法.

【關(guān)鍵詞】化歸；教學(xué)應(yīng)用；數(shù)學(xué)思想

【基金項目】河南省教育廳課程改革研究項目 （2016-JSJYZD-072）

化歸即轉(zhuǎn)化和歸結(jié)，化歸思想方法簡稱化歸方法，就是在處理問題時把待解決的問題或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題.從方法論的角度看，化歸思想方法是用一種聯(lián)系、發(fā)展、運(yùn)動變化的觀點(diǎn)來認(rèn)識問題，通過對原問題的轉(zhuǎn)換，使之成為另一問題.它們的科學(xué)概括就是數(shù)學(xué)解決問題的基本思想方法——“化歸”.

那么使用“化歸”的思想方法原因何在呢？首先數(shù)學(xué)的嚴(yán)密邏輯性的特點(diǎn)，使得化歸方法順理成章地成為數(shù)學(xué)解決問題的基本思想方法.這是因為數(shù)學(xué)的嚴(yán)密邏輯性決定了數(shù)學(xué)論證大多是使用演繹邏輯推理論證.其次數(shù)學(xué)的符號化、形式化特征為化歸方法的使用提供了便利條件.因為符號化、形式化的東西變換轉(zhuǎn)化起來較自由、容易.從一定意義上講，數(shù)學(xué)證明的實質(zhì)就是指明化歸的方向和目標(biāo).此外，數(shù)學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)為數(shù)學(xué)化歸提供了可能性.客觀事物的普遍聯(lián)系性、矛盾的對立統(tǒng)一相互轉(zhuǎn)化性為化歸方法提供了哲學(xué)基礎(chǔ).因此在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要特別注意化歸思想方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識.

一、“化歸”方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

所謂“化歸”可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思，數(shù)學(xué)方法論中所論及的“化歸方法”，是指把待解或未解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)成一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題之解答的一種手段和方法.

1.“化歸”方法在代數(shù)應(yīng)用中的體現(xiàn)

化歸的本質(zhì)就是采用迂回曲折的途徑從未知到已知、從難到易、從復(fù)雜到簡

單的轉(zhuǎn)化.中學(xué)數(shù)學(xué)幾乎處處貫穿著化歸思想，如未知向已知轉(zhuǎn)化、特殊向一般轉(zhuǎn)化、高次向低次轉(zhuǎn)化、多元向一元轉(zhuǎn)化等等都是化歸與轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).分式方程、無理方程和簡單的高次方程是一元一次方程、一元二次方程的引申.下面以有理方程和無理方程的化歸為例做解釋.

例1 解方程6x4-25x3+12x2+25x+6=0.

解 將原方程變形為6x-1[]x2-25x-1[]x+24=0，令x-1[]x=y，將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程6y2-25y+24=0去求解.

進(jìn)一步地，解無理方程就是將方程兩邊同時平方或利用換元法，把無理方程化為有理方程來求解.解分式方程、高次方程、無理方程，其實質(zhì)就是不斷地通過適當(dāng)變形，把原方程化歸為最簡單的方程的過程.因此，化歸思想是有理方程、無理方程中思維活動的主導(dǎo)思想，化歸方法在數(shù)學(xué)問題解決中具有十分重要的意義.

2.“化歸”方法在幾何應(yīng)用中的體現(xiàn)

幾何中化歸思想的產(chǎn)生歷史源遠(yuǎn)流長.可以這樣說，幾何的每一個命題都是由在它之前的某些命題通過演繹推理得到的，這樣一直歸結(jié)到某些不需證明的初始命題為止.幾何是一門演繹的科學(xué)，在它的系統(tǒng)中存在著公理—結(jié)論A—結(jié)論B—結(jié)論C……這樣一個結(jié)論鏈.我們可以通過這樣一個結(jié)論鏈簡便解題過程，提高解題速度.

例2 試研究平面上n條直線至多能把平面分成多少塊？

解 設(shè)f（n）為n條直線分割平面的最大塊數(shù)，依次檢驗f（1），f（2），f（3），有

f（1）=2，

f（2）=4，

f（3）=7.

分析f（1），f（2）的關(guān)系：f（2）比f（1）多兩塊，原因是兩條直線相交得一個交點(diǎn)，該點(diǎn)把一條直線分成兩段，每一段把原平面一分為二，即f（2）=f（1）+2，

分析f（3）與f（2）也有類似情況：

f（3）=f（2）+3，

于是猜想有：f（n）=f（n-1）+n

=f（n-2）+（n-1）+n

=…

=f（1）+2+3+…+（n-1）+n

=n2+n+2[]2.

最后尚需證明這一結(jié)論是正確的，對此問題用數(shù)學(xué)歸納法即可.

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，類似上例用歸納推理方法尋求規(guī)律，探索求解目標(biāo)的問題比較多，教材中關(guān)于等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式就是用歸納推理得到的.

3.“化歸”方法與其他方法的有效結(jié)合

但是在許多情況下為實現(xiàn)化歸過程，不僅要有分解，還要有組合，數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)注意將“化歸”與其他數(shù)學(xué)思想方法有效結(jié)合起來，如將歸納、聯(lián)想、類比、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等思想綜合運(yùn)用，最終更好地掌握和理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)創(chuàng)造能力.

二、“化歸”方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用的技巧

我們在運(yùn)用化歸的思想方法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時還要注意一些問題，如：熟悉化和模型化、簡單化和具體化、特殊化和一般化等.

1.熟悉化和模型化

熟悉化就是把學(xué)生感到陌生的問題通過變形化歸成比較熟悉的問題，從而使學(xué)生能夠充分認(rèn)知已有的知識和經(jīng)驗，從而使問題得到解決.

例3 解方程x3-1-2x2-2=0.

思考與分析 這是一個以x為未知數(shù)的一元三次方程，顯然我們對三次方程的解法是比較陌生的，而對一次或二次的解法則比較熟悉.因此，我們自然希望能把它化歸為若干個一次或二次方程來處理.注意到原方程的特點(diǎn)，可以看出：若把x看作“已知數(shù)”，而把2看作“未知數(shù)”，則原方程便可看作關(guān)于2的“二次方程”.

將陌生問題化歸為熟悉問題或某個統(tǒng)一的模式，從而達(dá)到解決問題的目的是一個極其重要的化歸原則.但是這一原則沒有定法可依，完全依靠在平時解題時，把已經(jīng)解過的習(xí)題進(jìn)行分類、歸納，并熟記一些解重要題型的具體方法.這樣，經(jīng)過日積月累的長期實踐，我們就自然能夠掌握這一原則.

2.簡單化和具體化

簡單化就是把復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化為簡單的形式，使其中的數(shù)量關(guān)系和空間形式更加明朗和具體，從而找到問題的突破口.所謂具體化就是將抽象的問題，轉(zhuǎn)化為具體、直觀的問題來解決.很多數(shù)學(xué)問題的各種信息高度濃縮和抽象，如果我們繼續(xù)沿著“抽象化”的路子走下去，往往走入迷宮.如果我們在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中改變方向，從新的角度、新的觀念出發(fā)，把問題中的各種概念之間的關(guān)系具體明確，就會使問題輕而易舉地得到解決.

3.特殊化和一般化

在教學(xué)過程中，對于一時難以入手的一般問題，一個使用最普遍而又較為簡單易行的化歸途徑，乃是把它向特殊的形式轉(zhuǎn)化，這就是特殊化法.而這種方法有兩種類型：一是從簡單情形入手，作為解決一般問題的突破口；二是從特殊對象入手（包括著眼于極端情形），為求解一般問題奠定基礎(chǔ).數(shù)學(xué)問題的特殊化，可以通過數(shù)目的減少，數(shù)值范圍的縮小，維數(shù)的降低，元數(shù)的減少，任意圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形等手段來實施.而特殊元素的選擇，往往是中點(diǎn)、端點(diǎn)、定值、零值、垂直、平行、特殊的數(shù)和行等.

與特殊化的途徑相反，在對一般形式問題比較熟悉的情況下，將特殊形式的問題轉(zhuǎn)化一般形式的問題，這就是一般化法.這種方法是通過找出特殊問題的一般原理，把特殊問題從原有范圍擴(kuò)展到包含該問題的更大范圍來進(jìn)行思考，從而使得我們能夠在更一般、更廣闊的領(lǐng)域中使用更靈活的方法去尋求化歸的途徑.

例4 試比較10012001與2001！的大小.

這道題可以直接證明，但是我們通過考慮它的一般情況來證明更為簡便.首先，觀察后可以發(fā)現(xiàn)，1001=2001+1[]2，將其一般化后，問題轉(zhuǎn)化為比較n+1[]2n與n！的大小，聯(lián)想不等式即得所需結(jié)果.

從教育的角度來看，數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識更為重要.因為數(shù)學(xué)知識是定型的、靜態(tài)的，而思想方法則是發(fā)展的、動態(tài)的，知識的記憶是暫時的，思想方法的掌握是永久的，知識只能使學(xué)生受益一時，思想方法將使學(xué)生受益終身.增強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)比知識的傳授更為重要，數(shù)學(xué)思想方法的掌握對任何實際問題的解決都是有利的.因此數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).

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