建構(gòu)模型 融入思想

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年）》新增加了三個(gè)關(guān)鍵詞，之一就是“模型思想”，并指出“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑、建立和求解模型可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí). ” “模型思想”成為新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)明顯亮點(diǎn)，人們對(duì)其內(nèi)涵、組成、教育意義等都進(jìn)行了深入的探討.

但如何在實(shí)際教學(xué)中幫助學(xué)生有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、融入模型思想，仍值得研究. 本文略提幾點(diǎn)想法，求教于大家.

一、直觀感知——建模的土壤

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是自我探索、體驗(yàn)建構(gòu)的過(guò)程. 教者提供豐富的感性材料，學(xué)生動(dòng)手做一做，拼一拼. 活動(dòng)中學(xué)生的思維具有很大的空間，他們手腦并用，在操作中思維，在思維中操作，在直觀形象與抽象概括之間架起了數(shù)學(xué)模型的橋梁，以促使新的知識(shí)內(nèi)化成認(rèn)知結(jié)構(gòu). 案例 《圓的面積》

（一）七次剪拼

1. 學(xué)生操作學(xué)具

先是分成2等分，發(fā)現(xiàn)拼不起來(lái)，再等分成4等份，發(fā)現(xiàn)拼成的圖形有點(diǎn)平行四邊形的輪廓（如下圖1）. 接著引導(dǎo)學(xué)生操作學(xué)具將圓平均分成等分成8等份、16等份，再試著拼一拼，發(fā)現(xiàn)拼成的圖形接近平行四邊形. （如下圖2）.

2. 電腦演示

等分成了32份、64份、128份，學(xué)生發(fā)現(xiàn)竟然越來(lái)越接近長(zhǎng)方形了. 有了這樣的體會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生想象如果等分成無(wú)限份再拼的話，會(huì)怎樣呢？學(xué)生肯定地說(shuō)，拼成的圖形就是長(zhǎng)方形了. 從不像，到有點(diǎn)輪廓，有點(diǎn)像，更像，最后到簡(jiǎn)直就是長(zhǎng)方形、就是長(zhǎng)方形，學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)產(chǎn)生和形成時(shí)艱難的探索過(guò)程.

（二）觀察比較

師：請(qǐng)大家觀察圓與長(zhǎng)方形，你發(fā)現(xiàn)了什么呢？

生①：長(zhǎng)方形的長(zhǎng) = 圓周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方形的寬 = 圓的半徑

生②：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)用字母表示πr，寬用r表示.

生③：長(zhǎng)方形面積 = 圓的面積，圓的面積 = 長(zhǎng)方形面積 = πrr = πr2

學(xué)生經(jīng)歷圓面積的推導(dǎo)過(guò)程，獲取廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并將這些直觀經(jīng)驗(yàn)形成的表象深深地印在腦中，推導(dǎo)出圓面積的數(shù)學(xué)模型. 思維是從動(dòng)作開始的，教學(xué)中，盡量讓學(xué)生多動(dòng)手操作，化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，化抽象為具體，增強(qiáng)學(xué)生感知覺(jué)的敏感度. 形象的支撐，土壤的“滋潤(rùn)”，建模水到渠成，思想趨向生成.

二、歸納抽象——建模的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)模型構(gòu)造過(guò)程的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)，在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，面臨各種問(wèn)題，能用數(shù)學(xué)的眼光、從數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、歸納、抽象等思維方法發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，分析和解決問(wèn)題. 數(shù)學(xué)思維的過(guò)程和動(dòng)態(tài)促成了模型思想的穩(wěn)定滲透. 抽象概括是形成概念，得出規(guī)律的關(guān)鍵性手段，也是建立數(shù)學(xué)模型最為重要的思維方法. 在充分觀察、積累“厚實(shí)”的基礎(chǔ)上，從許多數(shù)學(xué)事實(shí)或數(shù)學(xué)現(xiàn)象中舍去個(gè)別的，非本質(zhì)的屬性，而抽象出共同的本質(zhì)屬性，構(gòu)建現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.

案例 《正比例的意義》

例1：一輛汽車每小時(shí)行50千米，行1小時(shí)、2小時(shí)、3小時(shí)……各行了多少千米？所行的路程和時(shí)間有什么關(guān)系？

例2：一種圓珠筆，枝數(shù)和總價(jià)如下表.

學(xué)生總結(jié)出關(guān)系式：

■ = 速度（一定） ■ = 單價(jià)（一定）

學(xué)生概括出成正比例的量的含義.

師：你能不能用一種關(guān)系式，把成正比例的兩種量表示出來(lái)呢？

學(xué)生展示自己創(chuàng)造出的各種關(guān)系式，最后統(tǒng)一概括成：

如果用字母x和y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，正比例關(guān)系就可以用下面的式子表示：■ = k（一定）

可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，正是以一個(gè)抽象概括方式建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，是“具體問(wèn)題——數(shù)學(xué)問(wèn)題——符號(hào)模型”的過(guò)程. 它舍去了與數(shù)無(wú)關(guān)的具體情節(jié)，把反映數(shù)學(xué)問(wèn)題的“本質(zhì)特征”抽取出來(lái)，用關(guān)系式概括，形成數(shù)學(xué)模型，以便于后面學(xué)習(xí)中有效地進(jìn)行解釋、應(yīng)用. 當(dāng)我們以抽象概括的思維方法來(lái)審視小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的許多數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)，貌似不同的數(shù)學(xué)情景的背后，往往具有相同的思維模型. 因此抽象、概括，可以加深學(xué)生對(duì)事物本質(zhì)的把握，形成一般化、形象化的認(rèn)識(shí)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.

三、應(yīng)用拓展——建模的靈魂

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，運(yùn)用多種方法、形式建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，但學(xué)習(xí)不能總是依賴?yán)蠋煹摹耙保季S不能僅僅停留在這個(gè)層面上，建構(gòu)模型更應(yīng)是一種自覺(jué)行為，一種內(nèi)心需求. 教學(xué)中，教者應(yīng)該適時(shí)退出去，搭建平臺(tái)，放手讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，讓構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的程序、方法成為學(xué)生的一種學(xué)習(xí)思想. 從具體問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型后，建模并未終結(jié). 還要變換問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)模型再應(yīng)用到豐富的、典型的實(shí)際問(wèn)題中，以此來(lái)深化模型的內(nèi)涵，拓展模型的外延.

案例 《常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系》

1. 學(xué)生得出了數(shù)學(xué)模型：速度×?xí)r間=路程

2. 師：我們來(lái)回顧二年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

（師出示：4個(gè)盤子，每盤有3個(gè)蘋果）

師：可以列出怎樣的算式？哪個(gè)數(shù)據(jù)相當(dāng)于速度？哪個(gè)數(shù)據(jù)相當(dāng)于時(shí)間……

（師出示：用磚砌成的墻）

師：什么相當(dāng)于速度？什么相當(dāng)于時(shí)間、路程？

師：是不是還有些數(shù)量也是這種“一乘兩除”的關(guān)系？

（師出示：?jiǎn)蝺r(jià)、數(shù)量、總價(jià)）

師：它們之間是什么關(guān)系？學(xué)生回答.

師：這些都是二年級(jí)學(xué)習(xí)的乘法問(wèn)題. 打個(gè)比方：乘法是個(gè)筐，好多東西里面裝！

【課件出示：（ ） × （ ） = （ ）】

學(xué)習(xí)不僅僅是局限于一個(gè)問(wèn)題、一類問(wèn)題的解答，而應(yīng)在解決問(wèn)題中體會(huì)數(shù)學(xué)的模型思想. 思考至此，接下來(lái)的教學(xué)應(yīng)“乘勝追擊”.

建立了行程問(wèn)題的模型后，教者并未罷手，進(jìn)行了類比抽象，將一系列“一乘兩除”的問(wèn)題歸之于乘法，對(duì)乘法模型進(jìn)行了適度的生成、拓展、與重塑，由此派生出新的數(shù)學(xué)模型.

從具體問(wèn)題中抽象出基本的數(shù)學(xué)模型，在解釋應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生自主探究、遷移類推，學(xué)會(huì)創(chuàng)造性地建模、探索性地變模，舉一反三，隨著一個(gè)個(gè)問(wèn)題的提出和解決，不但使學(xué)生深化對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解、把握與構(gòu)建，也使學(xué)生自然地養(yǎng)成從不同的問(wèn)題情境中找出統(tǒng)一結(jié)構(gòu)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)觀念. 以“不變應(yīng)萬(wàn)變”，加深學(xué)生對(duì)事物本質(zhì)的把握，使得學(xué)生學(xué)會(huì)抓住數(shù)學(xué)的模型思想這個(gè)“靈魂”，在以后的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)思考、善于思考，學(xué)會(huì)有效地去創(chuàng)造新知識(shí)，使他們適應(yīng)未來(lái)的學(xué)習(xí)和發(fā)展.

數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，重要的是學(xué)會(huì)探求模式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 模式可以模仿，更可以創(chuàng)新. 建模中，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)模型“動(dòng)態(tài)”的、鮮活的形成過(guò)程，在活動(dòng)中獲得了“靜止”的、形式化的數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想和方法，也就可能使學(xué)生日后在面對(duì)不熟悉的問(wèn)題情境乃至數(shù)學(xué)學(xué)科以外的現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，像數(shù)學(xué)家那樣進(jìn)行“模型化”的處理，讓“模型思想之花”處處開放.