分位回歸理論及應(yīng)用研究

何曉申

摘 要：分位數(shù)回歸（QR）是給定變量，估計響應(yīng)變量條件分位數(shù)的一種基本方法。它不僅可以度量回歸變量在分布中心的影響，還可以度量在分布上尾和下尾的影響，當(dāng)存在左偏或右偏時，分位回歸的系數(shù)估計會更穩(wěn)定，更能體現(xiàn)出分析的全面特征。因此，較之經(jīng)典的最小二乘回歸（OLS）具有獨特的優(yōu)勢。據(jù)此，對分位數(shù)回歸的理論、分位數(shù)回歸漸進性質(zhì)、似然比檢驗、分位數(shù)回歸置信區(qū)間及應(yīng)用進行深入研究。

關(guān)鍵詞：分位回歸；最小二乘法；漸進性質(zhì)；似然比檢驗

中圖分類號：F224 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2016）16-0006-02

引言

傳統(tǒng)的線性回歸模型中最小二乘回歸應(yīng)用最為廣泛。它描述的是因變量條件均值分布受自變量X的影響過程。如當(dāng)模型的數(shù)據(jù)存在嚴重的異方差或厚尾時，最小二乘估計將不再具有優(yōu)良性質(zhì)。Laplace[1]第一次提出了中位數(shù)回歸估計。在此基礎(chǔ)上，Koenker[2]將中位數(shù)回歸推廣到分位數(shù)回歸。分位數(shù)回歸可以捕捉到分布的尾部特征，分位回歸能更加全面地刻畫分布的特征從而得到全面的分析[3]，而且分位回歸系數(shù)比最小二乘回歸系數(shù)估計更穩(wěn)健。

一、分位回歸理論

定義：分位數(shù)回歸的線性模型為y=X'β+ε，其中y為隨機變量，x為解釋變量向量，ε為誤差項。定義樣本的τ分位數(shù)函數(shù)為Qy（τ|x）=X'β（τ），可以進一步寫作：

其中τ∈（0，1），β為系數(shù)向量，不同的τ會估計出不同的系數(shù)。當(dāng)τ=0.5時，上式意味著最小化絕對離差[4]，也就是中位數(shù)回歸。分位回歸本質(zhì)就是通過不同的分位數(shù)τ來調(diào)節(jié)回歸平面，對數(shù)據(jù)進行完整的描述但是側(cè)重于極端數(shù)據(jù)。

二、分位數(shù)回歸的漸近性

假設(shè)一列獨立同分布的隨機變量Y1，Y2，…，Yn，其分布函數(shù)F在分位點的鄰域內(nèi)具有恒大于零的連續(xù)密度函數(shù)f，gn（ξ）為梯度函數(shù)，τ分位數(shù)的目標函數(shù)ξτ。

三、分位回歸似然比檢驗

如果約束條件成立，則約束模型與非約束模型的極大似然函數(shù)值應(yīng)該近似相等。在條件分位數(shù)回歸模型y=X'β+ε中，ε獨立同分布，其密度函數(shù)為f，Basset[5]對中位數(shù)回歸進行了似然比檢驗。原假設(shè)為H0∶Rβ=r

原假設(shè)成立時Tn漸近服從χ2（q）分布，推廣到τ分位數(shù)回歸的檢驗統(tǒng)計量為：

四、置信區(qū)間

在隨機誤差項獨立同分布且分布已知的情況下，由似然比檢驗統(tǒng)計量的分布可以很容易求出回歸分位數(shù)的置信區(qū)間。但當(dāng)隨機誤差分布未知時，我們就不能通過直接估計法來求得置信區(qū)間。對于這種情況，Efon[6]提出了自助法，自助法是根據(jù)經(jīng)驗分布函數(shù)是總體分布函數(shù)的充分估計量來進行置信區(qū)間估計的。

五、實證研究

我們利用R軟件自帶Engel數(shù)據(jù)集來研究家庭收入與食物支出的關(guān)系。Engel數(shù)據(jù)集可在quantrey包中找到，其中數(shù)據(jù)集包含235個觀測值，共有兩個變量：income——家庭收入連續(xù)變量自變量；foodexp——家庭食物支出連續(xù)變量因變量。

（一）異方差情形下的QR與OLS

我們得到最小二乘法估計的線性模型：Y=150.37+0.48X，

t統(tǒng)計量值為33.74，R2=0.83，F(xiàn)=1 138.11，White檢驗，TR2=

176.11>χ2 0.05=6，存在異方差。

由表1可知，隨τ取值逐漸變大，自變量X的回歸系數(shù)β也逐漸增大，變化范圍在0.34～0.71之間，全距0.37。在0.05分位數(shù)上，每增加1個單位的X，Y增加0.34單位，而在0.95分位數(shù)上，每增加1個單位的X，Y增加0.71單位。因變量Y由低水平到高水平，自變量X所起的作用越來越大。

（二）同方差情形下的QR與OLS

克服異方差的方式有很多，本文利用取對數(shù)法，得到兩個新變量。普通最小二乘法估計的線性模型為：LnY=0.57+

0.85LnX，t統(tǒng)計量值為41.99，R2=0.88，F(xiàn)=1 763.58，τ值取不同值時，回歸方程和曲線（如表2所示）。隨著τ取值逐漸變大，自變量X的回歸系數(shù)β并沒有發(fā)生顯著的變化，無論因變量LnY處于哪一水平，增加一個單位自變量LnX，都會使LnY增加0.85單位左右的大小。

結(jié)論

通過以上實例可以看出，分位數(shù)回歸可視為普通最小二乘法的有益補充。當(dāng)普通最小二乘法的前提假設(shè)不能滿足時，分位數(shù)回歸則提供了一種新的統(tǒng)計方法和視野。通過對因變量分布的不同部分進行研究，挖掘出更多有用的信息，從而更真實、準確地反映自變量與因變量之間的相互關(guān)系。