為減法和除法鳴“冤”

雷有利

中圖分類號：G623.5 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）18-0114-02

多的來，我一直在思考兩個問題，一個是減法是建立在加法的基礎(chǔ)上嗎？另一個則是除法是建立在乘法的基礎(chǔ)上嗎？從三十多年的教學(xué)實踐上看，這兩個問題的答案都應(yīng)該是否定的。

減，本義：減少，由全體中去掉一部分，減，縮也——《說文》；減，少也——《廣雅》。減法，《現(xiàn)代漢語詞典》解釋為：數(shù)學(xué)中的一種基本的運算方法，最簡單的是數(shù)的減法，即從一個數(shù)中去掉另一個數(shù)的計算方法。

從教學(xué)實踐上看，無論是家長還是教師，都是教學(xué)生5中去掉了3，用減法5-3，也許你會問，5中去掉一個數(shù)后得3，求這個數(shù)，你會怎么教？那你可以給學(xué)生講：5中去掉得的這個數(shù)后，會得什么數(shù)？學(xué)生一定會說去掉得的這個數(shù)后會得到原來去掉的那個數(shù)，所以仍然可以理解為從一個數(shù)中去掉另一個數(shù)。

除，有去掉、改變、不計算在內(nèi)的意思。除法，《現(xiàn)代漢語詞典》解釋為：“數(shù)學(xué)中的一種運算方法，最簡單的是數(shù)的除法，即從一個數(shù)中連減相同的數(shù)的簡便算法，如從10中減去相同的數(shù)2，總共可以減去5個，就是10除以2，或者說是2除10”。但各種版本的教材很少有用減法來定義除法的，如人教社義教版《小學(xué)數(shù)學(xué)教科書》在二年級用“平均分”和“包含除”兩種形式介紹并引入除法，在四年級給除法下了一個“準(zhǔn)確”的定義，那就是“已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算”；而人教社課標(biāo)版在第一、二學(xué)段均未對除法及其他運算方法給出完整的定義，但在除法意義教學(xué)方面有重大突破，首先，是介紹“同樣多”以及“平均分”，其次，以“乘船”以及“拿筷子”滲透“包含除”，最后，在《用2-6的乘法口訣求商》時，以小猴分桃為例，較為詳細(xì)地用減法闡述除法的真正含義，這是一個重大進步。

有人說“平均分”與“包含除”是除法的兩種不同的表現(xiàn)形式，但我認(rèn)為這完全可以歸為一種形式，那就是“求一個數(shù)里有多少個另一個數(shù)，用除法計算”。如“將15個桃平均放在3個盤子里，每個盤子放幾個？”從學(xué)生的實際操作上看，先拿出3個桃將每個盤里放上一個，再拿出3個桃給每個盤里放上一個，又拿出3個桃給每個盤里放上一個……直至將15個桃分完。這難道不是求15里有多少個3嗎？寫成減法算式：15-3-3-3-3-3=0，每個盤里放上了5個一，即5個，所以，將15個桃平均放在3個盤里，每個盤子放5個。

在一年級下冊（未學(xué)乘、除法時），我曾經(jīng)給學(xué)生出示過一道開放題：8里面有幾個2，怎么計算？全班50個學(xué)生中，寫成8=2+2+2+2的占18%；寫成2+2+2+2=8的占6%；寫成8-2-2-2-2=0的占52%；寫成2祝？）=8的占4%；寫成8？=4的占6%，寫成8鰨？）=2的占2%；有12%的學(xué)生不能動筆，后來發(fā)現(xiàn)寫成乘法算式和除法算式的學(xué)生都學(xué)過乘、除有關(guān)的知識。我們班有一個好的習(xí)慣，那就是學(xué)生善于動手操作，我隨機叫個寫成8-2-2-2-2=0的學(xué)生說說理由：“我先拿了8根小棒放在桌面上，每次拿走2根，一共拿出了4個2根，所以，根據(jù)這個操作過程，算式應(yīng)該是8-2-2-2-2=0（根），所以，8里面有4個2。到二年級下冊學(xué)過《除法的初步認(rèn)識》后，同樣的問題我又拋給了學(xué)生，大部分學(xué)生寫成了8？=4（個），我特地抽了一個一年前寫成減法算式的學(xué)生，一年前你寫的減法算式，現(xiàn)在為什么要寫成除法算式？他的回答是：“寫成8？=4比寫成8-2-2-2-2=0簡便得多，所以，我認(rèn)為除法是減數(shù)相同的減法的簡便算法，跟乘法是加數(shù)相同的加法的簡便算法一個道理”。

人教社義教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材把減法定義為：“已知兩個數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的計算”。這樣學(xué)生會普遍認(rèn)為：先有和，后有差；先有加，再有減。這樣就把加、減關(guān)系定義成了從屬關(guān)系，而非并列關(guān)系。難怪不少學(xué)生在解“10只鳥飛走了3只，還剩幾只？”時，寫成10=3+（7），并很有道理地解釋為：“因為減法的定義是由加法得來的，所以所有減法內(nèi)容都可以寫成加法的形式”。如果是這樣，世界就只有生，而沒有死；只有正，而沒有負(fù)；只有合，而沒有分。顯然，這些現(xiàn)象都是不存在的，所以，加減法的關(guān)系應(yīng)該是“平行”的，而不是從屬的。

如何正確認(rèn)識四則運算間的關(guān)系，是當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)值得深思的一個問題。首先，加法和減法是一切運算的起源，所有高級運算以及信息技術(shù)原理都是在它們的基礎(chǔ)上建立起來的，若沒有這兩種運算，則其他的所有運算都不會存在，所以，有運算“第一級”之稱，又稱“基級”。兩者的關(guān)系可概括為“既相互依賴，又互相獨立；既相互對立，又互相統(tǒng)一”，是“基本運算”這一事物的兩個方面。其次，乘法和除法在運算大家庭中處于“承上啟下“的地位。我們知道加法的簡算創(chuàng)造了乘法，乘法的簡算創(chuàng)造了乘方等；減法的簡算創(chuàng)造了除法，除法的簡算創(chuàng)造了負(fù)指數(shù)冪等。

加法和減法是互逆運算，從數(shù)量關(guān)系的角度講，已知分量與分量求總量，用加法計算；已知總量與分量求另一分量，用減法計算；從計算的本質(zhì)特征上看，求加數(shù)用減法計算，求被減數(shù)用加法計算。乘法和除法同樣互為逆運算，從數(shù)量關(guān)系的角度講，已知每份數(shù)與份數(shù)求總數(shù)，用乘法計算；已知總數(shù)與每份數(shù)（或份數(shù)）求份數(shù)（或每份數(shù)），用除法計算；從計算的本質(zhì)特征上看，求乘數(shù)（或因數(shù)）用除法計算，求被除數(shù)用乘法計算，如：一個因數(shù)=積髁硪桓鲆蚴懷？商壯K腦蛟慫愕目捎梅叫甕技右悅枋觶？

從上圖可知：除法是特殊減法的簡便算法，減法是除法的原始算法；同理，乘法是特殊加法的簡便算法，加法是乘法的原始算法；加法、減法為第一級運算，是所有運算的“發(fā)源地”；乘法、除法為第二級運算，是更高級運算的“跳板”。至于減法與乘法以及加法與除法的關(guān)系請編輯與同行賜教。

我想，教師在教學(xué)活動中，既不能迷信教材，也不能脫離教材，要適當(dāng)?shù)馗母锝滩模?chuàng)造性地使用教材，要敢于向“權(quán)威”說“No”，爭取做“研究型”或“學(xué)者型”教師。