基于“無套利分析法在期權(quán)定價中”的教學探討

胡芳

摘 要 期權(quán)作為一種衍生的金融工具，在套期保值、套利與投機中均可發(fā)揮一定的作用，特別是，個股期權(quán)在我國已經(jīng)看展仿真交易。運用無套利均衡分析法給期權(quán)定價是金融工程學的重點內(nèi)容，但現(xiàn)行的教材大多是直接給出一個組合，沒有進行具體闡述，讓很多學生無法理解。所以通過對定價過程進行全面的分析，以加強學生對期權(quán)定價和無套利分析法的深刻理解。

關(guān)鍵詞 無套利均衡分析法 期權(quán) 金融工程

中圖分類號：G624.41 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）19-0002-02

金融工程，是一門新興的交叉學科，是一門集金融、數(shù)學、工程、計算機等多學科、多專業(yè)的復合型學科?，F(xiàn)在很多金融學專業(yè)、金融工程專業(yè)、金融數(shù)學等相關(guān)專業(yè)都開設(shè)了這門課程。衍生產(chǎn)品的定價是其金融工程的重要內(nèi)容之一，而其理論價格是投資者參與套期保值、套利和投機的依據(jù)。 無套利均衡分析，作為金融工程的基本分析方法，是金融衍生產(chǎn)品定價的核心技術(shù)，其實質(zhì)就是簡單、基本的現(xiàn)金流復制技術(shù)。運用無套利均衡分析法給期權(quán)定價是金融工程教學中的一個重點但同時也是一個難點，大部分教材在講這一塊時，都沒有講的很清楚，只是簡單地給出一個構(gòu)建的組合，比如給歐式看漲期權(quán)定價，就可以構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和一定單位的標的股票多頭，這樣就可以給期權(quán)定價了。這讓很多學生無所適從。因此需要對無套利均衡分析法在期權(quán)定價中的運用的教學設(shè)計做全面的分析，讓學生一目了然地掌握期權(quán)的定價，同時培養(yǎng)構(gòu)造、創(chuàng)新的思想。

一、無套利均衡分析法的基本思想

金融產(chǎn)品在市場的合理價格是這個價格使得市場不存在無風險套利機會，這就是無套利定價原理。無套利，簡而言之，金融市場不存在套利機會，也即金融市場是有效的。在有效的金融市場如果存在相應的套利機會，也非常短暫，套利者就可以構(gòu)造相應的套利組合實施套利，原來價格高的賣的人多了，價格回落。原來價格低的買的人多了，價格上升。所以套利行為的實施使得市場又重新回到無套利均衡狀態(tài)。因此，不存在無風險套利機會是金融產(chǎn)品定價是否合理的根本依據(jù)。而我們所要尋求的金融資產(chǎn)的合理價格，也就是這個金融產(chǎn)品的價格應該是使得市場上不存在任何套利的機會。

所以，無套利均衡分析法，簡單地理解為，作為定價者唯一要確定的是：當金融市場上其他金融工具價格給定的時候，某種金融工具的價格應該是多少，才使市場中不存在任何套利的機會？

二、傳統(tǒng)的運用無套利均衡分析法給期權(quán)定價時的教學設(shè)計

為了便于表述，我們定義以下符號的含義：f為看漲期權(quán)的價格。下面我們來看一個給歐式看漲期權(quán)定價的實例。

例題1：假設(shè)一只不支付紅利的股票現(xiàn)在的價格是20元，預計3個月后漲到22元或是跌到18元，并且假設(shè)無風險利率為12%，求執(zhí)行價格為21元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。

為了找到該期權(quán)的價值，可以構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和△單位標的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權(quán)到期時無風險，△必須滿足下式：

22△-1=18△，求得△=0.25。由于該組合在期權(quán)到期時其價值恒等于4.5元，因此是無風險組合，其現(xiàn)值為4.37。所以有20？.25-f=4.37，求得f=0.63。

三、對以上歐式期權(quán)定價案例教學設(shè)計的改進

我們要給歐式期權(quán)定價，首先要對期權(quán)這類金融衍生工具其未來的現(xiàn)金流特征進行分析。期權(quán)到期的價值取決于股票未來的漲跌狀況。我們可以畫一個簡單的圖形來看。

在分析了標的股票和期權(quán)到期的現(xiàn)金流狀況以后，接下來我們就要試圖運用無套利均衡分析法給期權(quán)定價。首先通過上述圖形我們發(fā)現(xiàn)，股票和期權(quán)未來價值與其上升狀態(tài)和下跌狀態(tài)有關(guān)。其次，通過對期權(quán)的理解，如果未來股票價格超過其執(zhí)行價格，則期權(quán)可能被執(zhí)行，就有價值，否則，期權(quán)不會被執(zhí)行，作為投資者損失的是少量的期權(quán)費。結(jié)合期權(quán)的特征，以及無套利均衡分析法的關(guān)鍵技術(shù)即“復制技術(shù)”，下面我們就考慮如何復制。因為期權(quán)和標的股票未來都有兩種狀態(tài)也就是未來的現(xiàn)金流不確定，所以一種資產(chǎn)不能完全復制，因此這里還要借助其他的金融工具即無風險資產(chǎn)。兩種狀態(tài)用兩種金融資產(chǎn)就可以進行復制了，接下來我們分別從兩個不同的角度進行復制。

（一）用股票和無風險資產(chǎn)的組合復制看漲期權(quán)

可以構(gòu)造一個與看漲期權(quán)的收益相同的投資組合：x單位股票并投資y元到無風險資產(chǎn)上。首先在期初時刻該組合的現(xiàn)金流是20x+y；在3個月后即到期時刻該組合的現(xiàn)金流分為兩種情況：一是當股價上身到22元時，該組合的現(xiàn)金流為22x+ye0.12？.25；一是當股價下跌到18元時，該組合的現(xiàn)金流為18x+ye0.12？.25。運用無套利均衡的分析方法，如果復制組合與被復制組合的未來損益即現(xiàn)金流相同，則當前的價格應該相等，否則會出現(xiàn)相應的套利行為。所以要保證這兩個組合的終值相等，因此可以得到如下關(guān)系式：

解得x=0.25，y=-4.37，所以持有0.25單位的股票多頭與4.37單位無風險債券空頭的組合與一單位看漲期權(quán)組合的損益相同，則在初期兩個組合的當前價值應相等即：f=20x+y，則有f=0.63。也就是說，當該看漲期權(quán)價格為0.63時，市場上不存在無風險套利機會。

（二）用股票和看跌期權(quán)的組合來復制無風險資產(chǎn)

我們也可以構(gòu)造如下組合：n單位股票和m單位歐式看漲期權(quán)組成復制組合，而被復制組合由一單位無風險資產(chǎn)構(gòu)成。分析該復制組合的現(xiàn)金流特征：在期初時刻該組合的現(xiàn)金流為20n+mc；在期末即到期時刻其現(xiàn)金流也分兩種情況，一是當股價上升到22元時其現(xiàn)金流為22n+m，一是當股價下跌至18元時其現(xiàn)金流為18n，運用無套利均衡的基本思想，保證這兩個組合的終值相等，必須使得以下關(guān)系式成立：

解得n=0.0572，m=0.2288，所以持有0.0572單位的股票多頭與0.2288單位的看漲期權(quán)空頭頭構(gòu)成的組合與無風險債券構(gòu)成的組合的損益相同，即有：1=20n+mf，則有f=0.63。

四、結(jié)論

對于一個有效的金融市場來說，如果市場上存在套利機會，則會有相應的套利活動出現(xiàn)，這時對于投資者來說，如何判斷是否有套利機會，必然涉及到某種金融產(chǎn)品的定價是否合理，從而做出相應的投資活動。通過對無套利均衡分析法的基本思想進行分解，把它簡化為通過復制，找到復制組合與被復制組合。如果復制組合與被復制組合未來的損益相同，則當前的價格應該相等，即“同損益同價格”。所以，通過構(gòu)造不同的組合，都可以幫助投資者對衍生金融產(chǎn)品期權(quán)的市場價格作出一定的判斷，從而做出相應的投資行為，另外在構(gòu)造組合的過程中，也給出了如果存在套利機會，投資者如何套利獲得無風險利潤的方法，這對金融市場的參與者來說有一定的現(xiàn)實意義。

參考文獻：

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