例談全等三角形問題中常見的輔助線的作法

李蓉

【摘 要】“全等三角形的證明”是在初中數(shù)學平面幾何中的重要內(nèi)容之一，是研究圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)，而且在近幾年的中考中都有出現(xiàn)，新課標的要求是“探索并掌握兩個三角形全等的條件”，因此掌握三角形全等的證明及運用方法對初中生來說至關(guān)重要。其證明方法繁多，技巧性強，有一定的通法，所以研究范圍極廣，難度極大.論文整理和歸納了全等三角形問題中常見的輔助線的做法。分別列舉了幾種常用的輔助線的經(jīng)典例題及解析，讓每一種方法兼有理論與實踐性.旨在使學生對全等三角形證明及其應用問題有一個較為深入的了解，進而在解決相關(guān)全等三角形問題時能融會貫通、舉一反三，達到事半功倍的效果。

【關(guān)鍵詞】全等三角形；初中數(shù)學；常見輔助線；中考真題

【全等三角形輔助線做法口訣】

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個角之間的相等。

遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”法構(gòu)造全等三角形.

遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 法構(gòu)造全等三角形.

遇到角平分線的三種添輔助線的方法，①可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。②可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形。③可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。

過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”

已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出一對全等三角形。

特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答。

一、倍長中線（線段）造全等

例1.如圖，已知CB、CD分別是鈍角△AEC和銳角△ABC的中線，且AC=AB，給出下列結(jié)論：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，則以上結(jié)論正確的是（）

A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 答案：A

解題思路：①正確，延長CD至點F，使得DF=CD，連接AF，可先證明△ADF≌△BDC，再證明△ACF≌△BEC，由這兩個三角形全等可以得知②、④正確。由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E，若要∠ACD=∠BCE，則需∠E=∠BCE，則需BC=BE，顯然不成立，故③選項錯誤

二、截長補短（通常用來證明線段和差相等）

截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

例2.已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC.

求證：∠BAD+∠BCD=180°. 分析：因為平角等于180°，因而應考慮把兩個不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長補短法”來實現(xiàn)。

證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E，作DF⊥BC于點F，如圖1-2

∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，

在Rt△ADE與Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），

∴∠DAE=∠DCF.

又∠BAD+∠DAE=180°，

∴∠BAD+∠DCF=180°，

即∠BAD+∠BCD=180°

例3.已知：如圖4-1，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2.

求證：AB=AC+CD.

分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.

證明：方法一（補短法）

延長AC到E，使DC=CE，則∠CDE=∠CED，如圖4-2

∴∠ACB=2∠E，

∵∠ACB=2∠B，∴∠B=∠E，

在△ABD與△AED中，

∴△ABD≌△AED（AAS），∴AB=AE.

又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.

方法二（截長法）

在AB上截取AF=AC，如圖4-3

在△AFD與△ACD中，

∴△AFD≌△ACD（SAS），∴DF=DC，∠AFD=∠ACD.

又∵∠ACB=2∠B，∴∠FDB=∠B，∴FD=FB.

∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.

上述兩種方法在實際應用中，時常是互為補充，但應結(jié)合具體題目恰當選擇合適思路進行分析。讓掌握學生掌握好“截長補短法”對于更好的理解數(shù)學中的化歸思想有較大的幫助。

三、平移變換

若題目中含有中點可以試過中點作平行線或中位線（平行且等于第三邊的一半），對直角三角形，有時可作出斜邊的中線.

例4、如圖，在?ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：.

解析：先連接AF并延長至G，使FG=AF，其中F是BC的中點，連接GB，GC，GD，GE.可知四邊形ABGC，四邊形ADGE是平行四邊形，延長AD至H，交BG于H.運用三角形的三邊關(guān)系：“兩邊之和大于第三邊”即可進行證明。

證明：連接AF并延長至G，使FG=AF，其中F是BC的中點，連接GB，GC，GD，GE

∵BD=CE

∴DF=EF

∴四邊形ABGC，四邊形ADGE是平行四邊形

∴BG=AC，DG=AE

延長AD至H，交BG于H

∵，

∴

∴

即

點評：本題考查了三角形三邊關(guān)系，將證明邊的大小關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系問題是解題的關(guān)鍵，本題借助輔助線DH起樞紐作用。

方法2：取BC中點M，連AM并延長至N，

使MN=AM，連BN，DN

∵BD=CE∴DM=EM

∴（SAS）

∴DN=AE

同理BN=CA

延長ND交AB于P，則，

相加得：

各減去DP，得：

∴

四、借助角平分線造全等

不管是兩個圖形軸對稱還是軸對稱圖形，我們都不難發(fā)現(xiàn)軸上一點（此點作為頂點）與對應點組成的角被軸平分，方便我們在做題中如果遇到角平分線我們就會聯(lián)想到，以角平分線為軸構(gòu)造對稱（全等），從而把線段、角轉(zhuǎn)移達到解題目的。

例5.如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

（1）如圖②，在?ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖③，在?ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

解：（1）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為（2）答：（1）中的結(jié)論仍然成立。

證法一：如圖1，在AC上截取AG=AE，連結(jié)FG

∵∠1=∠2，AF為公共邊，

∴

∴∠AFE=∠AFG， FE=FG

∵∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線

∴∠2+∠3=60°

∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°

∴∠CFG=60°

∵∠3=∠4及FC為公共邊

∴

∴FG=FD

∴FE=FD

證法二：如圖2，過點F分別作FG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥BC于點H

∵∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線

∴可得∠2+∠3=60°，F(xiàn)?ABC是的內(nèi)心

∴∠GEF=60°+∠1，F(xiàn)H=FG

又∵∠HDF=∠B+∠1

∴ ∠GEF=∠HDF

∴可證

∴ FE=FD

五、通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等

對題目中出現(xiàn)相等的線段有一個公共端點時，可嘗試用旋轉(zhuǎn)法來構(gòu)造全等三角形

例6.（2013·河南）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當點D恰好落在AB邊上時，填空：

①線段DE與AC的位置關(guān)系是 ；②設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是 .

（2）猜想論證

當△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC

中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想.

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，點D是其角平分線上一點，BD=CD=4，DE//AB交BC于點E（如圖4）.

若在射線BA上存在點F，使S△DCF=S△BDE，

請直接寫出相應的BF的長.

【解析】①由旋轉(zhuǎn)可知：AC=DC，∵∠C=90°，∠B=∠E=30°，∴∠A=∠D=60°∴△ADC是等邊三角形，

∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=60°∴DE∥AC

②過D作DN⊥AC交AC于點N，過E作EM⊥AC交AC延長線于M，過C作CF⊥AB交AB于點F。

由①可知：△ADC是等邊三角形，DE∥AC，∴DN=CF，DN=EM，∴CF=EM，∵∠C=90°，∠B=30°，∴AB=2AC，又∵ AD=AC ∴BD=AC

∵ ∴S1=S2

證明∵DCE=∠ACB=90°，∴∠DCM+∠ACE=180°

又∵∠ACN+∠ACE=180°，∴∠ACN=∠DCM

又∵ ∴△ANC≌△DMC∴AN=D又∵CE=CB，∴

【解析】如圖所示，作DF1∥BC交BA于點F1，作DF2⊥BD交BA于點F2。

按照（1）（2）求解的方法可以計算出

全等三角形的證明問題，就其方法而言，沒有定法可套，有較大的靈活性和技巧性，而且全等三角形證明歷來是中學、特別是初中數(shù)學教學的一個重點和難點，本文系統(tǒng)地歸納整理了幾類比較難的全等三角形的證明方法，如若學生在掌握全等三角形的基礎(chǔ)知識以后，能夠靈活應用文中幾類方法和思想，以其為指導，全等三角形問題將能夠迎刃而解，使得解決全等三角形問題時思路清晰，運算簡便.尤其是應用構(gòu)造法，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，在解決一些全等三角形問題時作用很大。