基于有效矩和粒子濾波方法的帶跳躍杠桿SV研究

呂龍　鄧平軍

摘要：隨機(jī)波動(dòng)率（SV）模型的精確似然函數(shù)很難得到而模擬卻很容易實(shí)現(xiàn)，可借助有效矩方法（EMM）完成估計(jì)，但單純的EMM估計(jì)無(wú)法得到波動(dòng)率序列，需要借助濾波算法。本文通過(guò)蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)連續(xù)粒子濾波算法（CSIR）比普通粒子濾波算法精度更高；對(duì)滬深300期貨指數(shù)的實(shí)證分析進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，添加杠桿效應(yīng)后的模型（SVL，SVLJ）能更好地描述滬深300期貨指數(shù)的波動(dòng)情況。

關(guān)鍵詞：有效矩；波動(dòng)率；粒子濾波；半非參數(shù)密度

中圖分類(lèi)號(hào)：F830.59 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

收稿日期：2015-11-02

作者簡(jiǎn)介：呂龍（1986-），男，武漢人，華中科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院博士研究生，研究方向：金融市場(chǎng)和大宗商品市場(chǎng)；鄧平軍（1990-），男，河南信陽(yáng)人，華中科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院博士研究生，研究方向：金融市場(chǎng)。

一、引言

金融市場(chǎng)波動(dòng)率是金融領(lǐng)域的基礎(chǔ)性問(wèn)題，對(duì)資產(chǎn)定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)管理有極其重要的意義，因而一直是研究的熱點(diǎn)之一。長(zhǎng)期以來(lái)，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者們一直致力于找到一種準(zhǔn)確度量市場(chǎng)波動(dòng)率的方法。經(jīng)過(guò)數(shù)十年的發(fā)展，在低頻數(shù)據(jù)上形成了兩大類(lèi)刻畫(huà)波動(dòng)率動(dòng)態(tài)特征的方法：廣義自回歸條件異方差（GARCH）和隨機(jī)波動(dòng)率（SV）模型。GARCH模型盡管“如實(shí)”地反映了波動(dòng)率的“群聚效應(yīng)”且估計(jì)簡(jiǎn)單，但是其波動(dòng)率的路徑完全取決于以往的信息，因而其對(duì)數(shù)據(jù)的擬合能力不如考慮新信息后的SV；另外，SV模型同連續(xù)隨機(jī)模型聯(lián)系緊密，很容易直接應(yīng)用在期權(quán)或其他衍生品定價(jià)上，因而SV模型自誕生以來(lái)就一直為學(xué)術(shù)界所廣泛關(guān)注，尤其在其難點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題上，各種方法層出不窮。例如，Ruiz（1994）將卡爾曼濾波和極大似然估計(jì)結(jié)合，提出偽極大似然估計(jì)（QML）方法；Andersen和Sorensen（1996）將廣義矩（GMM）方法引入SV模型的估計(jì)中，并通過(guò)MC實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其在大樣本下的有效性；Jacquier（1994）將馬爾科夫過(guò)程引入到MC方法中，提出馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法（MCMC）方法，該方法通過(guò)對(duì)參數(shù)后驗(yàn)分布的不斷抽樣來(lái)估計(jì)參數(shù)，以規(guī)避直接求似然函數(shù)所面臨的高維積分問(wèn)題。

MCMC方法在估計(jì)參數(shù)的同時(shí)還可以得到波動(dòng)率序列且具有普通SV框架下易于實(shí)現(xiàn)、不依賴于大樣本、容易進(jìn)行模型診斷等優(yōu)點(diǎn)，因此一經(jīng)提出便迅速得到廣泛應(yīng)用。Meyer和Jun Yu（2000）詳細(xì)介紹了在Winbugs軟件中使用MCMC方法估計(jì)SV模型的流程；Jacquier等（2004）將MCMC的應(yīng)用從普通SV擴(kuò)展到帶杠桿效應(yīng)的SV-t上；Jun Yu（2005）使用MCMC模型估計(jì)了帶杠桿效應(yīng)的SV模型，并對(duì)S&P 500和CRSP指數(shù)做了實(shí)證研究，發(fā)現(xiàn)兩大市場(chǎng)上均存在杠桿效應(yīng)。受到國(guó)外學(xué)者的啟發(fā)，國(guó)內(nèi)學(xué)者也開(kāi)始運(yùn)用MCMC方法估計(jì)SV模型，且很多都直接使用Winbugs軟件，如黃大海（2004）和朱慧明（2007）。然而，MCMC方法盡管有前述的諸多優(yōu)勢(shì)，但依然存在兩個(gè)無(wú)法回避的問(wèn)題：（1）當(dāng)SV模型比較復(fù)雜時(shí)，MCMC的設(shè)計(jì)會(huì)變得異常困難；（2）對(duì)MCMC的使用絕大部分學(xué)者嚴(yán)重依賴于Bugs系列軟件，而這類(lèi)軟件對(duì)于使用者而言簡(jiǎn)直是一個(gè)“黑箱”。相較于MCMC復(fù)雜的抽樣流程，Gallant和Tauchen（1996）綜合SNP和GMM所提出的有效矩（EMM）顯得更為直接。

目前，對(duì)EMM的研究還處在相當(dāng)初級(jí)的階段，具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1） 輔助模型的選擇問(wèn)題。部分文獻(xiàn)即使在非大樣本條件下，也僅僅使用普通的GARCH模型、EGARCH模型作為輔助模型，違背數(shù)據(jù)的真實(shí)特征。（2）波動(dòng)率的估計(jì)問(wèn)題。目前國(guó)內(nèi)凡使用EMM模型研究SV問(wèn)題的，無(wú)一例外僅給出參數(shù)估計(jì)的結(jié)果，卻閉口不提波動(dòng)率序列的估計(jì)（這一情況也部分地存在于使用MCMC之外的其他方法估計(jì)SV的文獻(xiàn)中）。（3） 模型實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。絕大部分應(yīng)用EMM的文獻(xiàn)（包括國(guó)外文獻(xiàn)）在實(shí)證分析部分都嚴(yán)重依賴Gallant等人的C++、Fortan程序包，而這些程序包（至少是早期版本）由于其所采用的優(yōu)化算法的缺陷，常因初值、矩陣不可逆等問(wèn)題跳出。對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，我們嚴(yán)格依照Gallant等學(xué)者提出的方法，依據(jù)BIC準(zhǔn)則選取合適的SNP密度函數(shù)作為輔助模型；對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，我們引入Malik、Pitt和Doucet（2011）提出的連續(xù)粒子濾波（CSIR）來(lái)解決波動(dòng)率的估計(jì)問(wèn)題；針對(duì)最后一個(gè)問(wèn)題，我們使用Matlab 7.0來(lái)自主地實(shí)現(xiàn)本文的全部算法，并在EMM涉及到優(yōu)化的地方運(yùn)用工程領(lǐng)域前沿的Cuckoo Search算法完成尋優(yōu)。

本文后續(xù)結(jié)構(gòu)安排如下：第二部分介紹SVLJ模型，第三、四部分為方法論，詳細(xì)介紹了EMM和CSIR方法，第五部分運(yùn)用SV、SVL和SVLJ三種方法分析了滬深300指數(shù)期貨的波動(dòng)率情況，最后一部分為結(jié)論。

對(duì)于這一復(fù)雜的轉(zhuǎn)移密度，如果采用Jacquier（2003）所提出MCMC分析框架無(wú)疑會(huì)非常復(fù)雜，然而模擬其路徑卻是非常容易的，因此我們選擇有效矩方法來(lái)對(duì)SVLJ模型進(jìn)行估計(jì)。

三、有效矩（EMM）方法

對(duì)于動(dòng)態(tài)非線性模型而言，它一般包含了一些不能被直接觀測(cè)到的變量。SV模型作為一類(lèi)重要的動(dòng)態(tài)非線性模型，也是如此。這種特征使得我們用標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)量方法來(lái)估計(jì)其參數(shù)時(shí)，面臨著諸多難題：由于SV模型中包含了一些不能被直接觀測(cè)到的隱藏變量，這使得我們很難甚至不能寫(xiě)出它的似然函數(shù)，因此直接依賴于它的似然函數(shù)的參數(shù)推斷方法（如極大似然估計(jì)，MLE）等很難實(shí)施，而廣義矩估計(jì)（GMM）方法估計(jì)的有效性依賴于矩條件的選擇，這使得模型估計(jì)的效果會(huì)因?yàn)榫貤l件的選擇在估計(jì)效果上存在很大差異。但是，我們比較容易模擬這類(lèi)動(dòng)態(tài)非線性模型（SV等）的演化路徑。Gallant and Tauchen（1996）基于模擬的方法，提出了估計(jì)動(dòng)態(tài)非線性模型的一種有效方法——有效矩估計(jì)（EMM）：首先，借助于一個(gè)輔助模型（通常是SNP模型）來(lái)刻畫(huà)原始數(shù)據(jù)的特征，通過(guò)一般的極大似然估計(jì)（MLE）來(lái)估計(jì)輔助模型的參數(shù)，進(jìn)而得到輔助模型的轉(zhuǎn)移密度函數(shù)和得分（score）（在EMM模型中稱(chēng)為得分生成算子，score generator），輔助模型的設(shè)定應(yīng)盡可能逼近真實(shí)的數(shù)據(jù)產(chǎn)生過(guò)程；然后，模擬產(chǎn)生所要估計(jì)模型（結(jié)構(gòu)模型）的序列數(shù)據(jù)，通過(guò)輔助模型生成結(jié)構(gòu)模型的矩條件，采用GMM（最小卡方法）方法估計(jì)出結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的估計(jì)值。下面就EMM的實(shí)施過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。

四、粒子濾波算法

相較于模型的參數(shù)估計(jì)，我們更希望得到“隱藏”的波動(dòng)率序列。然而，包括EMM方法在內(nèi)的絕大多數(shù)SV類(lèi)模型的估計(jì)方法都無(wú)法直接得到隨機(jī)波動(dòng)率序列，必須通過(guò)MCMC或?yàn)V波的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。在傳統(tǒng)的工程領(lǐng)域，常使用的濾波方法主要有三種：卡爾曼濾波（KF）、擴(kuò)展的卡爾曼濾波（EKF）和無(wú)跡的卡爾曼濾波（UKF），后兩者是前者的衍生形式?？柭鼮V波雖然操作簡(jiǎn)單易行，但是只能用于線性、高斯的狀態(tài)空間模型，EKF和UKF雖然可以進(jìn)一步擴(kuò)展到非線性的狀態(tài)空間模型，但是仍然局限于高斯觀測(cè)噪聲，且能夠處理的模型形式大多如下：

對(duì)于SV類(lèi)模型這種觀測(cè)噪聲和觀測(cè)值呈非線性形式的模型直接使用上述三種方法顯然存在諸多困難，盡管通過(guò)對(duì)數(shù)處理可以將普通SV轉(zhuǎn)為線性形式，但當(dāng)觀測(cè)噪聲確實(shí)非高斯的、考慮杠桿效應(yīng)和跳躍項(xiàng)之后難度更大。Gordon和Salmond（1993）在序貫重要性采樣（SIS）算法基礎(chǔ)上提出的采樣重要性重采樣濾波器（Sampling Importance Resampling， SIR）比以往濾波算法具有更強(qiáng)的適用性，可以擴(kuò)展到各種非線性、非高斯?fàn)顟B(tài)空間中去。Carpenter（1999）正式提出粒子濾波（Particle Filter， PF）的概念，隨后粒子濾波迅速成為國(guó)內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，學(xué)者們提出了多種粒子濾波方法，我們?cè)诖酥饕隨.Malik和M.K.Pitt（2011，2014）介紹的連續(xù)粒子濾波（CSIR）方法。

（一）連續(xù)粒子濾波

通過(guò)這一改進(jìn)，我們可以直接通過(guò)最優(yōu)化式（11）來(lái)估計(jì)參數(shù)，從而同MCMC和QML方法一樣，參數(shù)估計(jì)和狀態(tài)估計(jì)同時(shí)實(shí)現(xiàn)。然而，這種方法雖然直接、簡(jiǎn)潔，卻耗時(shí)較長(zhǎng)，尤其當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多，且粒子數(shù)目N取較大值（2000，5000）時(shí)，整個(gè)濾波過(guò)程會(huì)非常緩慢。因此，我們用前面介紹的EMM方法估計(jì)參數(shù)，然后在已知參數(shù)向量的情況下用CSIR濾波得到{ht}。

（二）蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)

我們利用SVLJ模型隨機(jī)生成1 000個(gè)數(shù)據(jù)，假設(shè)SVLJ參數(shù)向量θ=[u，φ，ση，ρ，σJ，p]取值為[0.2，0.97，0.16，-0.8，2.5，0.009]，得到模擬的收益率序列、波動(dòng)率序列和收益率跳躍序列如圖1所示。

我們分別使用SIS、SIR和CSIR三種算法來(lái)對(duì)波動(dòng)率序列進(jìn)行估計(jì)，以便合理地評(píng)價(jià)三種算法的效果。每種算法下濾波波動(dòng)率和真實(shí)波動(dòng)率的誤差平方和SSE、均方根誤差RMSE和擬合優(yōu)度R-square如表1和圖2所示。

從表1的計(jì)算結(jié)果和圖2可以看出，SIS算法的效果最差，該算法下的濾波結(jié)果基本無(wú)法反映波動(dòng)率序列的真實(shí)情況；其次是SIR算法，雖然少數(shù)樣本點(diǎn)上對(duì)真實(shí)波動(dòng)率的擬合較差，但是基本反映了真實(shí)波動(dòng)率的變化趨勢(shì)，整體效果要遠(yuǎn)高于SIS算法；表現(xiàn)最好的是CSIR算法，其和真實(shí)波動(dòng)率的偏差要遠(yuǎn)小于前兩種算法。

五、 實(shí)證分析

本文將第一部分介紹的帶有帶跳躍項(xiàng)的杠桿SV模型（SVLJ）、杠桿SV和普通SV用于實(shí)證，分析滬深300指數(shù)期貨收益率的波動(dòng)，以進(jìn)一步比較三種模型的優(yōu)劣。我們選取滬深300指數(shù)期貨的日收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)為樣本數(shù)據(jù)，樣本區(qū)間為2011/01/04-2014/03/17，共計(jì)772個(gè)觀測(cè)值。對(duì)樣本取對(duì)數(shù)收益率yt=100*[Log（pt）-Log（pt-1）]，其中pt是收盤(pán)價(jià)（數(shù)據(jù)來(lái)源：Wind資訊）。圖3給出了上述樣本區(qū)間的收盤(pán)價(jià)和收益率序列圖，表2給出了收益率序列的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

在使用EMM估計(jì)之前，需要首先確定SNP密度的各項(xiàng)階數(shù)。根據(jù)Gallant和Tauchen（2002）的方法，我們利用BIC準(zhǔn)則來(lái)依次確定AR項(xiàng)、ARCH項(xiàng)、GARCH項(xiàng)、Hermit多項(xiàng)式的階數(shù)。為減少待估參數(shù)維數(shù)，我們假定Lp=1，故確定交互項(xiàng)的調(diào)整參數(shù)Iz=0，Ix=0。具體的結(jié)果如表3所示。

從表3結(jié)果來(lái)看，11114000模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合程度最好。下面給出該模型的具體參數(shù)估計(jì)值和SNP密度曲線（見(jiàn)圖4和表4）。

從SNP密度曲線來(lái)看，其較正態(tài)分布的尾部更厚，且略微正偏，這與描述性統(tǒng)計(jì)的情況一致，表明SNP密度對(duì)真實(shí)數(shù)據(jù)擬合程度較好。

接下來(lái)我們可以正式利用EMM算法來(lái)估計(jì)三種SV模型。由于傳統(tǒng)的Quasi-Newton、LM等算法需要依賴雅克比向量或海賽矩陣中的信息，這樣在高維尋優(yōu)問(wèn)題中不僅計(jì)算量大，還常常出現(xiàn)矩陣不可逆而導(dǎo)致算法停滯的問(wèn)題。另外，這些算法對(duì)初始值選擇較為敏感：當(dāng)初值接近全局最優(yōu)解時(shí)，尋優(yōu)效果較為理想，但當(dāng)初值遠(yuǎn)離全局最優(yōu)時(shí)，尋優(yōu)效果糟糕。而劍橋?qū)W者Xinshe Yang（2010）提出的Cuckoo Search算法（該算法由局部尋優(yōu)和全局Levy飛行兩部分構(gòu)成），尋優(yōu)綜合效果不僅優(yōu)于傳統(tǒng)的LM等算法，而且較普通的GA、PSO等算法也更為優(yōu)越。為此，前面的輔助SNP和下面的結(jié)構(gòu)模型（SV、SVL、SVLJ）的估計(jì)過(guò)程中遇到的最優(yōu)化問(wèn)題均采用Cuckoo Search來(lái)完成。

從表5和表6估計(jì)結(jié)果來(lái)看，三種SV模型μ的取值比較接近，即長(zhǎng)期波動(dòng)率水平約為1.1；同時(shí)滬深300指數(shù)期貨的波動(dòng)率持續(xù)性較高（持續(xù)系數(shù)0.95左右），且SVL和SVLJ模型都顯示杠桿效應(yīng)在樣本期間內(nèi)是顯著存在的；SVLJ顯示跳躍概率為0.0051，約合每年跳躍1.86次，這一結(jié)果略高于部分時(shí)期的現(xiàn)貨市場(chǎng)，造成這一結(jié)果的原因有：（1）樣本期間內(nèi)，指數(shù)幾乎呈單邊下跌態(tài)勢(shì)，而“熊市”中市場(chǎng)參與者比平常更為敏感，更易對(duì)外部信息做出過(guò)度反應(yīng)；（2）相較于現(xiàn)貨市場(chǎng)， 期貨市場(chǎng)屬于T+0交易，再加之策略交易的成規(guī)模使用，使得類(lèi)似于“烏龍指”事件發(fā)生的概率較現(xiàn)貨市場(chǎng)要高得多，易引發(fā)市場(chǎng)異常波動(dòng)。

由于Pitt（2011）所提出的CSIR算法較以往的PF算法濾波效果更為理想，因此這里仍然使用該算法得到滬深300指數(shù)期貨在樣本期間內(nèi)的波動(dòng)率序列。通過(guò)對(duì)比觀察濾波得到的波動(dòng)率序列和收益率的絕對(duì)值序列，我們發(fā)現(xiàn)前者的變化特征基本與后者一致，表明SVLJ模型較好地捕捉了收益率序列的動(dòng)態(tài)特征，具體結(jié)果如圖5和圖6所示。

為了進(jìn)一步診斷模型，我們通過(guò)判斷SVLJ、SVL和SV模型殘差的分布函數(shù)值是否服從均勻分布來(lái)驗(yàn)證模型的設(shè)定和估計(jì)是否正確。由圖7和圖8可知，對(duì)于SVLJ模型和SV模型而言，QQ圖近似于直線且不存在自相關(guān)性，因而可斷定這兩種模型比較適合刻畫(huà)樣本的動(dòng)態(tài)特征；反觀SV模型，其QQ圖明顯呈曲線狀，表明其殘差的分布值不是均勻分布。由此可見(jiàn)，忽視杠桿效應(yīng)的SV模型無(wú)法反映市場(chǎng)的真實(shí)情況。

六、結(jié)論

本文重點(diǎn)討論了對(duì)包括SVLJ這種兼具杠桿效應(yīng)和跳躍效應(yīng)的特殊SV模型在內(nèi)的三種隨機(jī)波動(dòng)率模型的參數(shù)估計(jì)和濾波問(wèn)題，得到如下主要結(jié)論：（1）連續(xù)的粒子濾波（CSIR）較其他兩種濾波算法更為精確，能夠更好地反映“真實(shí)”的波動(dòng)率的動(dòng)態(tài)特征；（2）利用SVLJ、SVL和SV模型對(duì)滬深300指數(shù)期貨波動(dòng)情況的研究發(fā)現(xiàn)，在樣本期內(nèi)，波動(dòng)具有較強(qiáng)的持續(xù)性，同時(shí)收益率序列具有偏高的跳躍概率，而杠桿效應(yīng)是顯著存在的；（3）對(duì)波動(dòng)率和殘差的診斷表明，SVLJ和SVL模型能夠較好地描述滬深300期指的波動(dòng)情況。

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Abstract： It is very difficult to obtain the likelihood function for Stochastic Volatility models， but simulating the paths is comparatively easy to operate. Owing to this reason， we take the advantage of Efficient Method of Moments （EMM） to estimate parameters， but the simple EMM estimation cannot get the volatility sequence， we need to use the filtering algorithm. Through comparing with ordinary particle filtering algorithm in Monte Carlo simulation， we find the CSIR has a better performance. The empirical analysis of CSI 300 future index shows SV model with leverage effect （SVL） and SV model with leverage effect and jumping （SVLJ） can better describe the volatility of CSI 300 futures index.

Key words：efficient method of moments； volatility； particle filtering； semi-nonparametric density

（責(zé)任編輯：張曦）