偏最小二乘—二階因子模型在綜合變量構(gòu)建問題的研究

程豪 易丹輝

摘要：為了突破獨(dú)立性假定和主觀賦權(quán)的局限，兼顧真實(shí)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特征，文章提出偏最小二乘—二階因子模型（Partial Least Square Second-order Latent Variable Model，PLS-SLVM），解決綜合變量的構(gòu)建問題。二階因子模型（Second-order Latent Variable Model，SLVM）作為構(gòu)建綜合變量的模型基礎(chǔ)，其測(cè)量模型和結(jié)構(gòu)模型分別展示了可測(cè)變量與潛變量間、潛變量間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。偏最小二乘（Partial Least Square，PLS）作為構(gòu)建綜合變量的估計(jì)方法，不要求可測(cè)變量間相互獨(dú)立，保證權(quán)重賦值的客觀性。與簡(jiǎn)單線性相加相比，PLS-SLVM較難理解，運(yùn)算較為復(fù)雜，但PLS-SLVM放寬了獨(dú)立性假定，兼顧變量間真實(shí)的相關(guān)關(guān)系和結(jié)構(gòu)狀態(tài)，提高了綜合變量的分類準(zhǔn)確性，為企業(yè)管理與績(jī)效評(píng)價(jià)等方面提供方法學(xué)指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：綜合變量構(gòu)建方法；二階因子模型；偏最小二乘估計(jì)；簡(jiǎn)單線性相加

一、 引言

綜合變量構(gòu)建方法需要滿足全面性、目的性、可比性、層次性、科學(xué)性等基本原則。綜合變量必須反映綜合評(píng)價(jià)問題的各個(gè)方面，必須緊緊圍繞綜合評(píng)價(jià)目的展開，保證研究結(jié)論的確反映了評(píng)價(jià)意圖，必須保證對(duì)每個(gè)研究對(duì)象的公平性和可比性，不能有傾向性的側(cè)重某些研究對(duì)象。綜合變量的構(gòu)建過程必須關(guān)注綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)體系的層次性和結(jié)構(gòu)性。這種層次性和結(jié)構(gòu)性一方面體現(xiàn)在綜合變量架構(gòu)的設(shè)計(jì)上，另一方面則體現(xiàn)在不同指標(biāo)間關(guān)系的明確量化。綜合變量構(gòu)建過程的層次性和結(jié)構(gòu)性必須以綜合變量構(gòu)建方法的科學(xué)性為前提。從元素到結(jié)構(gòu)，從計(jì)算內(nèi)容到計(jì)算方法都必須科學(xué)、合理、準(zhǔn)確。科學(xué)的綜合變量構(gòu)建方法一定是客觀的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模墙?jīng)得起推敲的。從真實(shí)數(shù)據(jù)出發(fā)，有效避免人為干預(yù)，嚴(yán)格把握構(gòu)建方法的適用條件，保證分析結(jié)果和研究結(jié)論的客觀性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

簡(jiǎn)單線性相加作為一種簡(jiǎn)單易懂、方便操作的綜合變量構(gòu)建方法。它要求所有條目間、不同條目所屬方面間均相互獨(dú)立，一般默認(rèn)等權(quán)或人為賦權(quán)。這種強(qiáng)假設(shè)條件和主觀的賦權(quán)方式直接影響研究結(jié)論。本文提出的PLS-SLVM可以改進(jìn)這些方面的不足，完成綜合變量的構(gòu)建。

二、 PLS-SLVM的提出

1. 提出依據(jù)。目前，國(guó)內(nèi)外常用的綜合變量構(gòu)建方法不少于幾十種。盡管各種方法在原理、適用范圍、優(yōu)劣點(diǎn)方面有所不同，但大體上可以分為兩類：一類是主觀賦權(quán)，即采用綜合咨詢?cè)u(píng)分的定性方法確定權(quán)重，比如簡(jiǎn)單線性相加、層次分析法、綜合指數(shù)法等。另一類是客觀賦權(quán)，即根據(jù)各指標(biāo)間的數(shù)值關(guān)系確定權(quán)重，比如主成分分析、因子分析等等。這些常用的綜合變量構(gòu)建方法存在一些共性的特點(diǎn)。主觀賦權(quán)法普遍具備簡(jiǎn)單易懂、清晰明了、方便操作的特點(diǎn)，客觀賦權(quán)法則有效規(guī)避了主觀賦權(quán)法在權(quán)重確定方面不夠客觀的缺陷，利用數(shù)據(jù)信息構(gòu)建各指標(biāo)變量間的層次關(guān)系和相互關(guān)聯(lián)。此外，不同的綜合變量構(gòu)建方法都存在著不同的局限性。層次分析法的評(píng)價(jià)結(jié)果因判斷矩陣的不同而異，而且利用九級(jí)分制對(duì)指標(biāo)的兩兩比較很容易出現(xiàn)矛盾，綜合指數(shù)法較難確定比較標(biāo)準(zhǔn)，而且評(píng)價(jià)結(jié)果對(duì)比較標(biāo)準(zhǔn)過于依賴。而主成分分析法在主要主成分的涵義和個(gè)數(shù)的確定方面都存在一些質(zhì)疑。涵義界定的是否清楚直接關(guān)系到對(duì)結(jié)果的解釋清晰度和評(píng)價(jià)可信度。而根據(jù)方差貢獻(xiàn)率選擇的主要主成分畢竟不能代表全部數(shù)據(jù)信息，尤其在主成分是無序變量時(shí)，主成分綜合評(píng)價(jià)函數(shù)會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。相比之下，雖然因子分析同樣利用了降維的思想，但是因子分析需要滿足因子間不相關(guān)的假設(shè)條件，通過坐標(biāo)軸不同程度的旋轉(zhuǎn)會(huì)得到不同的因子，而且因子載荷有時(shí)為負(fù)值，不易解釋。顯然，如果用因子分析尋找變量間的潛在結(jié)構(gòu)，構(gòu)造綜合變量存在一定的問題。

簡(jiǎn)單線性相加作為綜合變量的構(gòu)建方法之一，主要存在以下兩個(gè)方面的不足：

第一，簡(jiǎn)單線性相加假定所有條目間、不同條目所屬方面間均相互獨(dú)立。在實(shí)際應(yīng)用中，某幾個(gè)條目間可能存在獨(dú)立關(guān)系，但所有條目間相互獨(dú)立很難成立。試想，如果真實(shí)世界中所有條目間相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)學(xué)中討論變量間相關(guān)關(guān)系和因果關(guān)系的方法將無法使用，數(shù)據(jù)挖掘和機(jī)器學(xué)習(xí)的許多方法將失去研究基礎(chǔ)。不同條目所屬方面的獨(dú)立性假定，削弱了綜合變量本身可能存在的結(jié)構(gòu)形態(tài)。不同方面間可能存在著一定的相關(guān)關(guān)系，這種相關(guān)性通過綜合變量可以得到進(jìn)一步的解釋，表現(xiàn)為共同受到的潛在因素的影響。

第二，簡(jiǎn)單線性相加采用默認(rèn)等權(quán)或主觀賦權(quán)法，加入人為干預(yù)，不夠客觀。主觀賦權(quán)因人而異，不同的專家給出不同的權(quán)重。主觀賦權(quán)沒有考慮不同人群的特征，不同的人群可能有相同的權(quán)重。這種主觀而“普適”的權(quán)重賦值方式直接影響綜合變量的研究結(jié)論和評(píng)價(jià)效果。賦權(quán)方式應(yīng)該是基于客觀數(shù)據(jù)的，是兼顧人群特征的，是參與數(shù)值計(jì)算過程始終的。尤其在挖掘和探索綜合變量不同方面間結(jié)構(gòu)關(guān)系，通過先驗(yàn)信息決定權(quán)重削弱了對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)的提取和利用。

真實(shí)世界的可測(cè)變量間往往不相互獨(dú)立。綜合變量的構(gòu)建需要真實(shí)反映綜合變量的內(nèi)涵與邏輯結(jié)構(gòu)，有效避免簡(jiǎn)單線性相加等主觀賦權(quán)法對(duì)非客觀數(shù)據(jù)因素的依賴性。相比之下，PLS-SLVM從真實(shí)數(shù)據(jù)出發(fā)，不要求所有條目間相互獨(dú)立，揭示條目間實(shí)際存在的相關(guān)關(guān)系和結(jié)構(gòu)形態(tài)。選擇客觀的權(quán)重賦值方式，有效避免人為干預(yù)，經(jīng)過權(quán)重和得分的相互作用和反復(fù)調(diào)整，完成綜合變量的所有數(shù)值計(jì)算工作。PLS-SLVM的提出，突破了簡(jiǎn)單線性相加的局限，提供了一種新的綜合變量的構(gòu)建方法。

2. SLVM。作為綜合變量構(gòu)建方法的模型基礎(chǔ)，SLVM根據(jù)變量是否可以直接觀測(cè)，將模型中的變量分為可測(cè)變量和潛變量。SLVM的提出將變量是否可以直接觀測(cè)這一屬性和變量間的結(jié)構(gòu)清晰的展示出來。一階因子表示的是可測(cè)變量共同反映的某個(gè)方面，二階因子是一階因子的綜合體現(xiàn)，反映的是一階因子共同受到的影響因素。比如，在評(píng)價(jià)企業(yè)家領(lǐng)導(dǎo)力、企業(yè)戰(zhàn)略績(jī)效、企業(yè)資本等問題時(shí)，二階因子可以作為綜合變量，反映這些評(píng)價(jià)課題不同方面共同收到的影響因素。SLVM的表達(dá)形式如下：

xjh=？姿jh？孜j+？著jh（1）

？孜j=？茁j？濁+？啄j（2）

（1）式為測(cè)量模型，它反映的是可測(cè)變量xjh與一階因子？孜j間的關(guān)系。？姿jh是載荷系數(shù)，表示一階因子？孜j對(duì)可測(cè)變量xjh的影響。？著jh為第j個(gè)一階因子？孜j中第h個(gè)可測(cè)變量xjh的測(cè)量誤差，均值為0，方差為？啄2jh，且與一階因子？孜j不相關(guān)。

（2）式為結(jié)構(gòu)模型，它反映的是一階因子？孜j與二階因子？濁間的關(guān)系。？茁j是路徑系數(shù)，表示二階因子？濁對(duì)一階因子？孜j的影響。？啄j為第j個(gè)一階因子？孜j的測(cè)量誤差，均值為0，方差為？啄2j。

3. PLS。為了避免聯(lián)合分布的假定，可以采用PLS估計(jì)SLVM中的因子得分和系數(shù)。算法的基本思想如下：

首先，標(biāo)準(zhǔn)化一階因子（？孜j-mj）的外部估計(jì)Yj。一階因子的外部估計(jì)是指利用可測(cè)變量的線性組合對(duì)一階因子進(jìn)行逼近。標(biāo)準(zhǔn)化一階因子（均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1）以中心化的可測(cè)變量的線性組合表示：

Yj∝[？撞？棕jh（xjh-xjh）]（1）

標(biāo)準(zhǔn)化一階因子最終可寫為：

Yj∝[？撞■jh（xjh-xjh）]（2）

一階因子的估計(jì)為：

mj=？撞■jhxjh=Yj+mj（3）

■jh被稱為外生權(quán)重。

其次，標(biāo)準(zhǔn)化二階因子（？濁-m）的內(nèi)部估計(jì)Z。二階因子潛變量的內(nèi)部估計(jì)指的是利用因子間的某種數(shù)學(xué)關(guān)系，對(duì)一階因子的外部估計(jì)值進(jìn)行調(diào)整的過程。內(nèi)部估計(jì)Z被定義為：

Z∝？撞eiYi（4）

內(nèi)生權(quán)重ei指在模型中有箭頭連接的兩個(gè)因子的關(guān)系，它有路徑加權(quán)方法、重心方法、因子加權(quán)方法三種方法可以選擇，本文采用重心法，即ei等于Yj與Yi的相關(guān)系數(shù)的符號(hào)。

第三，更新一階因子與可測(cè)變量間、二階因子與一階因子間的權(quán)重。本文利用（7）式更新一階因子與可測(cè)變量間的權(quán)重？棕j，利用（8）式更新二階因子與一階因子間的權(quán)重e。

？棕j=（X′jXJ）-1X′jXJ（5）

e=（Y′jYJ）-1Y′jZJ（6）

初始的權(quán)重可以任意的賦值，然后進(jìn)行上述的迭代計(jì)算，直到收斂為止。常用的收斂判斷標(biāo)準(zhǔn)為：相鄰兩次的權(quán)重估計(jì)值相差小于10-5。

因此，PLS算法的迭代步驟如下：

步驟1設(shè)定初始權(quán)重？棕jh=1，計(jì)算向量Yj的初始值為？撞（xjh-xjh），通過（4）式，可以得到Z的估計(jì)值；

步驟2根據(jù)Z的估計(jì)值，通過公式（5）和（6），可以計(jì)算出新的權(quán)重？棕j和e；

步驟3利用計(jì)算得到的？棕j和e，依次通過（2）和（4），分別得到新的Yj和Z；

步驟4再回到步驟1，指導(dǎo)計(jì)算收斂為止，則最終得到的？棕j和e作為權(quán)重，最終得到的和作為一階因子Yj和Z二階因子得分。

三、 PLS-SLVM的研究結(jié)論

1. PLS放寬了對(duì)數(shù)據(jù)分布的要求。綜合變量構(gòu)建中的估計(jì)方法有最大似然（ML）估計(jì)法和偏最小二乘（PLS）估計(jì)法兩種方式。最大似然法固然可以估計(jì)出權(quán)重和系數(shù)，但是要求數(shù)據(jù)服從對(duì)稱的聯(lián)合正態(tài)分布。但在實(shí)際研究中，數(shù)據(jù)多為不對(duì)稱的偏態(tài)分布。因此該方法科學(xué)性的基礎(chǔ)受到限制。偏最小二乘估計(jì)算法（PLS）通過內(nèi)外部關(guān)系調(diào)整、迭代，計(jì)算得到潛變量的值，對(duì)數(shù)據(jù)沒有聯(lián)合正態(tài)分布的要求，因此更適于企業(yè)管理和績(jī)效評(píng)價(jià)的實(shí)證研究。偏最小二乘（PLS）估計(jì)不要求數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，可以采用Bootstrap方法構(gòu)造置信區(qū)間，計(jì)算均值、標(biāo)準(zhǔn)差、置信上限和置信上限，構(gòu)造95%置信區(qū)間檢驗(yàn)各個(gè)參數(shù)的合理性（顯著性）。為驗(yàn)證大樣本情況下滿意度指數(shù)PLS估計(jì)的穩(wěn)健性與可行性，采用Bootstrap法進(jìn)行五組模擬實(shí)驗(yàn)：根據(jù)滿意度指數(shù)模型生成樣本量為100 000的模擬數(shù)據(jù)，分別利用Bootstrap法抽取樣本量為5 000、10 000、20 000、30 000和50 000的隨機(jī)子樣本，每組模擬重復(fù)500次抽樣。將每組模擬數(shù)據(jù)的模型估計(jì)結(jié)果平均值、全數(shù)據(jù)（100 000條）一次估計(jì)和模擬數(shù)據(jù)參數(shù)真值進(jìn)行比較，研究發(fā)現(xiàn)Bootstrap法隨機(jī)估計(jì)的方法優(yōu)于全數(shù)據(jù)的一次性估計(jì)。

2. 兼顧變量相關(guān)性，突出結(jié)構(gòu)狀態(tài)。簡(jiǎn)單線性相加有兩種賦權(quán)方式：一種是默認(rèn)權(quán)重為1，假定不同可測(cè)變量與潛變量間、潛變量與潛變量間的關(guān)系相同；另一種是主觀賦權(quán)，采用專家打分等方法對(duì)權(quán)重賦值。無論采用哪種賦權(quán)方式，可測(cè)變量與潛變量間、潛變量與潛變量間的權(quán)重均沒有從真實(shí)數(shù)據(jù)出發(fā)，沒有考慮變量間的相關(guān)性。而且，這兩個(gè)賦權(quán)過程是相互獨(dú)立的，彼此互不影響。

PLS-SLVM對(duì)路徑系數(shù)和載荷系數(shù)的估計(jì)不是兩個(gè)相互獨(dú)立的過程。在全盤考慮條目間關(guān)系的基礎(chǔ)上，通過不斷的內(nèi)部調(diào)整，更新內(nèi)生權(quán)重，通過不斷的外部調(diào)整，更新外生權(quán)重，反復(fù)迭代，最終估計(jì)出路徑系數(shù)和載荷系數(shù)。不同可測(cè)變量與潛變量、不同潛變量間數(shù)量關(guān)系的明確量化突出了綜合變量的結(jié)構(gòu)形態(tài)。

3. 減少因子得分趨同的可能性。因子得分可以表現(xiàn)不同研究對(duì)象在某個(gè)方面的表現(xiàn)，如果不同研究對(duì)象的某個(gè)因子得分相同，則說明研究對(duì)象在該方面的表現(xiàn)沒有區(qū)別。但是，也可能是方法本身造成因子得分的過度趨同。若二階因子宗氣指數(shù)得分過于趨同，則會(huì)影響綜合變量對(duì)結(jié)果的判斷和評(píng)價(jià)；若一階因子得分過于趨同，則不利于綜合變量排名的影響因素的探索，無法研究綜合變量得分相同的各一階因子的得分及構(gòu)成特點(diǎn)，更不利于研究綜合變量得分不同的各一階因子的得分及構(gòu)成特點(diǎn)。

事實(shí)上，綜合變量構(gòu)建方法本身也會(huì)對(duì)因子得分產(chǎn)生影響，選擇二階因子模型可以更好的區(qū)分不同研究對(duì)象的各階因子的水平。這是因?yàn)?，二階因子模型計(jì)算因子得分的過程中要通過外部調(diào)整和內(nèi)部調(diào)整，利用可測(cè)變量與一階因子間的權(quán)重（載荷系數(shù)）、一階因子與二階因子間的權(quán)重（路徑系數(shù)）不斷調(diào)整外部估計(jì)和內(nèi)部估計(jì)，迭代所得。而簡(jiǎn)單線性相加則是對(duì)可測(cè)變量進(jìn)行權(quán)重為1的一次性加和，如果每個(gè)可測(cè)變量均采用量表打分的方式，取值范圍均為{1，2，3，4，5}，更易出現(xiàn)因子得分趨同的結(jié)果。此外，二階因子模型中各個(gè)權(quán)重系數(shù)之間的差異也是增加因子得分區(qū)分度的因素之一。

4. 提高綜合變量分類準(zhǔn)確性。綜合變量構(gòu)建方法的好壞，直接影響綜合變量對(duì)不同結(jié)局的識(shí)別能力和分類效果。為了進(jìn)一步探討簡(jiǎn)單線性相加方法和PLS-SLVM在這些方面的表現(xiàn)，本文借助受試者工作特征曲線（Receiver Operating Characteristic Curve，ROC），計(jì)算AUC和判對(duì)率，評(píng)價(jià)綜合變量的區(qū)分度和分類準(zhǔn)確性。

因子得分作為重要的估計(jì)結(jié)果之一，是繪制ROC曲線的基礎(chǔ)。因子得分的研究，并不止于比較絕對(duì)數(shù)值的大小，而在于對(duì)相對(duì)信息的分析和探索，關(guān)注不同研究對(duì)象的相對(duì)位置，因此，對(duì)因子得分取秩是獲得相對(duì)信息的途徑之一。無論是對(duì)因子得分本身還是取秩后進(jìn)行研究，PLS-SLVM都為綜合變量分類準(zhǔn)確性的提高提供了可能。研究表明，PLS-SLVM提高了綜合變量的判對(duì)率，增加了分類準(zhǔn)確性。

四、 結(jié)論

綜合變量構(gòu)建方法的好壞，關(guān)鍵在于多指標(biāo)結(jié)合為綜合指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)方式的選擇。一種好的統(tǒng)計(jì)方式應(yīng)該放寬獨(dú)立性假定，突破主觀賦權(quán)的人為干預(yù)，考慮真實(shí)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特征。SLVM設(shè)定了可測(cè)變量與潛變量間、潛變量間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。PLS算法不要求可測(cè)變量間相互獨(dú)立，完成了載荷系數(shù)、路徑系數(shù)及因子得分的估計(jì)。SLVM與PLS的結(jié)合，改進(jìn)了簡(jiǎn)單線性相加在強(qiáng)獨(dú)立性假定和主觀賦權(quán)方面的不足。

研究表明，PLS-SLVM作為一種綜合變量的構(gòu)建方法，不僅在構(gòu)建過程中兼顧變量間的相關(guān)關(guān)系和結(jié)構(gòu)形態(tài)，而且提升了綜合變量的分類準(zhǔn)確性，可以用來判斷或預(yù)測(cè)不同研究對(duì)象的所屬類別。

此外，偏最小二乘—二階因子模型作為一種非參數(shù)的估計(jì)方法，沒有分布假定，不必計(jì)算結(jié)構(gòu)模型中的所有關(guān)系。因此，當(dāng)樣本量較少時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)無法識(shí)別的問題，而且會(huì)得到相對(duì)較高的統(tǒng)計(jì)功效。隨著樣本量的增加，偏最小二乘—二階因子模型的估計(jì)精度越高。當(dāng)存在缺失數(shù)據(jù)時(shí)，該算法在一定程度上具有較高的穩(wěn)健性。偏最小二乘—二階因子模型可以適用于度量數(shù)據(jù)、二分類數(shù)據(jù)等數(shù)據(jù)類型，但是在測(cè)度分類內(nèi)生變量時(shí)，存在一定的局限性。無論模型是否復(fù)雜，因子（潛變量）是通過單個(gè)還是多個(gè)可測(cè)變量進(jìn)行測(cè)度，因子與可測(cè)變量間關(guān)系是形成型還是反映型，偏最小二乘算法都較為適用。而且，隨著可測(cè)變量個(gè)數(shù)的增加，該算法的估計(jì)有偏性會(huì)降低。此外，與極大似然估計(jì)方法相比，盡管偏最小二乘估計(jì)算法沒有全局?jǐn)M合優(yōu)度評(píng)價(jià)指標(biāo)，但是卻可以得到因子得分。當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，可以借助Boostrap方法構(gòu)造置信區(qū)間，計(jì)算均值、標(biāo)準(zhǔn)差、置信上限和置信上限，構(gòu)造95%置信區(qū)間檢驗(yàn)各個(gè)參數(shù)的合理性（顯著性）。

但是，并不是所有的綜合變量構(gòu)建問題都可以用PLS-SLVM來解決。當(dāng)一階因子間存在中高度關(guān)聯(lián)性，一階因子測(cè)度的是同一個(gè)問題的同一個(gè)水平，二階因子能夠反映并解釋一階因子所受到的共同影響時(shí)，才考慮采用SLVM。尤其在樣本量較小、待估參數(shù)較多的情況下，PLS-SLVM可以保證模型的可識(shí)別性和模型的簡(jiǎn)化。

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基金項(xiàng)目：2012年中醫(yī)藥行業(yè)科研專項(xiàng)（項(xiàng)目號(hào)：2012468005）。

作者簡(jiǎn)介：易丹輝（1948—），女，漢族，湖南省汨羅市人，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)管理與保險(xiǎn)、預(yù)測(cè)與決策；程豪（1989—），男，漢族，山西省長(zhǎng)治市人，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院博士生，研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)方程模型、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)、數(shù)據(jù)挖掘。

收稿日期：2015-12-12。