談三角形內(nèi)角與一外角角平分線夾角與頂角關(guān)系的求法

米雪 王立波

【摘要】 其實對于數(shù)學(xué)中的幾何問題，往往一道題總是存在一題多解的現(xiàn)象. 對于現(xiàn)在的初中教學(xué)，應(yīng)當(dāng)教會學(xué)生用一題多解的方法解決幾何問題，這樣不僅僅可以發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，更能為以后的綜合分析數(shù)學(xué)問題打下良好的基礎(chǔ). 所以我對任意三角形的一個內(nèi)角與一個外角角平分線夾角度數(shù)的求法做一個一題多解的分析.

【關(guān)鍵詞】 內(nèi)角角平分線；外角角平分線；夾角；一題多解

在復(fù)習(xí)課中引入一題多解，非常有利于學(xué)生上述能力的培養(yǎng). 因為在復(fù)習(xí)課中，學(xué)生已具備一定的數(shù)學(xué)知識與技能，具有一定的分析、解決問題的能力. 通過一題多解，可以加深學(xué)生對題目的形式、組成元素以及題目隱含的邏輯（因果）關(guān)系的認(rèn)識，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)洞察力和推理能力，拓寬解題思路，提高解題的靈活性.

例 已知△ABC，BE是∠ABC的角平分線，CF是∠ACB的角平分線，CE是△ABC外角∠ACD的角平分線，BG是△ABC外角∠HBC的角平分線，CG是△ABC外角∠ICB的平分線，求平分線夾角∠BFC，∠E，∠BGC與頂角∠A的度數(shù)關(guān)系.

方法一：常規(guī)求法

因為要探究三角形內(nèi)角角平分線與內(nèi)角角平分線的夾角、內(nèi)角角平分線與外角角平分線夾角、外角角平分線與外角角平分線夾角與頂角的關(guān)系，也就是要用頂角表示這幾個夾角，就要把它們用相關(guān)的角聯(lián)系起來，這樣就可以經(jīng)過推導(dǎo)得到我們要的所求，就導(dǎo)出了角平分線夾角與頂角之間的關(guān)系.

（1）∠BFC = 90° + ∠A

理由：

∵ BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，

∴ ∠FBC = ∠ABC，

∠FCB = ∠ACB.

∵ 在△FBC中，∠BFC = 180° - （∠FBC + ∠FCB），

∴ ∠BFC = 180° - （ ∠ABC + ∠ACB）

= 180° - （∠ABC + ∠ACB）

= 180° - （180° - ∠A）

= 180° - 90° + ∠A

= 90° + ∠A.

（2）∠E = ∠A

理由：

∵ BF平分∠ABC，CE平分∠ACD，

∴ ∠FBC = ∠ABC，∠ACE = ∠ACD，

∵在△BCE中，∠E = ∠ECD - ∠FBC，

∴ ∠E = ∠ACD - ∠ABC

= （∠ACD-∠ABC）

= ∠A.

（3）∠BGC = 90° - ∠A

理由：

∵BG平分∠HBC，CG平分∠ICB，

∴∠GBC = ∠HBC，∠GCB = ∠ICB.

∵在△BGC中，∠G = 180° - （∠GBC + ∠GCB），

∴∠G = 180° - （ ∠HBC + ∠ICB）

= 180° - （∠HBC + ∠ICB）

= 180° - [（180° - ∠ABC） + （180°-∠ACB）]

= 180° - [360° - （∠ABC + ∠ACB）]

= 180° - （360° - 180° + ∠A）

= 90° - ∠A.

普遍的方法推導(dǎo)起來，學(xué)生接受得比較慢，而且理解起來也很難，再次出現(xiàn)類型題時，學(xué)生還是一頭霧水找不到頭緒，而我采用下列方法講過之后，感覺學(xué)生在理解上有了明顯的進(jìn)步，而且應(yīng)用起來也靈活自如.

方法二：簡便求解

由普通方法推導(dǎo)出∠E與頂角∠A的關(guān)系：

∠E = ∠A，然后利用簡便方法求解∠BFC，∠G與頂角∠A的關(guān)系.

∵ CF、CE分別平分∠ACB，∠ACD，

∴ ∠ACF = ∠ACB，

∠ECA = ∠ACD，

又∵ ∠ACB + ∠ACD = 180°，

∴ ∠FCA + ∠ACE = × 180° = 90°，

即∠FCE = 90°.

同理∠EBG = 90°.

∵ ∠BFC = ∠FCE + ∠E，

∴ ∠BFC = 90° + ∠A.

∵ ∠G = 90° - ∠E，

∴ ∠G = 90° - ∠A.

利用三角形內(nèi)角和，外角定理求解另外兩個夾角與頂角的關(guān)系，使原本復(fù)雜的問題變得簡單化，學(xué)生理解起來也很容易，應(yīng)用起來也很熟練，這就說明，在今后的教學(xué)中要適當(dāng)?shù)匕l(fā)現(xiàn)新的方法、簡便方法，教會學(xué)生用簡捷的思想分析問題、解決問題，為孩子將來的成長奠定基礎(chǔ). 我自己也會努力在這方面發(fā)展，培養(yǎng)優(yōu)秀、出色的孩子.