地方本科院校高等數(shù)學(xué)課程中空間解析幾何教學(xué)的幾點(diǎn)建議

黃春妙

摘要：高等數(shù)學(xué)教材涉及到微積分、空間解析幾何與向量代數(shù)、線性代數(shù)等內(nèi)容，這三個(gè)內(nèi)容聯(lián)系緊密。在教學(xué)過(guò)程中，很多學(xué)習(xí)者沒(méi)有重視它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，導(dǎo)致在知識(shí)的理解和應(yīng)用方面出現(xiàn)了困難，因此需要老師在教學(xué)中重視相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。本文主要從空間解析幾何對(duì)微積分的影響方面給出空間解析幾何內(nèi)容教學(xué)的幾點(diǎn)建議。

關(guān)鍵詞：地方本科院校；高等數(shù)學(xué)；空間解析幾何

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）23-0218-02

高等數(shù)學(xué)是理科及工科專業(yè)的一門重要的公共必修課，空間解析幾何與向量代數(shù)和微積分在教材中分布在不同的章節(jié)里面，在教學(xué)過(guò)程中，很多學(xué)習(xí)者經(jīng)常把它們看作孤立的知識(shí)點(diǎn)，沒(méi)有重視它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，導(dǎo)致在知識(shí)的理解和應(yīng)用方面出現(xiàn)了困難，特別是空間解析幾何中二次曲面的內(nèi)容在多元函數(shù)微積分里面有廣泛的應(yīng)用，很多學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)三重積分時(shí)對(duì)三維立體圖形缺乏空間感，感覺(jué)三重積分計(jì)算無(wú)從下手。因此掌握好空間解析幾何的內(nèi)容非常重要，老師在教學(xué)方面尤其要重視它們之間的聯(lián)系。本文主要從空間解析幾何對(duì)微積分的影響方面給出空間解析幾何內(nèi)容教學(xué)的幾點(diǎn)建議。本文針對(duì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編的第六版的《高等數(shù)學(xué)》教材。

一、重視向量及其坐標(biāo)的學(xué)習(xí)

解析幾何的主要思想是利用代數(shù)方法來(lái)研究解決幾何問(wèn)題，利用可以進(jìn)行計(jì)算的定量的工具來(lái)研究幾何里形狀的定性問(wèn)題，為了將代數(shù)運(yùn)算引入到幾何中來(lái)，其根本的做法是設(shè)法將空間幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)地代數(shù)及數(shù)量化。所以，向量和坐標(biāo)是三維空間解析幾何的工具與基礎(chǔ)，且向量的應(yīng)用在本章的重點(diǎn)內(nèi)容即平面方程與空間直線方程的教學(xué)當(dāng)中體現(xiàn)得非常突出。平面方程及空間直線的方程的建立，其實(shí)是向量與向量垂直、向量與向量共面、向量與向量共線等條件的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離是要計(jì)算兩向量的向量積的模。平面與平面的夾角，直線與直線的夾角，直線與平面的夾角統(tǒng)統(tǒng)都是要計(jì)算兩個(gè)向量的夾角。所以，在教學(xué)過(guò)程中，要非常注重第一節(jié)和第二節(jié)的學(xué)習(xí)，第一節(jié)是向量的概念和線性運(yùn)算，理科生在高中已經(jīng)學(xué)過(guò)，因此第一節(jié)的處理可以讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)，上課時(shí)復(fù)習(xí)下向量的相關(guān)概念，如向量、模、向量表示方法符號(hào)、單位向量、自由向量、向量平行（共線）、向量共面等，主要強(qiáng)調(diào)向量加減法的作圖和向量數(shù)乘的概念。第二節(jié)中空間點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)要多舉幾個(gè)例子來(lái)理解坐標(biāo)。向量的數(shù)量積和向量積要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)它們的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直平行的充要條件，為平面和直線方程的建立打下基礎(chǔ)。在向量這個(gè)內(nèi)容多安排一些時(shí)間，掌握向量這個(gè)工具，打好基礎(chǔ)，是非常有必要的。向量的概念和運(yùn)算的特點(diǎn)是概念多、技巧少，所以教師教學(xué)一定要強(qiáng)調(diào)概念符號(hào)的區(qū)別，理解每個(gè)概念、符號(hào)的意義和內(nèi)涵，許多問(wèn)題就可以迎刃而解了。

在第一、二節(jié)向量的學(xué)習(xí)內(nèi)容中涉及到利用向量法解決初等問(wèn)題的內(nèi)容，在講授這些內(nèi)容時(shí)，可以讓學(xué)生做一些利用向量的知識(shí)求解初等幾何的作業(yè)。

二、在教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，注重提高學(xué)生對(duì)空間圖形的繪制技能和技巧，為微積分的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)

微積分是理工科學(xué)習(xí)的一門必修課，而重積分的計(jì)算是微積分學(xué)的一個(gè)重要的內(nèi)容，計(jì)算重積分的一個(gè)關(guān)鍵就是要能夠根據(jù)曲面的方程繪制出一些簡(jiǎn)單曲面的圖形，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)都覺(jué)得繪制圖形很難，在第三節(jié)曲面及其方程的處理上，要強(qiáng)調(diào)常用曲面（如球面、圓柱面、橢圓拋物面、柱面）的方程特點(diǎn)和圖形的形狀，要求學(xué)生能夠用筆紙畫出這些常用曲面，另外在上到曲面方程時(shí)可直接結(jié)合第十章三重積分的課后練習(xí)畫出三重積分所定義的曲面圍成的體，讓學(xué)生切實(shí)感覺(jué)的這個(gè)內(nèi)容的重要性，為后面多元函數(shù)的積分打好基礎(chǔ)。

1.強(qiáng)調(diào)空間曲面及曲線方程的一般形式?？臻g解析幾何是利用代數(shù)方法來(lái)研究及解決幾何問(wèn)題。其基本的思想是數(shù)形結(jié)合，方法是通過(guò)建立標(biāo)架，建立起空間點(diǎn)、向量與有序數(shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，曲線（面）由點(diǎn)構(gòu)成，方程由變數(shù)構(gòu)成。通過(guò)坐標(biāo)系的建立將點(diǎn)與數(shù)對(duì)聯(lián)系起來(lái)，曲線（面）和方程自然也就可以通過(guò)坐標(biāo)系結(jié)合起來(lái)。因此，研究曲線和曲面幾何方面的問(wèn)題就可以歸結(jié)為研究它們方程中代數(shù)方面的問(wèn)題了。要建立起平面曲線方程和空間曲面的方程，其基本方法都是將曲線（曲面）上的點(diǎn)所要滿足幾何方面的條件用代數(shù)式子表達(dá)出來(lái)，而連接幾何條件和代數(shù)式子的橋梁就是坐標(biāo)系，不同的是從平面推廣到空間范圍。如在平面討論平面圖形是用二元方程F（x，y）=0或一元函

啟發(fā)式教學(xué)是應(yīng)用非常廣泛的一種教學(xué)方法，通過(guò)老師的引導(dǎo)和啟發(fā)，學(xué)生能夠思考一些問(wèn)題，區(qū)別于以前的“填鴨式”和“滿堂灌”等。學(xué)習(xí)的主體應(yīng)該是學(xué)生，一定要調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與意識(shí)，第五、六節(jié)“平面及其方程”和“空間直線及其方程”主要包括以下三個(gè)內(nèi)容：（1）平面方程如何建立；（2）空間直線的方程如何建立；（3）平面和平面，直線和直線，直線和平面的夾角與它們之間的相關(guān)位置。在對(duì)向量的概念和運(yùn)算掌握較好的基礎(chǔ)上，建立平面的點(diǎn)法式方程，不過(guò)是兩向量互相垂直的具體應(yīng)用。而建立三維空間直線的方程，其實(shí)是應(yīng)用了兩個(gè)向量共線的條件。至于平面和平面，直線和直線，直線和平面的夾角以及它們的相互位置的概念，在中學(xué)立體幾何就已經(jīng)學(xué)過(guò)，只不過(guò)在這里主要應(yīng)用向量的夾角，向量的平行垂直關(guān)系，再通過(guò)向量的坐標(biāo)、曲面曲線的方程來(lái)定量研究它們。這個(gè)部分可以通過(guò)教師啟發(fā)，讓學(xué)生自己來(lái)構(gòu)建一個(gè)這樣的知識(shí)體系：（1）空間直線及平面的各種相關(guān)關(guān)系；（2）每一種相關(guān)位置要滿足的條件；（3）在每一種相關(guān)位置下需要研究什么問(wèn)題。學(xué)生在自己構(gòu)建這個(gè)知識(shí)體系的過(guò)程中，會(huì)自己動(dòng)手分析和進(jìn)行研究，而且可以自己檢驗(yàn)是否已經(jīng)掌握了相關(guān)知識(shí)，老師只適當(dāng)?shù)刈饕恍┲更c(diǎn)。通過(guò)這種教學(xué)方法，學(xué)生可以聯(lián)系以前中學(xué)的知識(shí)，體驗(yàn)向量這個(gè)工具的廣泛作用，主動(dòng)自己參與進(jìn)來(lái)，主動(dòng)自己探索，在學(xué)習(xí)過(guò)程中感覺(jué)輕松而充實(shí)，能從中體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

四、充分使用現(xiàn)代教育技術(shù)手段

現(xiàn)代教育技術(shù)的快速發(fā)展加快了課程改革的進(jìn)度。利用現(xiàn)代教育技術(shù)多媒體的輔助教學(xué)，一方面有利于提高課堂教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量，另一方面有利于提高學(xué)生的空間想象能力。譬如，針對(duì)空間解析幾何中的柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面等這些內(nèi)容，可以根據(jù)柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面有比較突出的幾何特征這個(gè)特點(diǎn)，利用Maple、Mathematica和Flash等軟件畫出它們的圖像，再用動(dòng)畫的形式來(lái)展現(xiàn)圖像是怎么形成的。通過(guò)系統(tǒng)講解可以讓學(xué)生受到啟發(fā)，充分理解所講的內(nèi)容。這樣既能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又能培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

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