高中立體幾何解題研究

魏胤呈 劉丹

摘 要：高中立體幾何主要是對(duì)我們高中生的空間想象能力、邏輯思維能力等進(jìn)行培養(yǎng)，在高考中，立體幾何也是考察的重點(diǎn)內(nèi)容之一，因此高中立體幾何的解題有著重要的意義。本文主要從高中生的角度對(duì)高中立體幾何進(jìn)行研究和分析，對(duì)其中的解題方法和思路進(jìn)行了探討，對(duì)提高高中生立體幾何解題能力有著一定的影響。

關(guān)鍵詞：立體幾何；解題；研究

在新課標(biāo)的要求下，高中立體幾何的教學(xué)有了新的教學(xué)目標(biāo)，在進(jìn)行高中立體幾何的解題過(guò)程中，就是對(duì)解題方法的不斷重復(fù)和鞏固。個(gè)人認(rèn)為在高中立體幾何解題過(guò)程中，應(yīng)該培養(yǎng)的是我們學(xué)生的解題能力，我們應(yīng)該如何去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題。通過(guò)立體幾何來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，培養(yǎng)自己的空間想象能力和數(shù)學(xué)思維能力。

一、高中立體幾何解題理論基礎(chǔ)

對(duì)高中立體幾何問(wèn)題進(jìn)行解決是一個(gè)學(xué)習(xí)的過(guò)程，不僅僅是對(duì)以往所學(xué)的知識(shí)的運(yùn)用，同時(shí)也是一個(gè)全新的學(xué)習(xí)過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，我們不斷的進(jìn)行假設(shè)、驗(yàn)證，最終得到正確的答案。數(shù)學(xué)思想方法基礎(chǔ)在立體幾何的教學(xué)中也是至關(guān)重要的，在解決一個(gè)立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)學(xué)思想被反復(fù)的應(yīng)用?？梢哉f(shuō)數(shù)學(xué)思想是一個(gè)問(wèn)題的靈魂，運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)。具體而言，數(shù)學(xué)思想有函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)思想和歸納類(lèi)比思想等。種種不同的數(shù)學(xué)思想為高中立體幾何問(wèn)題的解決奠定了良好的理論基礎(chǔ)。我們只有不斷的對(duì)各種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行熟練的運(yùn)用才能不斷的提高自身的立體幾何解決問(wèn)題的能力。

二、從學(xué)生的角度看高中立體幾何學(xué)習(xí)

1.學(xué)習(xí)手段單一，影響學(xué)習(xí)效果

現(xiàn)在，高中立體幾何的學(xué)習(xí)方式過(guò)于單一，教師不能根據(jù)立體幾何的特點(diǎn)選擇有效的教學(xué)手段，黑板和口授是最為主要的學(xué)習(xí)方式，這樣的學(xué)習(xí)方式是不能滿(mǎn)足我們高中生對(duì)于立體幾何空間想象的要求，也不能對(duì)于教師所描述的物體進(jìn)行想象和理解，學(xué)習(xí)效果不明顯。久而久之，我們對(duì)于高中立體幾何的問(wèn)題感到極為頭疼，學(xué)習(xí)興趣也是逐漸的喪失。學(xué)習(xí)手段單一是直接影響學(xué)習(xí)效果的原因之一，我們無(wú)法克服對(duì)于空間想象的困難，相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)和概念理解不透徹，導(dǎo)致上課聽(tīng)課效果差。

2.空間想象能力不足

與真實(shí)的圖形結(jié)構(gòu)相比較，立體幾何對(duì)于我們的空間想象力的要求比較高，而整體來(lái)看，我們的空間想象能力較差，還是不能真正的理解立體幾何與真實(shí)圖形之間的差異，想要將立體幾何圖形轉(zhuǎn)化為語(yǔ)言更是比較困難。比如，在立體幾何中，一些看似不平行的線(xiàn)段，在實(shí)際的圖形中是平行的，我們對(duì)此理解困難，導(dǎo)致很難解決好立體幾何問(wèn)題。還有在立體幾何題目中，經(jīng)常需要去證明一些線(xiàn)段之間是相互垂直的，但是在所給圖形中看起來(lái)是不垂直的，這樣讓我們?nèi)プC明就會(huì)產(chǎn)生困惑，這些問(wèn)題都是因?yàn)槲覀儗?duì)于立體幾何的空間想象能力不足，不能充分的理解問(wèn)題，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)困難。

3.立體幾何概念的理解能力較差

在立體幾何中，一些概念是十分重要的，是為以后深入學(xué)習(xí)立體幾何的保障，然而因?yàn)槲覀兏咧猩目臻g想象能力不足，理解概念的能力較差，很多時(shí)候都是采用死記硬背的方式，無(wú)法對(duì)于立體幾何的概念徹底理解，導(dǎo)致在解題的過(guò)程中碰到種種問(wèn)題，只能生搬硬套相關(guān)的公式，最后往往是無(wú)法得到正確的結(jié)果。因此，提高我們的立體幾何概念理解能力和空間想象能力是解決問(wèn)題，提高立體幾何能力的根本。

三、立體幾何解題常用方法分析

1.數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法是我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題中常用的方法之一，將數(shù)學(xué)問(wèn)題和幾何圖像相互轉(zhuǎn)化，將一些抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)音通過(guò)直觀(guān)的圖像來(lái)表達(dá)，這樣能更加容易理解，化抽象為具體，將一些復(fù)雜的立體幾何問(wèn)題簡(jiǎn)單化。數(shù)形結(jié)合法的基本思路是根據(jù)題目中數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的立體幾何，在利用圖形之間的特點(diǎn)和規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題，或者是將一些復(fù)雜的圖像利用代數(shù)的形式表達(dá)出來(lái)，更加容易的解決問(wèn)題。

具體案例，如圖1所示：在一個(gè)3m×4m×5m的房間中，一只螞蟻想要從長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)C?，計(jì)算螞蟻爬行的最短距離。

面對(duì)此類(lèi)問(wèn)題，我們首先應(yīng)該想到的是這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)最短距離的問(wèn)題，因此，將空間立體幾何轉(zhuǎn)化為平面時(shí)是解決問(wèn)題的最簡(jiǎn)單有效的方式，數(shù)形結(jié)合法在此過(guò)程中就能得到充分的利用。

2.向量法

在新課標(biāo)立體幾何解題教學(xué)中，向量法也是我們解決立體幾何問(wèn)題的重要方法之一。利用三視圖和斜二測(cè)圖，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)，最后使用向量法進(jìn)行處理，可以大大降低立體幾何的難度。在運(yùn)用向量法解決問(wèn)題的過(guò)程中，主要是對(duì)向量的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用。

在具體的向量問(wèn)題中，向量之間的夾角和相關(guān)向量之間的垂直、平行關(guān)系都可以轉(zhuǎn)化為向量之間坐標(biāo)的運(yùn)算，尤其是在求解異面直線(xiàn)間距離問(wèn)題時(shí)，利用法向量，通過(guò)向量之間的計(jì)算來(lái)求解答案。向量法在立體幾何的解題中有著重要的地位，很多無(wú)法直接求解的問(wèn)題都可以利用向量法來(lái)解決，在一些選擇填空中利用向量法不僅可以節(jié)省時(shí)間，同時(shí)還能大大提高答案的正確率。

3.割補(bǔ)法

通過(guò)對(duì)幾何圖形的分割或補(bǔ)充來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題的方式就是割補(bǔ)法，這種解題方法蘊(yùn)含著一種構(gòu)造的數(shù)學(xué)思想，也是對(duì)立統(tǒng)一辯證思想的具體表現(xiàn)。割補(bǔ)法中的補(bǔ)形法是將原來(lái)的幾何圖像補(bǔ)充為一個(gè)新的幾何體，便于觀(guān)察和解題。而分割法則是將原來(lái)的幾何體分割為多個(gè)我們所熟悉的幾何體，這樣能夠更加便于問(wèn)題的解決。在高中立體幾何中，利用割補(bǔ)法來(lái)進(jìn)行解決實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于我們的立體思維的培養(yǎng)和拓展有著一定的意義。

具體案例：如圖2所示，一個(gè)被平面所截的圓柱體，在被截之后，側(cè)面最長(zhǎng)母線(xiàn)為5，最短母線(xiàn)為2，底面半徑為3，求該幾何體的體積。

對(duì)于這樣的問(wèn)題，我們可以運(yùn)用割補(bǔ)法將兩個(gè)相同的幾何體想拼接，作為一個(gè)完整的圓柱體，這樣就能利用圓柱體的體積公式來(lái)簡(jiǎn)單的解決問(wèn)題。將問(wèn)題簡(jiǎn)單化就是利用割補(bǔ)法的意義所在。

四、立體幾何解題的建議

1.利用多媒體教學(xué)，提高學(xué)習(xí)效率

我們高中生的空間想象能力和邏輯分析能力還是有一定的缺陷，因此在觀(guān)察事物或解題的過(guò)程中會(huì)喜歡比較直觀(guān)的方法。往往立體幾何中復(fù)雜的邏輯分析和抽象的圖像會(huì)讓我們望而祛步，枯燥而無(wú)趣的學(xué)習(xí)過(guò)程也會(huì)使我們學(xué)習(xí)興趣不高。因此，利用多媒體教學(xué)能夠充分的解決抽象和邏輯分析復(fù)雜的問(wèn)題，在多媒體教學(xué)中，通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示能夠?qū)⒘Ⅲw幾何的演變生動(dòng)、直觀(guān)的展示在我們的面前。在多媒體設(shè)備上，立體幾何與實(shí)物相結(jié)合，對(duì)幾何體的特征進(jìn)行分析，總結(jié)其特點(diǎn)，這樣視聽(tīng)結(jié)合的方式能夠大大提高我們的學(xué)習(xí)效率。在立體幾何概念、定理和公式方面，應(yīng)該利用多媒體資源和信息，將難以理解的概念和定理、公式等進(jìn)行演示，幫助我們來(lái)充分理解，從而提高立體幾何解題效率。

2.立體作圖，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維

我們?cè)诔踔兴鶎W(xué)的平面知識(shí)對(duì)學(xué)習(xí)立體幾何有著一定的阻礙，思維還停留在平面思維中，沒(méi)有空間想象的思維，在遇到空間幾何圖形時(shí)首先想到的就是平面圖形，因此，在平時(shí)的做題和訓(xùn)練中，就應(yīng)該培養(yǎng)我們進(jìn)行立體作圖，對(duì)其空間思維進(jìn)行培養(yǎng)，讓我們逐漸的適應(yīng)空間中的異面直線(xiàn)和圖形旋轉(zhuǎn)等問(wèn)題。首先，教師應(yīng)該帶領(lǐng)我們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單立體圖像的學(xué)習(xí)，在紙上將自己所看到的立體圖形畫(huà)出來(lái)，這樣由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐漸的培養(yǎng)空間立體思維。其次，教師應(yīng)該逐漸的培養(yǎng)我們的識(shí)圖能力，在實(shí)際題目中，根據(jù)所提示的信息，將需要的圖形畫(huà)出來(lái)，以便于解題。

3.加強(qiáng)我們的理解與應(yīng)用能力

對(duì)于立體幾何的概念、定理和公式的充分理解是進(jìn)行熟練應(yīng)用的基礎(chǔ)，教師需要帶領(lǐng)我們弄清楚各個(gè)概念、定理和公式之間的關(guān)系，將所學(xué)的知識(shí)形成一個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，在實(shí)際做題的過(guò)程中，我們可以利用形成的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行熟練運(yùn)用。在解題過(guò)程中，有意識(shí)的培養(yǎng)我們的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，靈活的運(yùn)用公式，同時(shí)在做題的過(guò)程中對(duì)概念、定理和公式作進(jìn)一步的加深理解。

五、結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于高中立體幾何的解題個(gè)人認(rèn)為是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在現(xiàn)代化信息技術(shù)如此發(fā)達(dá)的今天，教師應(yīng)該充分的利用多媒體設(shè)備來(lái)幫助提高立體幾何的學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)我們高中生對(duì)于立體幾何的學(xué)習(xí)興趣，讓我們進(jìn)行主動(dòng)的學(xué)習(xí)，幫助我們靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)空間想象能力和邏輯思維能力。

參考文獻(xiàn)：

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（作者單位：成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）