淺談基本概念對(duì)于考研數(shù)學(xué)的重要性

李瑩瑩

摘 要：概念對(duì)于大學(xué)數(shù)學(xué)就像骨架對(duì)于一個(gè)人的身體，沒了骨架，一個(gè)人怎么站立得起來？近年來，考研數(shù)學(xué)越來越重視對(duì)基本概念的考查，本文通過分析高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)重要考點(diǎn)的分析思路，闡明要想學(xué)好數(shù)學(xué)，基本概念非常重要，牢固掌握基本概念是學(xué)好數(shù)學(xué)，做好數(shù)學(xué)的前提。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；基本概念；隨機(jī)變量

中圖分類號(hào)：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2016）01-0119-01

數(shù)學(xué)是工科、經(jīng)濟(jì)管理、農(nóng)學(xué)等專業(yè)考研必考的課程，試卷滿分150分，涉及到高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三個(gè)部分的知識(shí)，從近些年的考題分析看，試題越來越重視對(duì)基本概念、基本原理、方法的考察，很多計(jì)算也都是概念的計(jì)算。大學(xué)數(shù)學(xué)的信息含量大，但對(duì)于很多同學(xué)來說進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)仍然沿用高中的學(xué)習(xí)方法，死記公式，偏重于解題的技巧性，而忽視了基本概念，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不理想。實(shí)際上概念對(duì)于大學(xué)數(shù)學(xué)就像骨架對(duì)于一個(gè)人的身體，沒了骨架，一個(gè)人怎么站立得起來？因此，牢固掌握基本概念是學(xué)好數(shù)學(xué)，做好數(shù)學(xué)的前提。

高數(shù)的主要部分是微積分，因此導(dǎo)數(shù)、微分、積分的概念是同學(xué)們一定要掌握的，教材及各種參考書籍都以他們?yōu)榭键c(diǎn)設(shè)計(jì)了很多題目。以導(dǎo)數(shù)的定義為例，很多同學(xué)都對(duì)高中基本公式求導(dǎo)的方法記憶深刻，而忽視了定義才是所有導(dǎo)數(shù)公式的根源。

例1 已知f（x）是周期為5的連續(xù)函數(shù)，且在x=0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)滿足關(guān)系式

f（1+sinx）-3f（1-sinx）=8x+°（x），

且f（x）在x=1處可導(dǎo)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（6，f（6））處的切線方程[1]。

分析：（1）切點(diǎn)已知，求得切線斜率，即得切線方程，導(dǎo)數(shù)f′（6）就是切線斜率；

（2）周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為周期函數(shù)，且周期不變，f′（6）=f′（1）；

（3）f′（1）與f（1）有關(guān)，先求f（1）=0；

（4）利用導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合已知關(guān)系式，求得f′（1）=2。

以上分析過程每一步驟都緊扣數(shù)學(xué)中的基本概念，而且當(dāng)我們解題力不從心時(shí)，從基本概念著手思考是行之有效的方法。我們都知道對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，應(yīng)該用定義去求解；再形如：f（x）=（x-a）g（x），g′（a）存在，求f′（a），題目中并沒有給出g′（x）存在，乘法法則是萬萬不能用的。參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)公式不建議同學(xué)們?nèi)ケ?，如果理解了二階導(dǎo)數(shù)的概念，計(jì)算時(shí)自己處理，反而簡單很多。

線性代數(shù)中特征值和特征向量是非常重要的考點(diǎn)，特征值特征向量的計(jì)算方法來源于公式。例如設(shè)α=（1，1，-1）T是矩陣A的特征向量，求A中的參數(shù)。解題思路：Aα=λα，即可求得未知參數(shù)及λ，應(yīng)用的正是特征值特征向量的定義。向量的線性相關(guān)性定理、結(jié)論很多，初學(xué)時(shí)壓力很大，但這些結(jié)論和定理基本都是由線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義得出，結(jié)合定義去記很容易掌握。

很多同學(xué)都認(rèn)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是考研數(shù)學(xué)中最難掌握的部分，其實(shí)不然。概率統(tǒng)計(jì)相對(duì)高數(shù)來說知識(shí)含量相對(duì)較少，考點(diǎn)集中，計(jì)算難度較小，但仍要求掌握其基本概念。隨機(jī)變量函數(shù)的分布是難度較大的知識(shí)點(diǎn)，一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布都有公式，首先公式不好記，再則公式也有成立的條件，不能處理所有的題目。根據(jù)分布函數(shù)的定義，有如下的處理步驟（以一維為例）：

（1）FY（y）=P{Y≤y}=P{g（X）≤y}

=P{X∈Iy}=∫IyfX（x）dx

（2）fY（y）=FY′（y）。

在計(jì)算FY（y）時(shí)根據(jù)題目的要求，需對(duì)y進(jìn)行分段，分段的依據(jù)是y不同，積分區(qū)間不同，被積函數(shù)不同，但無論y如何變化，我們每次都是在區(qū)間（-∞，y）上積分，因?yàn)榉植己瘮?shù)是Y≤y的概率，計(jì)算過程中把握住定義是關(guān)鍵。

條件概率與兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易混淆，根據(jù)條件概率的定義，已經(jīng)發(fā)生的事件是條件，兩者的本質(zhì)區(qū)別是樣本空間不同。

例2 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X的概率分布為P{X=i}=13，i=-1，01，Y的概率密度函數(shù)fY（y）=1，0≤y<10，其他，記Z=X+Y，求P{Z≤12|X=0}[2].

解：P{Z≤12|X=0}=P{X+Y≤12|X=0}=P{Y≤12}=∫120dy=12

錯(cuò)誤解法：根據(jù)條件概率公式P{Z≤12|X=0}=P{X+Y≤12，X=0}P{X=0}

在高等數(shù)學(xué)中若x=0，x+y≤12等價(jià)于y≤12，則上式等于P{Y≤12}P{X=0}=32.顯然不對(duì)。錯(cuò)誤的原因在于P{Z≤12|X=0}=P{Y≤12}，而 P{X+Y≤12，X=0}≠ P{Y≤12}，沒有理解條件概率的意義，已經(jīng)發(fā)生的事件才是條件。

大學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)含量比起中學(xué)要豐富的多，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，必須記住“基本概念非常重要”[3]，所有問題從本源學(xué)起，重概括，重聯(lián)系，才能靈活變通，化繁為簡，快樂學(xué)習(xí)。

（作者單位：長江大學(xué)文理學(xué)院）

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（第六版），高等教育出版社，2007.4.

[2]范培華.考研數(shù)學(xué)歷年試題解析（數(shù)學(xué)三），中國政法大學(xué)出版社，2015.1.

[3]鄒群.考研高等數(shù)學(xué)專題講解，同濟(jì)大學(xué)出版社，2015.1.