直線與雙曲線的位置關(guān)系

馮赟

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何中的重要內(nèi)容，其中直線與雙曲線的位置關(guān)系尤其復(fù)雜，同學(xué)們難以處理，本文針對直線與雙曲線的位置關(guān)系的常規(guī)題型進(jìn)行了如下的研究.

[過已知點(diǎn)的直線與雙曲線的位置關(guān)系]

在平面直角坐標(biāo)系中找出已知點(diǎn)的位置，然后再分析過已知點(diǎn)的直線中滿足題意的情況，特別要注意幾個特殊位置，與坐標(biāo)軸垂直、與漸近線平行或垂直、傾斜角小于漸近線的傾斜角、傾斜角大于漸近線的傾斜角.

例1 過點(diǎn)[P（7，5）]與雙曲線[x27-y225=1]有且只有一個公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們的方程.

解法一 若直線的斜率不存在時，則[x=7]，此時僅有一個交點(diǎn)[（7，0）]，滿足條件；

若直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為[y-5=k（x-7）]，則[y=kx+5-k7]，

聯(lián)立[y=kx+5-k7x27-y225=1]

[?（25-7k2）x2-14k（5-k7）x-7×（5-k7）2-175=0，]

當(dāng)[k=577]時方程無解，不滿足條件；

當(dāng)[k=-577]時方程有一解，滿足條件；

當(dāng)[k≠±577]時，令[Δ=0]，解得[k]無解.

∴ 滿足條件的直線有兩條：[x=7]和[y=-577x-10].

解法二 P點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，過P點(diǎn)與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線有兩條，一條是x軸的垂線，一條是平行于漸近線的直線，再根據(jù)相關(guān)條件解答（過程略，下同）.

例2 過點(diǎn)P（1，1）與雙曲線[x29-y216=1]只有一個公共點(diǎn)的直線共有 條.

解法一 若直線的斜率不存在，直線的方程為：[x=1]，與雙曲線無公共點(diǎn)，舍去；

若直線的斜率存在， 設(shè)直線的方程為：[y-1=k（x-1）]，

∴ [y-1=k（x-1）x29-y216=1]

[?（16-9k2）x2+18k（k-1）x-9k2+18k-153=0]，

當(dāng)[16-9k2=0]，即[k=±43]時，方程有惟一解，滿足題意；

當(dāng)[16-9k2≠0]，即[k≠±43]時，[Δ=0]得到[k]一定有兩解，滿足題意.

綜合知，符合題意的直線有四條.

解法二 P點(diǎn)在雙曲線外且不在漸近線上，過P點(diǎn)與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的情況有四種：與兩條漸近線分別平行、與雙曲線相切.

結(jié)論 已知雙曲線[x2a2-y2b2=1]，過點(diǎn)P（m，n）與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線有幾條？與該點(diǎn)的位置有何關(guān)系？

若點(diǎn)P（m，n）在雙曲線上，與雙曲線有一個公共點(diǎn)的直線有三條；

若點(diǎn)P（m，n）在雙曲線內(nèi)（含焦點(diǎn)），與雙曲線有一個公共點(diǎn)的直線有兩條；

若點(diǎn)P（m，n）在雙曲線外，

（1）且若在漸近線上的點(diǎn)外，與雙曲線有一個公共點(diǎn)的直線有四條；

（2）且若在漸近線（除原點(diǎn)）上，與雙曲線有一個公共點(diǎn)的直線有兩條；

（3）且若在原點(diǎn)，與雙曲線有一個公共點(diǎn)的直線不存在.

[根據(jù)過一個定點(diǎn)的直線與雙曲線的位置關(guān)系求斜率或傾斜角的取值范圍]

分析一條已知直線與雙曲線的位置關(guān)系，然后再通過這個關(guān)系去分析變量的取值范圍，這種題型在橢圓中出現(xiàn)很多，但是在雙曲線中問題會變復(fù)雜，因?yàn)殡p曲線出現(xiàn)了漸近線，所以要考慮與漸近線平行或重合的情況.

例3 已知直線[y=kx+1]與雙曲線[3x2-y2=1]，求[k]為何值時，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)？

解法一 直線過定點(diǎn)（0，1），該點(diǎn)在雙曲線外，且不在漸近線上，所以與雙曲線有一個公共點(diǎn)的直線有四條.

解法二 [y=kx+1，3x2-y2=1]

[?3x2-kx+12=1?3-k2x2-2kx-2=0]，

若[3-k2=0，]即[k=±3]，此時直線與雙曲線相交于一個公共點(diǎn)；

若[3-k2≠0，Δ=4k2+4×2×3-k2=-4k2+24=0]，即[k=±6]，此時直線與雙曲線相切于一點(diǎn).

∴[k=±3]或[k=±6]時，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn).

例4 雙曲線[x2-y2=1]的左焦點(diǎn)為[F1]，過點(diǎn)[F1]的直線[m]與雙曲線的左支有且只有一個交點(diǎn)，則直線[m]傾斜角的取值范圍是 .

解法一 顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：[y=k（x+2）]，

∴[y=k（x+2），x2-y2=1?（k2-1）x2+22k2x+2k2+1=0]，

當(dāng)[k2-1=0?k=±1]時，[x=-324]，惟一交點(diǎn)且在左支上，成立；

當(dāng)[k2-1≠0?k≠±1]時，[Δ>0]恒成立，不滿足題意.

綜合知，[k=±1]，此時[α=45°]或[α=135°].

解法二 焦點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，過該點(diǎn)與雙曲線左支只有一個公共點(diǎn)的情況就是分別于兩條漸近線平行的時候.

結(jié)論 設(shè)直線[l]：[y=kx+m（k≠0）]，

雙曲線：[x2a2-y2b2=1]，

[?（b2-a2k2）x2+2kma2x-a2（m2+b2）=0].

（1）二次項(xiàng)系數(shù)為0時，直線與雙曲線的漸近線平行或重合. 若重合，無公共點(diǎn)；若平行，有一個公共點(diǎn).

（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0時，上式為一元二次方程.

[Δ]>0[?]直線與雙曲線有兩個公共點(diǎn)；

[Δ]<0[?]直線與雙曲線無公共點(diǎn)；

[Δ]=0[?]直線與雙曲線有一個公共點(diǎn).

[直線與雙曲線交于兩點(diǎn)的不同情況中分析參數(shù)的取值范圍]

對于直線與橢圓交于兩點(diǎn)的情況，同學(xué)們很好掌握，只需要將直線與方程聯(lián)立，化簡后根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)不為0，同時[Δ>0]即可. 但是在直線與雙曲線中，情況就會復(fù)雜很多，它需要分為兩個交點(diǎn)在同在左支、同在右支或者左右支各一個討論.

例5 直線[y=kx+2]與雙曲線[x2-y2=6]的右支交于兩個不同的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)[k]取值范圍是（ ）

A. [-153，153] B. [0，153]

C. [-153，0] D. [-153，-1]

分析 在直線與橢圓的位置關(guān)系中，同學(xué)們處理直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)時非常輕松，類比遷移到直線與雙曲線的位置關(guān)系的時候很容易出錯. 直線與雙曲線若有兩個公共點(diǎn)的情況，有可能兩個公共點(diǎn)在同一支上，也有可能在不同支上，這時除了考慮[Δ>0]外，還有考慮韋達(dá)定理.

解 聯(lián)立 [y=kx+2x2-y2=6?k2-1x2+4kx+10=0]

[?k2-1≠0Δ>0x1x2>0x1+x2>0?-153答案 D

結(jié)論 設(shè)直線[l]：[y=kx+m（k≠0）]，

雙曲線：[x2a2-y2b2=1]相交于兩點(diǎn)時：

聯(lián)立[y=kx+mx2a2-y2b2=1]

[?（b2-a2k2）x2+2kma2x-a2（m2+b2）=0].

若兩個公共點(diǎn)在同一支上：

（1）若都在右支上[b2-a2k2≠0，Δ>0，x1·x2>0，x1+x2>0，]

（2）若都在左支上[b2-a2k2≠0，Δ>0，x1·x2>0，x1+x2<0，]

若兩個公共點(diǎn)在不同支上：[b2-a2k2≠0，Δ>0，x1·x2<0，]

[練習(xí)]

1.已知過點(diǎn)[P（1，2）]的直線[l]與雙曲線[C： 2x2-y2][=2]有且只有一個交點(diǎn)，則[l]的斜率[k]的取值是 .

2.雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為[l1，l2]，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于[l1]的直線分別交[l1，l2]于A，B兩點(diǎn).已知[OA，AB，OB]成等差數(shù)列，且[BF]與[FA]同向.

[x][B][F][A][l2][l1][O][y]

（1）求雙曲線的離心率；

（2）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程.

[參考答案]

1.設(shè)直線[l]的方程為[y-2=k（x-1）]，

代入雙曲線[C]的方程，整理得，

[（2-k2）x2+2（k2-2k）x-k2+4k-6=0（?）].

（1）當(dāng)[2-k2=0，]即[k=±2]時，直線與雙曲線的漸近線平行，此時只有一個交點(diǎn).

（2）當(dāng)[2-k2≠0]時，令[Δ=0]得，[k=32.] 此時只有一個公共點(diǎn).

（3）又點(diǎn)[（1，2）]與雙曲線的右頂點(diǎn)[（1，0）]在直線[x=1]上，而[x=1]為雙曲線的一條切線.

∴當(dāng)[k]不存在時，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)[k=±2]或[k=32]或[k]不存在時，[l]與[C]只有一個交點(diǎn).

2.（1）設(shè)雙曲線方程為[x2a2-y2b2=1a>0，b>0]，[OA=m-d]，[AB=m]，[OB=m+d]，

由勾股定理可得：

[m-d2+m2=m+d2]，

解得[d=m4]，

[tan∠AOF=ba]，

[tan∠AOB=tan2∠AOF=ABOA=43]，

由倍角公式得

[tan2∠AOF=2tan∠AOF1-tan2∠AOF][=2ba1-ba2=43].

解得[ba=12]，[a=2b]，[c=5b]，則離心率[e=52].

（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線方程為[y=-abx-c]，

與雙曲線方程[x2a2-y2b2=1]聯(lián)立，

將[a=2b]，[c=5b]代入，化簡有[x2-x+21=0]，

則[x1+x2=325b15]，[x1x2=28b25]，

AB被雙曲線所截得的線段長為

[4=1+ab2x1-x2=1+ab2x1+x22-4x1x2]，

將上式代入，有：[4=5325b152-4?28b25]

解得：[b=3]，則有[a=6]，

最后求得雙曲線方程為[x236-y29=1].