切比雪夫和切比雪夫多項(xiàng)式的故事

蔣迅 王淑紅

切比雪夫是俄國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開創(chuàng)者之一，他是優(yōu)秀的純粹數(shù)學(xué)家，也是名副其實(shí)的應(yīng)用數(shù)學(xué)家。他創(chuàng)建的彼得堡學(xué)派具有鮮明的理論聯(lián)系實(shí)際的特色。著名的切比雪夫多項(xiàng)式就是從連桿設(shè)計(jì)中升華出來的理論精華。

19世紀(jì)前，俄國數(shù)學(xué)在歐洲一直處于落后地位，切比雪夫（Pafnuty Chebyshev，1821—1894）的出現(xiàn)從根本上改變了這種格局。作為一流的數(shù)學(xué)家和力學(xué)家，切比雪夫在多個(gè)領(lǐng)域都有所建樹，比如在數(shù)論方面推進(jìn)了素?cái)?shù)分布問題的研究，在概率論方面用初等方法證明了大數(shù)定律，在函數(shù)逼近論中建立了切比雪夫多項(xiàng)式，在積分方面證明了微分二項(xiàng)式可積性條件定理等。他注重培養(yǎng)學(xué)生，團(tuán)結(jié)有共同志趣的人士，創(chuàng)建了俄國最早的數(shù)學(xué)學(xué)派——彼得堡學(xué)派。

一個(gè)富末代的童年

切比雪夫出生于俄國卡盧加省博羅夫斯克的奧卡多沃。他的家庭是名副其實(shí)的貴族家庭，祖輩有很多人立過戰(zhàn)功。父親列夫·切比雪夫（Lev Pavlovich Chebyshev）是沙皇時(shí)代的一名軍官。列夫和妻子一共育有9個(gè)孩子，切比雪夫排行第二。切比雪夫身體殘疾，從小就要借助一根拐棍行走，無法與其他的孩子一樣自由自在地玩耍，大多時(shí)候自得其樂，偶爾會(huì)用小刀子制作心愛的玩具。不過，這種身體的局限反而給了他心靈上更大的自由，他可以在獨(dú)處中多一些暢想，對(duì)他以后走上獨(dú)立的研究道路不無益處。

19世紀(jì)初的俄國還不太強(qiáng)大，當(dāng)時(shí)的俄國人對(duì)歐洲其他國家既害怕又羨慕。一些無知的人主張閉關(guān)鎖國來抵御地域和文化侵略，而另一些受過良好教育的人了解歐洲的文化、文學(xué)和科學(xué)，主張俄國應(yīng)該更加開放和西化。幸運(yùn)的是，切比雪夫的父母是后者，持開明的態(tài)度，使他從小受到了良好的教育，也有助于他開放思想與博大胸襟的養(yǎng)成。他在家里啟蒙，母親和一位聰慧的表姐為他授課。母親教他讀書寫字，表姐教他法語、算術(shù)和唱歌，這為他以后了解法國乃至世界數(shù)學(xué)的研究進(jìn)展創(chuàng)造了條件。

1832年，他們舉家搬到俄國的科學(xué)和文化中心莫斯科。他的父母繼續(xù)讓他在家里接受教育，所不同的是，給他聘請了當(dāng)時(shí)莫斯科最好的家庭老師波戈列利斯基（P.N.Pogorelski）。這位老師文理兼修，寫作、數(shù)學(xué)和物理都很棒，寫過幾本暢銷的初等數(shù)學(xué)教科書，他為小切比雪夫打下了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)和人文基礎(chǔ)。

不畏家道中落，畢生追求數(shù)學(xué)

1837年，切比雪夫進(jìn)人了著名的莫斯科大學(xué)。受波戈列利斯基的影響，他選擇了哲學(xué)系下屬的數(shù)學(xué)物理專業(yè)。莫斯科大學(xué)崇尚自由交流的文化氛圍，對(duì)于沒有上過正式學(xué)校的切比雪夫來說，一切都是新鮮的。教育家梅貽琦（1889—1962）曾說過：“所謂大學(xué)非所謂大樓之謂也，有大師之謂也?！蹦箍拼髮W(xué)就是一個(gè)藏龍臥虎的地方。其中，對(duì)切比雪夫影響最大的當(dāng)屬應(yīng)用數(shù)學(xué)家布拉什曼（Nikolai Brashman，1796—1866）。

1841年，切比雪夫大學(xué)畢業(yè)，但此時(shí)父母的經(jīng)濟(jì)狀況急轉(zhuǎn)直下，已無力再支持他的生活等各項(xiàng)費(fèi)用。對(duì)于一個(gè)有堅(jiān)定信念、獨(dú)立思想而又堅(jiān)韌不拔、懂得吃苦耐勞的人來說，這些困難就是為成長所經(jīng)受的歷練。他憑著對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛，毅然決定留在莫斯科繼續(xù)研讀數(shù)學(xué)，同時(shí)負(fù)擔(dān)起自己的費(fèi)用和兩個(gè)弟弟的部分教育費(fèi)用。

切比雪夫用6個(gè)月通過了資格考試，在布拉什曼的指導(dǎo)下攻讀碩士學(xué)位，1846年通過了碩士論文答辯。在當(dāng)時(shí)的俄國，要想在大學(xué)里找到教職，論文通常是雷打不動(dòng)的敲門磚。他1843年的論文實(shí)際上就是為在莫斯科找到一個(gè)教職而作，但當(dāng)時(shí)俄國的情況并不樂觀，直到1847年，他才獲得了圣彼得堡大學(xué)的一個(gè)特許任教資格位置，從此開始了在大學(xué)執(zhí)教生涯。他熱心教授學(xué)生，注重科學(xué)研究，加強(qiáng)與國際數(shù)學(xué)界的交流，一手創(chuàng)建了彼得堡學(xué)派，其成員和成果對(duì)俄國的近現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大影響。這個(gè)學(xué)派與而后的莫斯科學(xué)派側(cè)重于理論數(shù)學(xué)不同，其鮮明特色是側(cè)重理論聯(lián)系實(shí)際。

從工業(yè)設(shè)計(jì)升華出一流數(shù)學(xué)成果

毫無疑問，切比雪夫是最優(yōu)秀的純粹數(shù)學(xué)家之一，實(shí)際上他也是名副其實(shí)的應(yīng)用數(shù)學(xué)家。他具有在看似平凡的東西里發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的天賦，并能把它融匯到遠(yuǎn)超數(shù)學(xué)本身最初應(yīng)用的理論之中。他認(rèn)為：“科學(xué)在實(shí)踐中找到可靠的指南?！敝那斜妊┓蚨囗?xiàng)式就是從連桿設(shè)計(jì)中升華出來的理論精華。

1856年，切比雪夫在一次演講中解釋了他是如何看到純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)之間的關(guān)系的。他說：“理論和實(shí)踐日益相互靠近的觀點(diǎn)帶來了最有益的結(jié)果，絕非只是實(shí)踐一方所取得；在此影響下，科學(xué)正在進(jìn)步，因?yàn)檫@種靠近會(huì)衍生出新的研究對(duì)象或者使早已熟知的學(xué)科產(chǎn)生新的內(nèi)容。盡管在過去3個(gè)世紀(jì)以來，由于偉大數(shù)學(xué)家們的工作，數(shù)學(xué)取得了長足的進(jìn)展，但實(shí)踐清楚地揭示了其在許多方面并不完備；這就為科學(xué)提出了具有本質(zhì)意義的新課題，讓人們?nèi)ヌ魬?zhàn)，尋找新的方法。而且，如果在新的應(yīng)用出現(xiàn)或者舊的方法得到發(fā)展之時(shí)能夠取得很多理論成果，那么當(dāng)有新的方法誕生時(shí)這些理論成果就會(huì)更加豐碩；這里，科學(xué)在實(shí)踐中找到了一個(gè)可靠指南?！?/p>

事實(shí)上，切比雪夫?qū)碚摿W(xué)和逼近論研究的新動(dòng)力源于他1852年的一次歐洲訪問。他發(fā)現(xiàn)逼近論可以應(yīng)用于力學(xué)理論和計(jì)算數(shù)學(xué)中。那次訪問使他有機(jī)會(huì)考察數(shù)學(xué)在風(fēng)車、水輪機(jī)、鐵路、煉鐵廠、蒸汽機(jī)等機(jī)械上的應(yīng)用。切比雪夫最為關(guān)注的是力學(xué)理論中的連桿機(jī)構(gòu)。這種裝置用于蒸汽機(jī)和其他機(jī)器中，能夠把一種運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變成另一種運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，這方面有一個(gè)著名的例子，瓦特（James Watt，1736—1819）把引擎中的搖臂梁的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變成了活塞桿的直線運(yùn)動(dòng)。

很多人誤以為瓦特是蒸汽機(jī)的發(fā)明者，其實(shí)他是改進(jìn)了蒸汽機(jī)的效率，使它可以更為廣泛地應(yīng)用，最終導(dǎo)致了英國和全世界的工業(yè)革命。但是瓦特的設(shè)計(jì)不是完美無缺的。問題在于，其中的指定點(diǎn)并不是真正如期望地在一條直線上運(yùn)動(dòng)，而是走的一條曲線。其結(jié)果就是在實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)密封不嚴(yán)和摩擦阻力。好在瓦特的誤差不是很大，這個(gè)設(shè)計(jì)足可以用于蒸汽機(jī)上。

切比雪夫要做的是找到一種數(shù)學(xué)方法，使得人們可以系統(tǒng)地設(shè)計(jì)連桿機(jī)構(gòu)，以產(chǎn)生人們所預(yù)期的運(yùn)動(dòng)方式，而且具有極高的準(zhǔn)確性。切比雪夫總結(jié)出的一套方法就是現(xiàn)在我們說的多項(xiàng)式函數(shù)的最佳一致逼近。他是第一位看到這個(gè)領(lǐng)域的理論和應(yīng)用之可能性的人。切比雪夫在一開始定下的目標(biāo)是設(shè)計(jì)出一種連桿，使得有一個(gè)點(diǎn)走的完全是一條直線；即使這個(gè)目標(biāo)達(dá)不到，也至少要比瓦特的設(shè)計(jì)精確度更高一些。他最終沒能做出一個(gè)完全走直線的連桿機(jī)構(gòu)，但是在1850年，他確實(shí)設(shè)計(jì)出了一個(gè)誤差不到瓦特連桿的一半的切比雪夫連桿。不同于瓦特的是，切比雪夫讓其中兩個(gè)桿相交。切比雪夫的設(shè)計(jì)最后都沒有真正用在蒸汽機(jī)上，不過他已經(jīng)不在乎這些了，因?yàn)樗淹ㄟ^這個(gè)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)理論上的新大陸。當(dāng)然切比雪夫也不是只考慮直線問題。他后來寫過很多關(guān)于連桿及其性質(zhì)的論文，還設(shè)計(jì)出許多非常精巧的連桿裝置。

1852年的出訪，促使切比雪夫?qū)懥艘幌盗袘?yīng)用數(shù)學(xué)方面的論文。其中1854年發(fā)表的《論平行四邊形的機(jī)械原理》，是他在函數(shù)逼近論方面的第一篇論文。他在這篇論文中把改進(jìn)連桿與機(jī)械力學(xué)聯(lián)系起來，構(gòu)造出一個(gè)多項(xiàng)式來逼近函數(shù)，這就是后來人們所稱的“切比雪夫多項(xiàng)式”。他還用這個(gè)新方法得到了兩個(gè)與瓦特連桿有關(guān)的結(jié)果，但他沒有給出計(jì)算的細(xì)節(jié)。他在論文末尾說，他的解釋在“下一節(jié)”里，而實(shí)際上根本沒有這樣一節(jié)。后來，他又說他沒有時(shí)間完成這篇論文。人們猜測，切比雪夫可能認(rèn)為這樣的具體例子沒有發(fā)表的價(jià)值。然而，以他這篇論文為基礎(chǔ)發(fā)展起來的理論問題產(chǎn)生了遠(yuǎn)比連桿裝置的設(shè)計(jì)更具深遠(yuǎn)意義的應(yīng)用。

連桿裝置是周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然我們最自然的想法是用三角函數(shù)來做近似計(jì)算。但是切比雪夫考慮的要更遠(yuǎn)一些，更一般些。他要把自己的方法用于有限線段上的非周期函數(shù)的近似計(jì)算。對(duì)于這種情形，更自然的選擇是泰勒級(jí)數(shù)展開。無論是周期函數(shù)的三角函數(shù)逼近，還是非周期函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)逼近，都在18世紀(jì)就有了研究。切比雪夫在上大學(xué)時(shí)就已對(duì)級(jí)數(shù)展開了較深入的研究，現(xiàn)在他要把自己對(duì)機(jī)械的興趣與他的數(shù)學(xué)背景聯(lián)系起來。我們根據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)大致了解一些來龍去脈。

在觀察活塞桿的運(yùn)動(dòng)中，切比雪夫必須要考慮活塞桿運(yùn)動(dòng)離開一條直線的最大誤差，并使這個(gè)誤差達(dá)到極小。假定活塞桿的運(yùn)動(dòng)是在x=-1和x=1之間，這個(gè)誤差用曲線y=f（x）來表示，那么他要做的就是讓這個(gè)誤差函數(shù)在[-1，1]區(qū)間上的最大值‖f‖達(dá)到極小。為了做到這點(diǎn)，他首先把函數(shù)，用它的泰勒級(jí)數(shù)在0點(diǎn)附近逼近，也就是說，用一個(gè)n次多項(xiàng)式來代替原來的函數(shù)f，不妨記這個(gè)多項(xiàng)式也是f（x），其系數(shù)都是實(shí)數(shù)，且都與連桿的設(shè)計(jì)（比如長短和相對(duì)位置）有關(guān)。

假定切比雪夫可以通過改變連桿設(shè)計(jì)來讓這些系數(shù)達(dá)到他想要的幾乎任何數(shù)值，當(dāng)然這些系數(shù)不能過于任意，比如說所有系數(shù)都是0的情況太平凡了，零常數(shù)函數(shù)沒有任何實(shí)際意義。于是他假定不是所有的系數(shù)都為0，而且最高項(xiàng)系數(shù)不是0（以確保這是n次多項(xiàng)式）。那么，最佳逼近多項(xiàng)式是什么呢？這正是切比雪夫在他1854年論文中考慮的問題。在試驗(yàn)了一次和二次多項(xiàng)式后，可以發(fā)現(xiàn)，最佳逼近多項(xiàng)式函數(shù)具有這樣的明顯特征：它們的零點(diǎn)個(gè)數(shù)都是n，最大值和最小值交錯(cuò)出現(xiàn)，并且它們的絕對(duì)值是相等的。切比雪夫思路的精彩之處在于，他發(fā)現(xiàn)，為使‖f‖達(dá)到極小，他必須選擇這樣的n次多項(xiàng)式函數(shù)f，使|f|正好取n+1次極大值，而且函數(shù)f本身交替地變換符號(hào)。切比雪夫沒有證明這個(gè)事實(shí)，也沒有說他是怎么知道這個(gè)事實(shí)的。有人認(rèn)為他是從彭賽列（Jean-Victor Poncelet）那里知道的。無論如何，現(xiàn)在他的問題變成了尋找上面描述的多項(xiàng)式。

在構(gòu)造這個(gè)函數(shù)之前，我們先聲明，這樣構(gòu)造出來的多項(xiàng)式確實(shí)是最小的。這一點(diǎn)可以嚴(yán)格地用數(shù)學(xué)推導(dǎo)來證明。這樣的多項(xiàng)式函數(shù)并不是顯而易見能找到的，需借助另外的思路，先找到具有交錯(cuò)達(dá)到極值的一組函數(shù)，然后設(shè)法通過某種變化來得到需要的多項(xiàng)式。前面說過，切比雪夫連桿做周期運(yùn)動(dòng)，應(yīng)該與三角函數(shù)有關(guān)聯(lián)。

注意到余弦函數(shù)的類似性質(zhì)，切比雪夫引入了函數(shù)T_n（x）=cos（n（cos^-1x）），可以證明這就是他要尋找的n次多項(xiàng)式函數(shù)。人們把Tⁿ（x）稱為切比雪夫多項(xiàng)式，或“第一類切比雪夫多項(xiàng)式”，因?yàn)楹髞碛职l(fā)展了一組相關(guān)的第二類切比雪夫多項(xiàng)式。符號(hào)T的采用是因?yàn)樗姆ㄎ拿鸗chebychev和德文名Tschebyschev都是以T開頭的。不過他本人并沒有直接用自己的名字來命名?，F(xiàn)在的名字是后來伯恩斯坦（SergeiNatanovich Bernstein，1880—1968）最早采用的。切比雪夫用構(gòu)造的方法找到了他要尋找的函數(shù)。其實(shí)，他構(gòu)造出的多項(xiàng)式函數(shù)是唯一滿足要求的多項(xiàng)式（除了至多相差一個(gè)倍數(shù)）。

切比雪夫顯然對(duì)自己構(gòu)造出來的這一組多項(xiàng)式頗為滿意。他沒有再繼續(xù)追求完美無瑕的連桿，而是開始用這組多項(xiàng)式來解決更多的數(shù)學(xué)問題。

那是不是說切比雪夫就不再研究連桿裝置了呢？不是的。他不但一生堅(jiān)持了這方面的研究，而且給自己的機(jī)械發(fā)明寫過許多文章。因?yàn)樗焐鷼埣?，他還為行走不方便的人設(shè)計(jì)了一臺(tái)走路機(jī)。他也設(shè)計(jì)過劃艇和機(jī)械計(jì)算器。1893年，切比雪夫的7個(gè)機(jī)械發(fā)明在芝加哥國際博覽會(huì)上展出。

貢獻(xiàn)卓著，名垂史冊

切比雪夫終生研究數(shù)學(xué)，他從一開始就瞄準(zhǔn)了俄國數(shù)學(xué)家們共同關(guān)心的問題。在數(shù)學(xué)中以他姓氏命名的名詞之多令人咋舌，比如切比雪夫三次根、切比雪夫距離、切比雪夫?yàn)V波器、切比雪夫函數(shù)等，足有幾十個(gè)。切比雪夫還通過講學(xué)、訪問以及發(fā)表文章等形式，迅速將這些成果擴(kuò)散和傳播，在整個(gè)歐洲產(chǎn)生了重要影響。

切比雪夫一生中獲得過多項(xiàng)殊榮。他在圣彼得堡大學(xué)任教35載，作為土生土長的俄羅斯學(xué)者，深受學(xué)生喜愛，培養(yǎng)了大批出色的學(xué)生，并且以他自己的卓越才能和獨(dú)特魅力吸引了一批年輕的俄國數(shù)學(xué)家圍繞在他周圍，形成了彼得堡學(xué)派，使俄羅斯數(shù)學(xué)迅速崛起。據(jù)統(tǒng)計(jì)，到2010年為止，他的學(xué)生和學(xué)生的學(xué)生……共達(dá)7483人。要知道在19世紀(jì)前，俄國科學(xué)院的數(shù)學(xué)院士都是高薪聘請來的外國數(shù)學(xué)家，而打破這一格局的便是切比雪夫和羅巴切夫斯基（Nikolai Lobaehevski，1792—1856），他們使俄國數(shù)學(xué)界重新洗牌。俄國人把切比雪夫譽(yù)為最偉大的分析學(xué)家，把他看作俄國科學(xué)的驕傲。在西方更有人把他稱為俄國數(shù)學(xué)之父。

切比雪夫開發(fā)出的逼近論在中國也有很大影響，著名逼近論專家孫永生教授所研究的有限區(qū)間上的寬度理論就是基于這套理論。多項(xiàng)式函數(shù)交錯(cuò)變號(hào)的思想在構(gòu)造極值多項(xiàng)式和寬度理論計(jì)算中發(fā)揮重要作用。

切比雪夫終生未婚，晚年自己住在一個(gè)有10間屋子的大房子里。他特別喜歡投資房地產(chǎn)，把大部分錢用在了這上面，去世時(shí)已擁有好多房子。不過他經(jīng)常從經(jīng)濟(jì)上支援一個(gè)他從未正式承認(rèn)的女兒，有時(shí)也會(huì)與女兒見面，特別是女兒嫁給了一個(gè)上校之后。1894年12月8日，他坐在圣彼得堡家中的寫字臺(tái)前，突感不適，在經(jīng)歷了一陣痛苦之后，因心臟病突發(fā)去世，終年73歲。此后，他的論文集、全集和選集先后出版，原蘇聯(lián)科學(xué)院還專門設(shè)立了切比雪夫獎(jiǎng)學(xué)金。

綜觀切比雪夫的一生，有很多方面值得我們學(xué)習(xí)和敬仰。他雖然身體有先天疾患，但身殘志不殘，一直有一個(gè)陽光進(jìn)取的心態(tài)。他出身貴族、家道中落，卻沒有因此而沮喪和彷徨，反而愈發(fā)自立和自強(qiáng)。他一路受到母親、表姐、波戈列利斯基、布拉什曼等良師指教，也薪火相承，通過自己的言傳身教將其發(fā)揚(yáng)光大，創(chuàng)建彼得堡學(xué)派。他不但學(xué)數(shù)學(xué)、愛數(shù)學(xué)、教數(shù)學(xué)，而且做數(shù)學(xué)，將理論與實(shí)踐相結(jié)合，取得震驚世界的學(xué)術(shù)成果。要知道，這并不是任何數(shù)學(xué)家都能做到的，因?yàn)檎鐢?shù)學(xué)家王元先生所言，交叉學(xué)科不簡單，需要最好的數(shù)學(xué)家去做。無疑，切比雪夫?qū)儆谧詈玫臄?shù)學(xué)家之一，他的貢獻(xiàn)已載入史冊，他的影響也必將永存。