簡化運算，適度拓展

余建國

高考中的解析幾何解答題雖然不難（很少作為壓軸題），但是得分也不容易，原因是運算很繁.因此，簡化運算是提高解答效率的首要任務(wù).本文以一道高考題為例，和同學(xué)們探討如何簡化運算，并對該高考題作適度的拓展.

接下來，我們要依次完成：①解交點A，B的坐標(biāo)以及求弦AB的長；②解弦AB的中點C的坐標(biāo)；③求線段AB的中垂線PC的方程；④解直線PC與l的交點P的坐標(biāo)；⑤求線段PC的長；⑥解含k的方程PC=2AB.

小結(jié) ①利用韋達定理，不需要解交點，即很多幾何問題可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₁+x₂，x₁x₂的方程；②利用橢圓的第二定義推得的焦點弦長公式計算焦點弦長大大減小了運算量；③有些具體的平面三角問題，直接解三角形比解析法更快.

解答完畢，感覺此題缺少點運動變化的味道.下面我們讓弦AB動起來，設(shè)AB是過橢圓右焦點F、斜率為k的動直線，則弦長AB和線段PC的長隨之變化，若設(shè)PC=λAB，則λ的值也是變化的，λ的值是否存在最大或最小呢？

這下我們理解了，該題等式“PC=2AB”中的系數(shù)為何取“2”？原來我們所計算的問題正好是λ的最小值情形.由此我們不得不感慨命題人的精妙構(gòu)思和合理設(shè)計.

我們的思考結(jié)束了嗎？沒有！如果將左準(zhǔn)線換成右準(zhǔn)線呢？如果將橢同換成雙曲線、拋物線呢？解析幾何的魅力就在此，思考永不停息.同學(xué)們可以借助幾何面板作適度的拓展探究，并借此鍛煉自己的代數(shù)運算能力.