矩陣“打洞”法及其應用

趙曉蘇，錢椿林(蘇州市職業(yè)大學 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

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矩陣“打洞”法及其應用

趙曉蘇，錢椿林
(蘇州市職業(yè)大學 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

摘 要：將矩陣的初等變換推廣到對分塊矩陣施行初等變換，華羅庚教授形象地稱此方法為矩陣“打洞”.矩陣“打洞”法在矩陣計算和證明中起著重要的作用.舉例說明矩陣“打洞”法在計算行列式和矩陣求逆中的應用.

關鍵詞：矩陣“打洞”法；分塊矩陣；初等變換；行列式；求逆

在線性代數(shù)中矩陣的初等變換發(fā)揮著重要的作用，例如矩陣的求逆、求矩陣的秩、行列式的計算和線性方程組的求解等，都要用到矩陣的初等變換.本文給出一個定理，將矩陣的初等變換推廣到對分塊矩陣施行初等變換，并且說明其方法在行列式計算和矩陣求逆中的應用.

定理 設A是m階可逆矩陣，B，C和D分別是m×p，n×m和n×p矩陣.則有

證明 直接利用分塊矩陣的乘法加以驗證.

1 矩陣“打洞”法在計算行列式中的應用

證明 利用式(1)得

利用例1的結(jié)論，當計算高階行列式時，可以化為較低階行列式的計算.

解 對于三階行列式可以化為二階行列式的計算.

解 對于四階行列式可以化為二階行列式的計算.

解 對于五階行列式可以化為二階行列式和三階行列式的計算.

證明 利用式(3)、AC=CA和矩陣的行列式的性質(zhì)，得

2 矩陣“打洞”法在矩陣求逆中的應用

利用式(1)得

利用式(2)得

所以

所以

參考文獻:

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(責任編輯：沈鳳英)

引文格式： 趙曉蘇，錢椿林.矩陣“打洞”法及其應用[J].蘇州市職業(yè)大學學報，2016，27(2)：61-64，73.

中圖分類號：O151

文獻標志碼：A

文章編號：1008-5475(2016)02-0061-04

DOI：10.16219/j.cnki.szxbzk.2016.02.015

收稿日期：2016-03-02；修回日期：2016-04-01

作者簡介：趙曉蘇(1962-)，女，江蘇蘇州人，副教授，主要從事算子特征值估計研究.

The Holed Matrix Method and Its Application

ZHAO Xiao-su，QIAN Chun-lin
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

Abstract：This paper addresses the elementary transformation of matrix extension to elementary transformation of block matrix， which Professor Hua Luogeng described vividly as the holed matrix. The holed matrix method plays an important role in the proof of matrix and the calculation of the matrix. This paper illustrates the application of this method to the calculation of the determinant and inverse matrix.

Key words：the holed matrix method；block matrix；elementary transformation；determinant；inverse