數(shù)學課堂動態(tài)生成的應對策略*

江蘇省丹陽市第五中學　(212300)　林偉民

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數(shù)學課堂動態(tài)生成的應對策略*

江蘇省丹陽市第五中學(212300)林偉民

數(shù)學課堂是一個充滿思考的課堂，課堂教學是一個動態(tài)生成的過程.由于學生在認知、經驗、思維水平上的差異，使得數(shù)學課堂呈現(xiàn)出多變性、豐富性和復雜性，加之教師面對的是一個個具有獨立思維能力的學生，教學過程中隨時都會有“意外生成”.這些生成資源來自于學生學習的頓悟、靈感的萌發(fā)或者是瞬間的創(chuàng)造.教師應對這些動態(tài)生成的問題，需要有豐富的經驗、高度的智慧以及相應的策略，處理得當，可以使課堂在師生的互動中變得更加精彩紛呈.下面結合筆者的教學實踐，談談數(shù)學動態(tài)生成課堂的幾種應對策略.

一、順應學生思維發(fā)現(xiàn)美麗風景

華東師范大學葉瀾教授指出：“課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風景.”雖然教師在備課時做了充分的預設，但課堂上學生的奇思妙想和靈感還是會不期而至.對于預設之外的學生的想法和思路，教師應充分運用自身的經驗和智慧，迅速判斷出方法的可行性，順應學生的思維繼續(xù)探究前行，師生共同在數(shù)學活動中發(fā)現(xiàn)美麗的風景.

圖1

案例一如圖1，在平面直角坐標系xoy中，圓C：(x+1)2+y2=16，點F(1，0)，E是圓C上的一個動點，G是圓上的另一個動點，且滿足EF⊥FG．記線段EG的中點為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

分析： 教師課前預設了兩種思路:

圖2

由于上面的方程組中有四個未知數(shù)x1、y1、x2、y2，三個方程不能把x1、y1、x2、y2四個未知數(shù)全部解出來，學生的思維受阻.

課堂上教師本可以對以上學生的思路擱置一旁，按課前預設的方法另辟蹊徑.但為了充分運用課堂生成性動態(tài)課程資源，消除學生的疑惑，教師應該順應學生的思維進行深入的分析和探討,對學生的思路進行可行性分析和價值判斷.

教師：以上的方程組雖然不能分別求出四個未知數(shù)x1、y1、x2、y2，但我們的目標不是要去求出這四個量的值，我們只需判斷MO是否為定值，因此我們可以探究運用未知的四個量x1、y1、x2、y2來表示MO2，再利用上面方程組中的三個等式，嘗試能否將未知量消除得到定值.

在教師的啟發(fā)下，學生有了以下的成功做法：

教師進而進一步總結：這種方法的實質是運用了解析幾何中常用的“設而不求”的方法，四個未知數(shù)x1、y1、、x2、y2雖然求不出來，但最終未知量得以消除而得到OM是個定值.

教師對預設之外的思路的進一步探求，既肯定了學生思維的價值所在，保護了學生思考的積極性，也為學生指出了解題思路受阻的原因，體會到了解析幾何中的“設而不求”和整體思想的妙用.

二、借錯誤資源揭示問題本質

心理學家蓋耶認為：“誰不愿意嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻.”當一些關鍵的、隱蔽的錯誤被教師及時利用成為全班學生新的學習材料時，學生的探究興趣將被大大激發(fā).

案例二7人排成一排，甲、乙、丙三人互不相鄰，有多少種排法？

教師：你解釋一下這個算式的意義.

這種方法比用插空法多出了720，我想知道這種解法錯在哪里？(這個問題的出現(xiàn)，引起了同學們強烈的好奇心和探究欲.在此情此景下，回避不是上策，教師順勢將此疑問作為課堂的生成性資源加以利用，讓學生在教師的指導下做一番研究，看看到底錯在哪里？)

教師：排列組合問題中，找到一個錯誤解法的錯因可能比給出一個正確的解法更難.既然大家都對此感興趣，我們就一起來研究一下，問題究竟出在哪里？(課堂上一陣無聲的思考后，仍沒有什么動靜.憑借自己的解題經驗，筆者已經覺察到其中的貓膩，但思路尚未完全清晰.于是決定帶領學生從具體情況入手用窮舉的方法尋找錯因.)

教師：甲乙在一起的排列中，丙也靠在他們一起的排列有多少種？

教師：為了檢驗它的正確性，我們不妨來排一排.先不考慮甲乙丙之外的4個人，就排出甲乙在一起時丙也靠在它們一起的排列，我們用(甲乙)表示甲乙相鄰，且甲乙不能分開(此限制非常非常的關鍵！).

學生很快排出：(甲乙)丙、(乙甲)丙、丙(甲乙)、丙(乙甲).

教師：甲乙丙三個元素在一起一共有多少種排法??？

學生：六種，具體為：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲.

教師：你看出了兩者的差異了嗎？(其實教師也是頓悟)

學生豁然開朗：甲乙在一起時丙是不能插入到甲乙之間而出現(xiàn)甲丙乙、乙丙甲這樣的排列！

本節(jié)課上教師引領學生通過窮舉，讓模糊的感覺變得具體而清晰，最終走出了思維困境，錯解的原因得到揭示，教師的教學實踐智慧也得到了豐富.

在課堂教學中，教師利用“錯誤”資源，因勢利導，引領學生通過查錯、思錯、糾錯活動，使其充分暴露出錯的過程，這樣不僅能幫助學生加深了對知識的理解，而且培養(yǎng)了他們思維的嚴謹性和批判性，使課堂走入“柳暗花明又一村”的新境界.

三、品味思想方法 感受數(shù)學魅力

如果說數(shù)學家的數(shù)學活動是一種獨立的探索、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的數(shù)學活動, 那么, 數(shù)學教學中的數(shù)學活動更多的是在數(shù)學教師引導和幫助下的一個模仿探索、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的數(shù)學活動.雖然數(shù)學活動的目的更多地是為了“接受”已經發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的數(shù)學，但教師在激發(fā)了學生數(shù)學活動的動機, 充分調動了學生的內在積極思維后，課堂上隨時會迸發(fā)智慧的火花，生成出精彩的數(shù)學方法.教師要抓住時機，讓學生真正領悟隱含于數(shù)學問題探索中的數(shù)學思想方法，感受數(shù)學的魅力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

案例三空間幾何體表面積的探求

這是筆者聽的一節(jié)《空間幾何體的表面積》公開課，在探究多面體的側面積公式時，教師放手讓學生自主探究如何求多面體的側面積.課堂觀察發(fā)現(xiàn)，學生從兩個角度去探究，角度一：求出各個側面的面積然后相加；角度二：作出側面展開圖，將空間問題轉化為平面問題.

四、辨析方法優(yōu)劣優(yōu)化數(shù)學思維

課堂上引導學生不滿足于一得之見，各顯神通探究解法，可以營造出百花齊放的課堂氛圍.教師再組織學生辨析方法的優(yōu)劣，各抒己見，優(yōu)化數(shù)學思維，既有效地提高了學生的解題能力，又對學生積極思維生成的各種解法做出了全面的回應.

案例四已知直線l:2mx+(1-m2)y-4m-4=0，若對任意實數(shù)m，直線l與一定圓相切，求該定圓的方程.

由題設條件：對任意實數(shù)m，直線l都與所設圓相切，故上式是一個關于實數(shù)m的恒等式，m各次項的系數(shù)和常數(shù)均應為0，解得x0=2,y0=2,r=2，故定圓方程為(x-2)2+(y-2)2=4(圖3).

學生方法二：m取幾個特殊的值，得到特殊的幾條直線，求出這些直線的內切圓，再進行檢驗即可.

學生方法三：將直線l的方程整理成關于m的一元二次方程ym2-2(x-2)m+4-y=0，令判別式為0，得4(x-2)2-4y(4-y)=0，整理得(x-2)2+(y-2)2=4.

課堂上學生在辨析方法優(yōu)劣時認為：第一種方法思維脈絡清晰，但是整理方程的計算量比較大，對運算和變形能力要求較高；第二種方法運用特殊的幾條直線先求出定圓方程再檢驗一般情況，可操作性比較強，計算量也不大.第三種方法表面上雖然一步就能得到圓方程，但是就連用此方法的學生自己也說是歪打正著，不知道其所以然.但也有學生認為，既然可以得出定圓方程，可能不是巧合，必有其隱含的內在道理.因此有必要對它進行深入的研究，解題的依據(jù)如下：

關于x，y的二元一次方程2mx+(1-m2)y-4m-4=0表示的無數(shù)條直線與一個定圓相切，那么這無數(shù)條直線就是這個定圓(圓心為(2,2)半徑為2的圓)的包絡線.給定一個m，對應著包絡線中的一條.反過來，給定一個點(x,y)，過點(x,y)的包絡線可能有兩條(關于m的方程兩解)，可能有一條(關于m的方程一解)，也可能沒有(關于m的方程無解).令判別式為0，實際上就是要求過點(x,y)的圓的包絡線只有一條，這時點(x,y)就是包絡線與定圓的切點，且都分布在定圓上，判別式為0得到的

關于x,y的二元二次方程就是所求的定圓的方程.對圓的包絡線的理解可以借助幾何畫板進行直觀的演示(圖4)：

圖3 圖4

對第三種思路，教師如能在課堂上直接對學生作出科學合理的解釋，可以使學生茅塞頓開，但對教師的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力要求較高.也可以把它作為研究性學習的素材，在教師的指導下讓學生進行合作探究.

動態(tài)生成是數(shù)學課堂的一種常態(tài)，數(shù)學又是“思維的體操”，要能夠靈活處置課堂“突發(fā)事件”，充分運用動態(tài)生成型課程資源，教師除了要在課堂實踐中逐步積累經驗，平時還要注意深入研究數(shù)學問題，閱讀數(shù)學書刊，提高數(shù)學素養(yǎng)，以厚實的數(shù)學功底和靈活的應變能力創(chuàng)造出充滿智慧的數(shù)學課堂.

*本文是2011年江蘇省教學研究第九期重點課題“基于問題生成的數(shù)學動態(tài)課堂的教學策略研究”(課題批號2011JK9-Z061)研究成果.