美式期權(quán)有限差分定價方法綜述

丁露濤

摘 要：本文針對不支付紅利的美式看跌期權(quán)定價，介紹了基于B-S模型的美式期權(quán)的定價問題，基礎(chǔ)闡述顯隱式及高精度的高階有限差分方法，對美式期權(quán)定價B-S模型的發(fā)展進行了綜述，最后，總結(jié)了各種方法的特點和效果。

關(guān)鍵詞：綜述；美式期權(quán)定價；B-S模型；有限差分方法

一、引言

期權(quán)是最基本的金融衍生工具之一，以付出一定費用為代價獲得的一種權(quán)力，這種權(quán)力賦予期權(quán)持有人在將來的某一時刻按照規(guī)定的價格買賣合約指定的基礎(chǔ)資產(chǎn)。期權(quán)已成為最具活力的金融衍生產(chǎn)品，得到迅速發(fā)展和廣泛利用。其中，美式看跌期權(quán)是在期權(quán)交易期限內(nèi)的任何一個時點上，持有者都有按約定價格賣出的權(quán)利。實際應(yīng)用中，美式期權(quán)定價問題應(yīng)用更為廣泛，然而，不同于歐式期權(quán)定價問題有精確的解析式，美式期權(quán)定價問題不存在解析解，它的有關(guān)理論和數(shù)值方法研究一直是不同學者的花費大量精力鉆研的領(lǐng)域。

布萊克和斯科爾斯[1]給出不支付紅利下的歐式期權(quán)的定價公式重要論文，同年，莫頓[2]可以用來對支付已知紅利的期權(quán)進行定價，奠定了期權(quán)定價理論基礎(chǔ)。后來，各類學者在B-S模型基礎(chǔ)上做出了大量的理論研究與數(shù)值方法探討。本文主要針對不支付紅利的美式看跌期權(quán)定價問題，進行各種有限差分方法的綜述，首先，介紹了基于B-S模型的美式期權(quán)的定價模型，然后，基礎(chǔ)闡述顯式、更高精度的高階有限差分方法，最后，對各種方法的特點和效果進行評價。

二、美式期權(quán)定價問題的模型

Black-Scholes期權(quán)定價模型

布萊克和斯科爾斯推導出不支付紅利下歐式期權(quán)價格滿足著名的B-S方程，進而得到歐式期權(quán)的解析式，基本假設(shè)有：

利用mathmatic可以得到一個三對角矩陣線性方程組，從而迭代得到最后的期權(quán)價值，這里的邊界條件和初始條件均不變。

五、結(jié)論

對于美式看跌期權(quán)的定價，各種文獻的數(shù)值仿真過程與結(jié)果證明：

在最基礎(chǔ)的B-S模型上，流行的有限差分直接方法簡單易操作，顯式差分方法最易，但與隱式差分格式相比穩(wěn)定性較弱，CN介于顯隱式之間比二者效果好，對計算機性能要求低，這些方法都有一個共同的弱點，在時間和空間上的點數(shù)過少，最多只能達到二階精度，最優(yōu)執(zhí)行邊界不夠平滑。高階有限差分利用更多的點得到空間和時間上的四階精度，操作比較復雜，必須用到mathmatic進行符號計算，對計算機的性能要求更高，對方法使用人的要求自然也高。

有關(guān)美式期權(quán)定價有限差分方法的研究還在不斷的探討和發(fā)展，因為從理論上講期權(quán)發(fā)展是無止境的，從實際上講期權(quán)是復雜多變和應(yīng)用廣泛的，因此，研究探討美式期權(quán)定價有限差分方法的優(yōu)缺點，對于深入研究復雜期權(quán)的定價有重要意義。（作者單位：廣東工業(yè)大學管理學院）

參考文獻：

[1] Fisher B，Myron S.The pricing of options and corporate liabilities，Journal of Political Economy 81（1973）637–654.

[2] R.C.Merton.The theory of rational option pricing.Bell Journal of Economics and Management Science 1（1973）141–183.

[3] Gutachter.Numerical simulation of American options.Universit¨at Ulm Fakult¨at f¨ur Mathematik undWirtschaftswissenschaften.（2004）.

[4] Sukha.Advanced mathematics of finance honours project：finite-difference methods for pricing the American put option.（2001）.

[5] H.K.Versteeg，W.Malalasekera.A introduction to computational fluid dynamics the finite volume method.Pearson Education（1995）.

[6] D.Y.Tangman，1，A.Gopaul，M.Bhuruth.Numerical pricing of options using high-order compact finitedifference schemes.Journal of Computational and Applied Mathematics 218（2008）270 – 280