基于非參數(shù)回歸的遺漏變量檢驗①

王　霞, 洪永淼

(1． 中國科學(xué)院大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院， 北京 100190； 2． 康奈爾大學(xué)經(jīng)濟學(xué)系與統(tǒng)計學(xué)系， 紐約 14850；3． 廈門大學(xué)王亞南經(jīng)濟研究院， 廈門 361005)

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基于非參數(shù)回歸的遺漏變量檢驗①

王霞1, 洪永淼2, 3

(1． 中國科學(xué)院大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院， 北京 100190； 2． 康奈爾大學(xué)經(jīng)濟學(xué)系與統(tǒng)計學(xué)系， 紐約 14850；3． 廈門大學(xué)王亞南經(jīng)濟研究院， 廈門 361005)

摘要：基于非參數(shù)回歸提出了同時適用于橫截面和時間序列數(shù)據(jù)的遺漏變量檢驗統(tǒng)計量.與現(xiàn)有文獻相比，該統(tǒng)計量不僅避免了模型設(shè)定偏誤問題，而且具有更高的局部檢驗功效，能夠識別出速度更快的收斂到原假設(shè)的局部備擇假設(shè).該文選擇單一帶寬估計條件聯(lián)合期望和條件邊際期望，允許二者的非參數(shù)估計誤差共同決定統(tǒng)計量的漸近分布，不僅改善了統(tǒng)計量的有限樣本性質(zhì)，而且避免了選擇多個帶寬和計算多個偏差項產(chǎn)生的繁雜工作.蒙特卡洛模擬結(jié)果表明該統(tǒng)計量具有良好的有限樣本性質(zhì)以及比Ait-Sahalia等更高的檢驗功效.實證分析采用該統(tǒng)計量捕獲了F統(tǒng)計量無法識別的產(chǎn)出缺口與通脹之間關(guān)系，驗證了非線性“產(chǎn)出—通脹”型菲利普斯曲線在中國的適用性.

關(guān)鍵詞：遺漏變量； 非參數(shù)回歸； 非線性； 檢驗功效； 均值格蘭杰因果關(guān)系

0引言

計量經(jīng)濟學(xué)者一般假設(shè)經(jīng)濟系統(tǒng)是個隨機過程，該過程由某個未知的計量經(jīng)濟模型支配.由于研究人員無法知曉真實模型形式，只能選擇一系列模型近似經(jīng)濟系統(tǒng)的動態(tài)特征，這使得模型選擇成為計量經(jīng)濟學(xué)中的基本問題.盡管在通常情況下引入更多解釋變量能夠優(yōu)化模型近似效果，但是，由于簡單模型相對于復(fù)雜模型，具有更加明晰的經(jīng)濟含義，分析人員傾向于選擇簡單模型，即計量經(jīng)濟學(xué)中的“KISS” (keep it sophistically simple) 原則.

簡化模型的重要方式便是通過嚴格檢驗剔除回歸模型中的冗余解釋變量.當樣本容量有限時，在回歸模型中引入過多解釋變量，不僅會降低模型參數(shù)估計和假設(shè)檢驗效率，而且會導(dǎo)致過度擬合問題，使得具有良好樣本內(nèi)擬合效果的模型無法應(yīng)用于經(jīng)濟預(yù)測中.特別是由于非參數(shù)模型存在“維數(shù)災(zāi)”(curse of dimensionality) 問題，解釋變量個數(shù)的增加會對模型估計收斂速度產(chǎn)生嚴重影響，因此，在非參數(shù)模型中減少解釋變量個數(shù)顯得尤為重要.然而，盲目刪減解釋變量，不僅會忽略某些重要解釋變量對被解釋變量的影響效果，還有可能導(dǎo)致遺漏變量偏差問題，錯誤估計被解釋變量對其它解釋變量的反應(yīng)程度.因此，在建模過程中合理判斷是否應(yīng)當刪除某些解釋變量，即檢驗遺漏變量問題，具有重要的理論意義和應(yīng)用價值.

在線性高斯模型中，研究人員可以借助檢驗參數(shù)顯著性的t統(tǒng)計量或者F統(tǒng)計量考察遺漏變量問題.然而，t和F統(tǒng)計量僅能識別線性影響關(guān)系，無法捕獲經(jīng)濟系統(tǒng)中普遍存在的非線性特征.隨著非線性建模技術(shù)在經(jīng)濟金融分析中的廣泛應(yīng)用，越來越多的計量分析人員注意到t和F統(tǒng)計量在遺漏變量檢驗中的局限性，并嘗試構(gòu)建適用于非線性分析框架的檢驗統(tǒng)計量.與線性模型形式單一不同的是，現(xiàn)有文獻表明經(jīng)濟金融變量之間的非線性關(guān)系具有多種表現(xiàn)形式，這使得針對某一特定非線性模型的檢驗統(tǒng)計量極易受到模型設(shè)定偏誤而得出錯誤的檢驗結(jié)論.為了避免這一問題，現(xiàn)有文獻一般借助非參數(shù)方法研究非線性框架下的遺漏變量檢驗問題.在獨立同分布數(shù)據(jù)生成過程的假定下，F(xiàn)an和Li[1]以及 Lavergne和Vuong[2]基于非參數(shù)估計殘差，構(gòu)造了遺漏變量檢驗統(tǒng)計量.為了探討時間序列分析中的遺漏變量問題，Ait-Sahalia等[3]在β-混合條件下，采用非參數(shù)核方法估計原假設(shè)和備擇假設(shè)下的條件期望，并基于二者之差構(gòu)造了遺漏變量檢驗統(tǒng)計量.這些研究在很大程度上豐富和完善了相關(guān)領(lǐng)域的理論研究成果，為研究人員探討實際經(jīng)濟金融問題提供了重要的理論工具和建模依據(jù).

本文基于非參數(shù)回歸構(gòu)造了遺漏變量的檢驗統(tǒng)計量，探討了該統(tǒng)計量的漸近分布和局部檢驗功效，并采用蒙特卡洛模擬考察了統(tǒng)計量的有限樣本性質(zhì).該統(tǒng)計量不僅避免了模型設(shè)定偏誤問題，而且同時適用于橫截面數(shù)據(jù)和時間序列數(shù)據(jù)，并且在原假設(shè)成立時漸近服從于標準正態(tài)分布，能夠十分便利地應(yīng)用到實證分析中.特別地，本文統(tǒng)計量相對于文獻[1-3] 中的統(tǒng)計量，具有如下重要優(yōu)勢：第1，該統(tǒng)計量具有更高的局部檢驗功效，能夠識別出速度更快的收斂到原假設(shè)的局部備擇假設(shè).文獻[1-3] 中檢驗統(tǒng)計量的收斂速度依賴于備擇假設(shè)下解釋變量的個數(shù)，而本文統(tǒng)計量的收斂速度僅依賴于原假設(shè)中解釋變量的維度，這使得本文統(tǒng)計量緩解了非參數(shù)檢驗中普遍存在的“維數(shù)災(zāi)”問題，具有更高的檢驗功效；第2，與現(xiàn)有文獻不同的是，本文采用單一帶寬估計條件聯(lián)合期望和條件邊際期望，允許二者的非參數(shù)估計誤差共同決定統(tǒng)計量的漸近分布，這不僅改善了有限樣本情況下檢驗統(tǒng)計量的水平性質(zhì)，而且還避免了選擇多個帶寬以及考慮多個偏差項產(chǎn)生的繁雜工作.本文統(tǒng)計量的應(yīng)用領(lǐng)域與t統(tǒng)計量或者F統(tǒng)計量在線性回歸模型中的應(yīng)用領(lǐng)域類似，如判斷是否應(yīng)當剔除某個解釋變量等等.只是，與t和F統(tǒng)計量僅能捕獲變量的線性影響關(guān)系不同的是，本文統(tǒng)計量避免了模型設(shè)定偏誤對檢驗結(jié)果的影響，特別適用于考察變量之間的非線性影響關(guān)系.例如，作為遺漏變量的特殊應(yīng)用，本文統(tǒng)計量還可以用于檢驗均值格蘭杰因果關(guān)系，相對于Granger[4]構(gòu)造的F統(tǒng)計量，它能夠捕獲線性以及多種形式的非線性格蘭杰因果關(guān)系，可以用于探討貨幣與產(chǎn)出的非線性格蘭杰因果關(guān)系、金融市場的非線性溢出效應(yīng)等經(jīng)濟與金融問題.

1遺漏變量的原假設(shè)與備擇假設(shè)

記X和Z分別表示維度為dx和dz的隨機向量，Y表示一維隨機變量.對于每個隨機向量，均有n個同分布的弱相依觀測值(Xt,Yt,Zt),t=1,2,…,n.此處下標t在時間序列范疇下表示時間指標，在橫截面范疇下，代表著橫截面單元，如家庭、廠商等等.為了避免模型設(shè)定偏誤對檢驗結(jié)果產(chǎn)生影響，本文在非參數(shù)框架下探討遺漏變量檢驗問題.在Yt關(guān)于Xt的非參數(shù)回歸模型中，隨機向量Zt不是遺漏變量的原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為

(1)

對某些具有正概率測度的y∈

(2)

其中E(A|B)表示隨機向量A基于B的條件期望.式 (1) 所示的原假設(shè)等價于在如下非參數(shù)回歸模型中，檢驗引入Zt能否提高模型的擬合程度

Yt=f(Xt,Zt)+εt

(3)其中f(·)是個未知函數(shù)，εt是不可觀測的隨機誤差項，滿足E(εt|Xt,Zt)=0.根據(jù)式 (1)，Ait-Sahalia等采用非參數(shù)核方法估計E(Yt|Xt,Zt)以及E(Yt|Xt)，并基于二者估計值之差構(gòu)造了遺漏變量的檢驗統(tǒng)計量.然而，由于E(Yt|Xt,Zt)的非參數(shù)估計涉及dx+dz維平滑，該統(tǒng)計量存在嚴重的“維數(shù)災(zāi)”問題.為了緩解“維數(shù)災(zāi)”問題，提高統(tǒng)計量的檢驗功效，給出如下引理.

引理1假設(shè)Y是實數(shù)空間上滿足E|Y|<∞的嚴平穩(wěn)隨機變量，X和Z分別為實數(shù)空間dx和dz上的嚴平穩(wěn)隨機向量，則

cov(Yt,eiv′Zt|Xt)=0, ?v∈dz

(4)

等價于

E(Yt|Xt,Zt)=E(Yt|Xt)

(5)

引理1可視為Bierens[5]的結(jié)論由無條件期望向條件期望的擴展，其具體證明過程在附錄部分給出.

根據(jù)引理1，可以將式 (1) 和 式(2) 所示的原假設(shè)和備擇假設(shè)等價地表示為

對任意v∈dz

(6)

對某些具有正概率測度的v∈dz

(7)

與原假設(shè) (1) 相比，式 (6) 所示的原假設(shè)僅涉及dx維平滑，這使得基于式 (6) 構(gòu)造的遺漏變量檢驗統(tǒng)計量能夠緩解“維數(shù)災(zāi)”問題，具有更高的檢驗功效.關(guān)于本文統(tǒng)計量與Ait-Sahalia等統(tǒng)計量檢驗功效的詳細探討，參見本文3.2節(jié).

2基于非參數(shù)回歸的檢驗統(tǒng)計量

2.1非參數(shù)回歸估計量

σ(v,x)=cov(Yt,eiv′Zt|Xt=x)

=E(eiv′ZtYt|Xt=x)-

E(eiv′Zt|Xt=x)E(Yt|Xt=x)

=0

(8)

由于3個條件期望的估計類似，本文以φyz(v,x)為例予以說明.為了估計φyz(v,x)，考慮如下局部加權(quán)最小二乘問題

Kh(x-Xt)]

(9)

(10)

其中X表示第i行元素為[1,(Xi-x)′]的n×(dx+1)維矩陣;W=diag[Kh(X1-x),…,Kh(Xn-x)].φyz(v,x)的估計值由局部截距項估計值給出

(11)

2.2基于非參數(shù)回歸的檢驗統(tǒng)計量

根據(jù)式 (6), 在Zt不是遺漏變量的原假設(shè)下，σ(v,x)=0.因此，可以通過度量

與零之間的差異考察原假設(shè)是否成立.本文考慮構(gòu)造如下二次方形式的檢驗統(tǒng)計量

(12)

在有限樣本情況下，極端值附近的觀測樣本比較稀疏，這使得條件期望在該取值附近的非參數(shù)估計結(jié)果并不準確.為了避免或者降低不可信估計量對檢驗結(jié)果的影響，本文在式 (12) 所示的檢驗統(tǒng)計量中引入加權(quán)函數(shù)a(·)截斷積分.這一處理方式已經(jīng)在現(xiàn)有文獻中得到了廣泛應(yīng)用[3,7-8].另外，由于原假設(shè)要求對任意v∈dz,σ(v,x)=0均成立，所以式 (12) 中進一步引入加權(quán)函數(shù)W(·)綜合考慮在v的所有或者多個取值點處σ(v,x)與零之間的差異.相關(guān)文獻一般采用標準正態(tài)累積分布作為加權(quán)函數(shù)W(·).事實上，W(·)未必是連續(xù)函數(shù)，任意可數(shù)個不連續(xù)點構(gòu)成的非遞減函數(shù)均符合本文對W(·)的基本假定.例如，采用離散多元累積分布作為離散型加權(quán)函數(shù)，允許研究者僅考慮v的有限取值點，從而可以避免計算檢驗統(tǒng)計量時面臨的高維積分問題.

(13)

(14)

(15)

并且

為了改善統(tǒng)計量在有限樣本情況下的檢驗水平，本文進一步構(gòu)造了如下有限樣本形式的檢驗統(tǒng)計量

(16)

其中有限樣本形式的均值表達式

(17)

這與式 (6) 所示的原假設(shè)相同，因此，可以直接采用式 (12) 所示的統(tǒng)計量檢驗均值格蘭杰因果關(guān)系.與Granger[4]基于F統(tǒng)計量的格蘭杰因果檢驗不同的是，本文統(tǒng)計量不僅能夠捕獲線性格蘭杰因果關(guān)系，而且能夠識別多種形式的非線性均值格蘭杰因果關(guān)系.

3檢驗統(tǒng)計量的漸近性質(zhì)

3.1漸近分布理論

(18)

需要特別強調(diào)的是，本文采用相同帶寬估計條件聯(lián)合期望φyz(v,x)和條件邊際期望φz(v,x)、φy(x)，允許二者的非參數(shù)估計誤差是同階項，進而共同決定了統(tǒng)計量的漸近分布.這一處理方式與文獻[1-3]存在一定差異.上述文獻選擇了兩個不同的帶寬估計條件聯(lián)合期望和條件邊際期望，并且對兩個帶寬的相對階數(shù)施加一定約束，使得條件邊際密度函數(shù)的非參數(shù)估計誤差收斂速度更快，從而不會影響統(tǒng)計量的漸近分布.然而，盡管在漸近理論上邊際期望的估計誤差是聯(lián)合期望估計誤差的高階項，二者在有限樣本情況下可能十分接近.此時，忽略邊際期望估計誤差可能會影響統(tǒng)計量的有限樣本性質(zhì)，產(chǎn)生嚴重的水平扭曲問題.Ait-Sahalia等[3]為了改善統(tǒng)計量的有限樣本性質(zhì)，在構(gòu)造統(tǒng)計量時引入了3個估計偏差項.盡管其中兩項是另一項的高階項，但是在有限樣本情況下，三者十分接近，若僅保留首項，則會嚴重影響統(tǒng)計量的檢驗水平性質(zhì).

3.2局部檢驗功效

由于本文統(tǒng)計量和Ait-Sahalia等統(tǒng)計量均是在β-混合條件下構(gòu)造的，因此，有必要詳細比較二者的局部檢驗功效.

Ait-Sahalia等采用如下局部平滑備擇假設(shè)考察了統(tǒng)計量的檢驗功效性質(zhì)

E(Yt|Xt=x,Zt=z)=E(Yt|Xt=x)+

anΔ(x,z)

(19)其中Δ(x,z)滿足?Δ2(x,z)f(x,z)a(x,z)dxdz<∞，并且∫Δ(x,z)f(x,z)dz=0.Ait-Sahalia等證明了在局部備擇假設(shè)式 (19) 中，其構(gòu)造統(tǒng)計量的檢驗功效為an=n-1/2h-(dx+dz)/4.

(21)

D=2?a2(x)[φy2(x)-|φy(x)|2]2×

|Φz(v1+v2,x)|2dW(v1)dW(v2)dx×

(22)

其中

Φz(a1+a2,x)=φz(a1+a2,x)-

φz(a1,x)φz(a2,x)

4蒙特卡洛模擬

Zt=0.5Zt-1+ε2,t

以上數(shù)據(jù)生成過程涵蓋了文獻中應(yīng)用較為廣泛的線性和非線性模型.Su和White[11]曾采用上述數(shù)據(jù)生成過程探討條件獨立性檢驗問題.本節(jié)需要檢驗的原假設(shè)是，在Yt關(guān)于Yt-1的回歸方程中，Zt-1不是遺漏變量

(23)

即，檢驗在一階滯后情形下，Zt-1是否為Yt的均值格蘭杰原因.在上述6個數(shù)據(jù)生成過程中，DGP.S1-S3滿足式 (23) 所示的原假設(shè)，從而可以考察統(tǒng)計量的檢驗水平性質(zhì)，DGP.P1-P3則用于探討統(tǒng)計量的檢驗功效性質(zhì).特別地，在DGP.P1-P3中，除DGP.P1之外的其它所有數(shù)據(jù)生成過程都是非線性的.

5實證應(yīng)用

如前所述，均值格蘭杰因果檢驗可視為遺漏變量檢驗的特殊應(yīng)用，因此，本節(jié)將采用前文構(gòu)造的統(tǒng)計量考察產(chǎn)出缺口在均值上是否為通貨膨脹率的格蘭杰原因，即考察文獻中得到廣泛探討的“產(chǎn)出—通脹”型菲利普斯曲線能否用于預(yù)測我國通脹率*預(yù)測分為樣本內(nèi)預(yù)測和樣本外預(yù)測兩類，此處探討的是樣本內(nèi)預(yù)測.由于本文的研究目的不是構(gòu)造樣本外預(yù)測的檢驗統(tǒng)計量，故不再對樣本外預(yù)測效果的評價展開討論..Phillips[14]指出，失業(yè)與通貨膨脹之間存在著反向變動關(guān)系；奧肯(Okun[15])定律則說明產(chǎn)出缺口與失業(yè)率之間也存在著反向變動關(guān)系.二者結(jié)合起來，便形成了“產(chǎn)出—通脹”型菲利普斯曲線，表明通脹率與產(chǎn)出缺口呈正向關(guān)系，即當產(chǎn)出缺口為正時，整個經(jīng)濟體面臨通脹壓力；反之，存在通縮壓力.根據(jù)宏觀經(jīng)濟學(xué)理論，若出現(xiàn)正的產(chǎn)出缺口，意味著總需求大于總供給，則通脹壓力將會增大；反之，若出現(xiàn)負的缺口，即總供給大于總需求，則通縮壓力增加.這為“產(chǎn)出—通脹”型菲利普斯曲線的存在提供了一定的經(jīng)濟理論依據(jù).

表1　DGP.S1-S3的檢驗水平性質(zhì)

注： 1.F表示Granger[4]線性格蘭杰因果關(guān)系檢驗的F統(tǒng)計量計算結(jié)果，ABS表示Ait-Sahalia等[3]遺漏變量檢驗統(tǒng)計量的計算結(jié)果；

2. 表中漸近分布的計算結(jié)果均是基于標準正態(tài)分布單邊臨界值得到的1 000次蒙特卡洛模擬的拒絕概率.

表2　DGP.P1-P3的檢驗功效

注： 1.F表示Granger[4]線性格蘭杰因果關(guān)系的F統(tǒng)計量計算結(jié)果，ABS表示Ait-Sahalia等[3]遺漏變量檢驗統(tǒng)計量的計算結(jié)果；

2. 表中報告了基于標準正態(tài)分布單邊臨界值得到的1 000次蒙特卡洛模擬的拒絕概率.

5.1指標選取與數(shù)據(jù)處理

由于我國官方統(tǒng)計資料僅對季度GDP予以核算，沒有直接可獲得的月度GDP統(tǒng)計資料，本文采用季度頻率予以建模，選取的樣本區(qū)間為1983年1季度至2012年4季度，共120個樣本點，所有數(shù)據(jù)均來源于中經(jīng)網(wǎng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)庫和國家統(tǒng)計局網(wǎng)站.數(shù)據(jù)選取與處理簡要描述如下：

1)通貨膨脹率的選取本文通過消費者價格指數(shù)的月度同比數(shù)據(jù)計算年化的季度通脹率，其中1983年至1989年的消費者價格指數(shù)采用商品零售價格指數(shù)替代.由于官方CPI數(shù)據(jù)為月度同比數(shù)據(jù)，本文通過3項移動平均計算出季度同比CPI數(shù)據(jù)，并根據(jù)(季度CPI-1)×100%獲得季度通貨膨脹率πt，季度通貨膨脹率時間序列圖如圖1(a)所示；

2)產(chǎn)出缺口的測算首先根據(jù)官方統(tǒng)計資料公布的同比累計GDP增長率和名義GDP水平值推算出1992年—2012年以1992年為不變價的季度實際GDP；其次，為擴充數(shù)據(jù)樣本，使得檢驗結(jié)果更加可靠，按照劉金全等[16]、陳浪南和劉宏偉[17]等采用的方法對我國1978年—1991年度實際GDP進行季度分解 (具體分解方法可參考Abeysinghe和Gulasekaran[18])，將實際GDP數(shù)據(jù)樣本擴展到1978年1季度；再次，采用Tramo-Seats方法對實際GDP數(shù)據(jù)進行季度調(diào)整，并計算對數(shù)百分化數(shù)據(jù)y=100×lnGDPt；最后，參考鄭挺國和王霞[19]，采用HP (hodrick-prescott) 濾波、QT (quadratic trend) 濾波、BK (baxter-king) 濾波、CF (christiano-fitzgerald) 濾波，以及基于不可觀測成分 (UC) 模型的CL (Harvey[20]; Clark[21]) 模型和HJ (Harvey和J?ger[22]) 模型6種退勢方法估算出我國1978年—2012年的產(chǎn)出缺口.圖1(b)-(d)給出了6種不同退勢方法得出的產(chǎn)出缺口時間序列圖.

5.2實證檢驗結(jié)果

圖1(a)　通貨膨脹率Fig. 1(a) Inflation rate

圖1(b)　基于HP濾波和QT濾波的產(chǎn)出缺口Fig. 1(b) Output gaps based on HP and QT filters

圖1(c) 基于BK濾波和CF濾波的產(chǎn)出缺口Fig. 1(c) Output gaps based on BK and CF filters

圖1(d) 基于CL濾波和HJ濾波的產(chǎn)出缺口Fig. 1(d) Output gaps based on CL and HJ filtes

表3　均值格蘭杰因果關(guān)系檢驗結(jié)果

Table 3 Results of Granger causality tests in mean

HPQTBKCFCLHJGRF0.01560.34150.00950.00000.62260.33700.2027M^0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000

2．表中前6列分別為采用6種濾波的產(chǎn)出缺口估計值的檢驗結(jié)果，最后一列為GDP同比增速的檢驗結(jié)果.

6結(jié)束語

考慮到遺漏變量問題在模型選擇和估計中發(fā)揮的重要作用，本文借助非參數(shù)回歸方法，構(gòu)造了同時適用于線性以及非線性回歸模型的遺漏變量檢驗統(tǒng)計量.該統(tǒng)計量既適用于橫截面數(shù)據(jù)又適用于時間序列數(shù)據(jù)，并且在原假設(shè)成立時漸近服從于標準正態(tài)分布，能夠十分便利地應(yīng)用到實證研究中.特別地，與文獻[1-3] 基于非參數(shù)方法構(gòu)造的檢驗統(tǒng)計量相比，本文統(tǒng)計量至少具有如下兩點優(yōu)勢：

第1，本文統(tǒng)計量的收斂速度僅依賴于原假設(shè)成立時解釋變量的維度，能夠識別出收斂到原假設(shè)速度更快的局部備擇假設(shè).文獻[1-3] 檢驗統(tǒng)計量的收斂速度依賴于備擇假設(shè)下解釋變量的維度，涉及更高維度的平滑.因此，與之相比，本文統(tǒng)計量不僅在一定程度上緩解了“維數(shù)災(zāi)”問題，而且還因收斂速度更快而具有更高的局部檢驗功效；

第2，與現(xiàn)有文獻不同的是，本文采用單一帶寬估計條件聯(lián)合期望和條件邊際期望，允許二者的非參數(shù)估計誤差共同決定統(tǒng)計量的漸近分布，使得推導(dǎo)漸近分布時忽略的高階項更少.這不僅改善了統(tǒng)計量的有限樣本性質(zhì)，而且還避免了在實際應(yīng)用中選擇多個帶寬以及計算多個偏差項帶來的繁雜工作.

此外，本文采用蒙特卡洛模擬考察了統(tǒng)計量的有限樣本性質(zhì).數(shù)值模擬結(jié)果表明本文統(tǒng)計量具有合理的檢驗水平以及良好的檢驗功效.特別地，與Ait-Sahalia等以及F統(tǒng)計量相比，本文統(tǒng)計量不僅能夠同時捕獲線性以及多種非線性回歸模型中的遺漏變量問題，而且具有比它更高的檢驗功效，這與本文理論部分的分析結(jié)論相一致.最后，本文還應(yīng)用該統(tǒng)計量考察了我國產(chǎn)出缺口在通脹預(yù)測中的作用，驗證了非線性“產(chǎn)出—通脹”型菲利普斯曲線在我國通脹預(yù)測中的適用性.

本文未來的研究方向包括但不僅限于如下幾點：第1，最優(yōu)帶寬的選取.本文定理1給出了帶寬的許可階數(shù)，但是在實際操作中如何選擇帶寬，并沒有給出進一步的建議.Gao和Gijbels[29]基于給定顯著性水平最大化檢驗功效的原則探討了其檢驗統(tǒng)計量帶寬的選擇問題，但是，Gao和Gijbels的結(jié)果依賴于統(tǒng)計量的形式、數(shù)據(jù)生成過程、核函數(shù)等多種因素，無法直接應(yīng)用到本文檢驗中，因此，本文將最優(yōu)帶寬的選取作為下一步的研究方向；第2，長記憶過程的條件獨立性檢驗.本文假設(shè)1的β-混合條件約束了時間序列的相關(guān)程度.對于不滿足該條件的長記憶過程，檢驗統(tǒng)計量的均值和方差表達式都會發(fā)生改變.構(gòu)造適用于長記憶過程的條件獨立性檢驗統(tǒng)計量，將是筆者的第2個研究方向；第3，樣本外預(yù)測的非參數(shù)檢驗.本文檢驗統(tǒng)計量可用于考察均值格蘭杰因果關(guān)系，即樣本內(nèi)預(yù)測，但是并不適用于樣本外預(yù)測.如何構(gòu)建樣本外預(yù)測的非參數(shù)檢驗統(tǒng)計量，將是筆者的第3個研究方向.

參 考 文 獻：

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1.引理1的證明

對eiv′Zt關(guān)于Zt在原點附件做泰勒展開可得

根據(jù)Chung[28]中的定理9.1.2可知，在實數(shù)空間上存在一個布萊爾可測的實函數(shù)，不妨設(shè)為q，滿足

E(Yt|Xt)=q(Xt)

(A.1)

E(Yt|Xt,Zt)-q(Xt)=r(Xt,Zt)

(A.2)

令r1(·)=max{r(·),0},r2(·)=max{-r(·),0}，則r1和r2均為實數(shù)空間上的非負布萊爾可測實函數(shù)，并且滿足

r=r1-r2

令c1(X)=Ez[r1(Xt,Zt)]>0,c2(X)=Ez[r2(Xt,Zt)]>0，其中EZ(·)表示關(guān)于Z求條件期望.顯然，r1(Xt,Zt)和r2(Xt,Zt)關(guān)于Z的條件期望為Xt的函數(shù).由于

由上式以及cov(Yt,eiv′Zt|Xt)=0可得

E[r(Xt,Zt)eiv′Zt|Xt]=0?v∈dz.

另外，在歐幾里得空間上的布萊爾域B定義兩個概率測度F1以及F2滿足

Fj(B,X)=∫Brj(X,u)dF(u|X)/cj(X),j=1,2(A.3)

其中F(u|X)是由隨機向量Zt生成的條件概率測度，B是Β上的任意布萊爾集.據(jù)此可得

由于E[r(Xt,Zt)eiv′Zt|Xt]=0，故有

c1(Xt)∫eiv′ZtdF1(u|Xt)=c2(Xt)∫eiv′ZtdF2(u|Xt)

進一步令u=0可得

c1(x)=c2(x)c1(Xt)=c2(Xt)，?Xt∈G

(A.4)

由以上兩式可知

∫eiv′ZtdF1(u|Xt)=∫eiv′ZtdF2(u|Xt)， ?v∈dz

上式意味著概率測度F1和F2是等價的，即，對任意布萊爾集B，F(xiàn)1(B|X)=F2(B|X)均成立.根據(jù)式(A.3)和式(A.4)可得

∫Br1(u,X)dF(u|X)=∫Br2(u,X)dF(u|X)

對任意X∈G，定義布萊爾集

B1(X)={Z∈dz∶r(X,z)>0}

并且

B2(X)={Z∈dz∶r(X,z)<0}

則有

∫B1(X)r(u,X)dF(u|X)=0

并且

∫B2(X)r(u,X)dF(u|X)=0

即

∫B1(X)∪B2(X)r(u,X)dF(u|X)=0

這表明對任意X∈G，B1(X)∪B2(X)={Z∈dz∶r(X,z)≠0}在概率測度F上為空集，即r(X,u)=0a.s.

根據(jù)式(A.2) 和 式(A.3) 可得E(Yt|Xt,Zt)=E(Yt|Xt)a.s.

證畢.

2.定理1的證明

(A.5)

引理A.1在定理1的條件以及原假設(shè)成立的情況下

(A.7)

其中

式中ξs=(Xs,Ys,Zs).

引理A.2在定理1的條件以及原假設(shè)成立的情況下

(A.8)

其中

dW(v)dx∫K(τ)2dτ,

Re[εz(v,Xs)εz(v,Xr)*]dW(v)dx

引理A.3在定理1的條件以及原假設(shè)成立的情況下

(A.9)

其中

∫K(τ)2dτ,

引理A.4在定理1的條件以及原假設(shè)成立的情況下

(A.9)

其中

引理A.5在定理1的條件以及原假設(shè)成立的情況下

其中

Re[φy(x)εyz(v,Xs)εz(v,Xr)*]dW(v)dx

引理A.6在定理1的條件以及原假設(shè)成立的情況下

其中

Re[φz(v,x)*εyz(v,Xs)εy(v,Xr)]dW(v)dx

引理A.7在定理1的條件以及原假設(shè)成立的情況下

T7+T8+T9+T10=oP(1)

并且

Φz(v1+v2,x)=φz(v1+v2,x)-φz(v1,x)φz(v2,x)

根據(jù)引理A.1至引理A.9可知，定理1得證.篇幅所限，此處不再給出引理A.1至A.9的證明過程，感興趣者可向作者索取.

3.定理2的證明

在局部備擇假設(shè)式(20)成立的條件下

易證

以及

var(M1)=OP(hdx/2(n-1h-dx+h4))=oP(1)

根據(jù)契比雪夫不等式，即可得到M1=oP(1).根據(jù)大數(shù)定理，有

證畢.

附錄：

Nonparametric-regression-based testing for omitted variables

WANGXia1，HONGYong-miao2,3

1.School of Economics and Management, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China；2.Department of Economics and Department of Statistical Sciences, Cornell University, NY 14850, USA；3.The Wang Yanan Institute for Studies in Economics (WISE), Xiamen University, Xiamen 361005, China

Abstract:This paper proposes a nonparametric-regression-based test for omitted variables, which is applicable in both cross-sectional and time series contexts. Our test not only avoids the model misspecification problem, but also are locally more powerful than the existing tests. Moreover, unlike many other nonparametric-based tests, we use a single bandwidth rather than two different bandwidths in estimating both the conditional joint and marginal expectations, which significantly improves the size performance of our test in finite samples. Monte Carlo studies demonstrate the well behavior of our test in finite samples, which could not only capture the omitted variables feature in linear and nonlinear regressions, but also is more powerful than Ait-Sahalia et al.’s (2001) test. In an application to testing the nonlinear Granger causality in mean, we document the existence of nonlinear relationships between theoutput gap and inflation,that is, the nonlinear “output-inflation” type of Phillips curve maybe is more suitable for China’s inflation forecast.

Key words:omitted variable; nonlinear; nonparametric regression; power; Granger causality in mean

中圖分類號:F224.0

文獻標識碼:A

文章編號:1007-9807(2016)03-0077-15

作者簡介:王霞 (1985—)， 女， 山東濟寧人， 博士， 講師. Email: wangxia@ucas.ac.cn

基金項目：國家自然科學(xué)青年基金資助項目(71401160)；教育部人文社會科學(xué)研究青年基金資助項目(14YJC790120)：中國科學(xué)院大學(xué)校部教師與研究所科研合作專項基金資助項目.

收稿日期：(①) 2013-05-21；

修訂日期：2013-12-25.