基于LASSO分位數(shù)回歸的對沖基金投資策略研究①

蔣翠俠， 劉玉葉， 許啟發(fā)

(1. 合肥工業(yè)大學管理學院， 合肥 230009；2. 合肥工業(yè)大學過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室， 合肥 230009)

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基于LASSO分位數(shù)回歸的對沖基金投資策略研究①

蔣翠俠1, 2， 劉玉葉1， 許啟發(fā)1, 2

(1. 合肥工業(yè)大學管理學院， 合肥 230009；2. 合肥工業(yè)大學過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室， 合肥 230009)

摘要：由于對沖基金采用了靈活的投資技巧，其收益序列往往表現(xiàn)出與傳統(tǒng)投資方式不同的統(tǒng)計特征與風險收益能力，已有方法難以有效地評價其投資績效.基于LASSO分位數(shù)回歸，從影響對沖基金收益的眾多風險因子中，挑選出重要的風險因子，考察在不同分位點處對沖基金的收益與風險之間關系，識別對沖基金投資風格，繼而給出對沖基金投資績效評價方法.為驗證基于LASSO分位數(shù)回歸的投資風格識別與投資績效評價效果，構(gòu)建對沖基金風格組合投資方案，并將其與基于均值回歸構(gòu)建的組合投資、等權(quán)組合投資、Markowitz組合投資等經(jīng)典的組合投資決策方法進行比較.實證研究結(jié)果表明，基于LASSO分位數(shù)回歸的投資績效評價方法最為有效，給出的組合投資方案能夠獲得較高的風險調(diào)整收益.

關鍵詞：對沖基金； LASSO分位數(shù)回歸； 對沖基金績效； 風格組合投資

0引言

近年來，對沖基金規(guī)模迅速擴大，對沖基金憑借對沖、賣空、貸杠、套利等靈活的投資技巧和多樣化的投資策略，在證券市場上賺取高額回報，受到越來越多投資者的關注.如何識別對沖基金投資風格與評價對沖基金投資績效，關乎廣大機構(gòu)投資者與個人投資者的利益，影響到金融市場的繁榮與穩(wěn)定.過去，主要使用均值回歸分析方法對此開展研究，一方面，通過回歸系數(shù)的顯著性，探尋不同的風險因子對對沖基金收益的影響，識別對沖基金投資風格；另一方面，通過回歸模型的截距項：Jensen的α指數(shù)，評價對沖基金投資績效.由于對沖基金投資的高度動態(tài)性和基金經(jīng)理操作透明度的缺乏，如何識別出包含在模型中最重要的風險因子仍然非常困難，這涉及統(tǒng)計分析中的變量選擇問題.關于變量選擇，線性回歸模型的逐步回歸方法為此提供了較好的手段，往往可以識別出重要的風險因子而廣泛應用于對沖基金的定量研究.然而，由于對沖基金投資策略不同于傳統(tǒng)的投資方式，其收益序列也往往表現(xiàn)出不同的統(tǒng)計特征和風險收益能力，如：Fung等[1]的研究發(fā)現(xiàn)，對沖基金收益往往具有更加嚴重的肥尾、有偏、高峰等典型特征.許啟發(fā)等[2]指出，當響應變量服從非對稱分布或散布較大時，均值回歸很難具有代表性.因此，建立在均值回歸基礎上的對沖基金風格分析與績效評價方法面臨巨大挑戰(zhàn)，需要開發(fā)新的工具與方法，準確揭示各個風險因子對對沖基金收益整個分布特征(不局限于均值)的影響.

與均值回歸不同，Koenker等[3]提出的分位數(shù)回歸，能夠細致地刻畫解釋變量對響應變量整個條件分布的影響.該分析方法已被廣泛應用于金融經(jīng)濟、環(huán)境科學、公共衛(wèi)生等學科領域，詳見Yu等[4]的文獻綜述.分位數(shù)回歸分析已成功應用于基金管理研究，代表性工作有：Bassett等[5]使用線性分位數(shù)回歸對共同基金投資風格進行定量研究；Meligkotsidou等[6]使用貝葉斯分位數(shù)回歸評價了對沖基金投資績效.這些良好實證效果的取得，主要得益于分位數(shù)回歸不僅能夠像均值回歸一樣可以揭示風險因子對于對沖基金平均收益的影響，而且能夠刻畫在較高和較低分位點處各個風險因子對對沖基金收益的影響，這為揭示對沖基金極端收益變動規(guī)律奠定了基礎.不過，在使用分位數(shù)回歸分析進行重要風險因子識別過程中，也涉及變量選擇問題.Meligkotsidou等[6]使用信息準則：AIC與BIC對此進行選擇，需要估計2K(K為解釋變量的數(shù)目)個模型并計算其AIC、BIC值，工作量巨大.在高維數(shù)據(jù)分析領域，Tibshirani[7]提出的LASSO(least absolute shrinkage and selection operator)方法主要通過將一些不重要的變量縮減為0，從而能夠一次完成變量選擇與參數(shù)估計，極大地減小了計算量，快速實現(xiàn)變量選擇過程.LASSO方法已被廣泛應用于均值回歸模型，較好地實現(xiàn)了變量選擇，詳見李根等[8]的文獻綜述.該方法也被成功應用于分位數(shù)回歸分析中的變量選擇，得到LASSO分位數(shù)回歸模型.這一研究工作最早可以追溯到Koenker等[9]，他們使用的總變化平滑懲罰，可以被視為L1懲罰.Wang[10]將最小絕對偏差LAD方法與LASSO方法即L1懲罰函數(shù)相結(jié)合，得到了穩(wěn)健的分位數(shù)(中位數(shù))回歸模型；李熠熠等[11]利用該方法對利率期限結(jié)構(gòu)進行了實證研究；Li等[12]、Lamarche[13]、Belloni等[14]、李翰芳等[15]分別使用了LASSO方法討論了分位數(shù)回歸的高維變量選擇問題.

迄今，尚無文獻將LASSO分位數(shù)回歸應用于對沖基金投資策略研究，本文擬就此開展研究工作.首先，基于LASSO分位數(shù)回歸，判定對沖基金投資風格.LASSO分位數(shù)回歸同時兼具LASSO的變量選擇功能和分位數(shù)回歸功能，一方面，通過變量選擇，能識別出在不同分位點處重要的風險因子，另一方面，通過分位數(shù)回歸，能夠細致考慮在不同分位點處風險與收益關系.因此，LASSO分位數(shù)回歸能夠準確識別對沖基金投資風格.其次，基于LASSO分位數(shù)回歸系數(shù)，構(gòu)造風險調(diào)整的α*指數(shù)，以評價對沖基金投資績效.不同于Jensen的α指數(shù)，這里的α*同時考慮了收益與風險兩個方面，能夠給出更加合理的評價結(jié)果.最后，基于LASSO分位數(shù)回歸的投資績效評價結(jié)果，構(gòu)造風格組合投資，評估本文提出方法的有效性.實證比較了基于LASSO分位數(shù)回歸的風格組合投資與經(jīng)典的組合投資方法，結(jié)果顯示前者的投資績效評價方法較為可靠，給出的組合投資方案能夠獲得更高的風險調(diào)整收益.

1模型與方法

1.1對沖基金風格的均值回歸分析

1.1.1均值回歸模型構(gòu)建

考慮對沖基金收益序列{rt}t=1,2,…,T以及用于解釋其收益率的K個風險因子收益序列：{fi,t}i=1,2,…,K;t=1,2,…,T.為定量研究對沖基金收益的構(gòu)成，可以使用多因子的資產(chǎn)定價模型，建立標準的線性均值回歸模型

(1)

式中α為截距項；βi為回歸系數(shù)；εt為隨機擾動項.

1.1.2均值回歸模型估計與變量選擇

(2)

得到模型的參數(shù)估計結(jié)果與收益序列的條件期望.

當考慮的風險因子數(shù)目較多時，需要對其進行變量選擇，可以采用逐步回歸方法，包括向前逐步回歸與向后逐步回歸.該方法的核心思想在于通過F檢驗設置變量進入與退出的門檻，將那些貢獻顯著的風險因子保留在模型中，直到最后再沒有顯著貢獻的風險因子可以引入，也沒有不顯著的風險因子需要退出時為止.最終，根據(jù)保留在模型中的風險因子類型(價值型，成長型和平衡型；大盤、中盤和小盤)識別對沖基金投資風格.

1.2對沖基金風格的分位數(shù)回歸分析

1.2.1分位數(shù)回歸模型構(gòu)建

然而，條件均值回歸模型只能揭示對沖基金的平均收益如何受風險因子的影響.由于對沖基金收益的特殊統(tǒng)計特征，平均收益已經(jīng)很難具有代表性，或者說實際中對沖基金往往難以取得平均收益，更有可能取得一些極端收益.蔣翠俠等[17]建議，可以從條件密度建模或者條件分位數(shù)建模兩個不同角度，來揭示響應變量整個條件分布變動規(guī)律.為此，本節(jié)使用分位數(shù)回歸分析揭示對沖基金收益在不同尾部如何受到風險因子的影響，從而細致刻畫對沖基金收益整個條件分布的動態(tài)性.建立線性分位數(shù)回歸模型為

(3)

式中τ(0<τ<1)為分位點；α(τ)為截距項；β(τ)=(β1(τ),β2(τ),…,βK(τ))′為τ分位點處的回歸系數(shù)向量，隨分位點而變化，表現(xiàn)出異質(zhì)性.

由模型(3)可以得出在給定K個風險因子的收益率f1t,…,fKt時，對沖基金收益rt第τ條件分位點的值為

1.2.2分位數(shù)回歸模型估計與變量選擇

一般地，收益序列的第τ分位數(shù)，可以通過簡單的優(yōu)化問題來估計,即

(4)

以得到模型的參數(shù)估計結(jié)果與收益序列的條件分位數(shù).Portnoy等[18]將其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出其求解的內(nèi)點算法.

當考慮的風險因子數(shù)目較多時，也需要對其進行變量選擇，這里使用LASSO分位數(shù)回歸來實現(xiàn).LASSO分位數(shù)回歸主要通過在原分位數(shù)回歸目標函數(shù)基礎上，增加個L1懲罰項得到

(6)

式中df為模型的有效維度.

對LASSO分位數(shù)回歸模型進行求解，可以轉(zhuǎn)化為對應的約束優(yōu)化問題

(7)

式中s為與λ相對應的約束參數(shù)，s取值越小，將βi(τ)系數(shù)約束到0的作用越強.進而，可以使用Efron等[19]提出的LARS(leastangleregression)算法，對規(guī)劃問題進行求解.與均值回歸模型不同，LASSO分位數(shù)回歸的結(jié)果使得最終保留在模型中的風險因子在不同分位點處可能會有所差異.這一現(xiàn)象表明，均值回歸僅僅考慮風險因子對平均收益的影響，進而識別對沖基金投資風格，勢必會帶來偏差.需要通過LASSO分位數(shù)回歸，細致地考察整個對沖基金收益分布狀況，不僅能夠挑選出對中間收益影響顯著的風險因子，而且能夠挑選出對不同尾部特征影響顯著的重要風險因子，識別對沖基金投資風格.

1.3對沖基金風格組合投資選擇方法

1.3.1單個對沖基金風格績效評價

眾所周知，對沖基金往往比傳統(tǒng)的投資工具有更優(yōu)越的績效表現(xiàn)，這主要歸功于對沖基金管理人的投資技能.對于對沖基金投資策略進行績效評價，最常用Jensen的指數(shù).該指數(shù)是均值回歸模型中對沖基金收益超過市場指數(shù)解釋部分的溢價，即均值回歸模型中的截距項.然而，Amin等[20]指出，盡管Jensen的指數(shù)是個很好的績效衡量工具，但關于它對于對沖基金評價的適用性仍存在一些爭議.由于對沖基金管理人所采用的高動態(tài)復雜交易策略，對沖基金回報表現(xiàn)出一些特殊性，如更加嚴重的肥尾、有偏、高峰等特征.所以，基于正態(tài)性假設的條件均值回歸方法和以相應的回歸系數(shù)作為績效衡量工具，并不適合模擬和評價對沖基金績效.為了合理地評價對沖基金投資績效，需要考慮對沖基金收益的整個條件分布.

為此，考慮基于LASSO分位數(shù)回歸的α*指數(shù)，用于評價對沖基金投資績效.α*指數(shù)定義為

(8)

式中α(0.5)為LASSO分位數(shù)回歸模型中截距項在中位點處的估計值，表示績效的水平；α(0.75)和α(0.25)分別為75%分位點和25%分位點處的α估計值，[α(0.75)-α(0.25)]表示績效的波動，可以視為風險；γ*代表風險厭惡參數(shù)，γ*越大，表示投資者風險厭惡程度越高.事實上，這里的α*指數(shù)為線性效用函數(shù)，在績效水平與績效風險之間進行權(quán)衡，α*越大，表明對沖基金投資績效越好.

1.3.2組合對沖基金風格績效評價

為進一步衡量本文提出的基于LASSO分位數(shù)回歸的對沖基金投資績效評價效果，在對沖基金投資績效評價基礎上，根據(jù)排序結(jié)果構(gòu)建風格組合投資，并對組合投資效果進行評價.如果所得組合投資效果比其他方法所得組合投資效果好，則表明本文的方法是有效的.

對于構(gòu)建的風格組合投資效果進行評價，可以使用風險調(diào)整后收益，最常用的是Sharp[21,22]提出的Sharp比率

(9)

式中E(rp)為組合投資的期望收益；σ為組合投資收益的標準差.Sharp比率可以解釋為每單位風險的平均收益，陳收等[23]認為，當考慮在眾多的基金中選擇購買某一只基金時，Sharp比率可以作為一項重要的依據(jù).然而，Sharp比率存在自身的局限性：第一，正態(tài)性假設使它不能很好地適用于對沖基金績效評價；第二，使用標準差作為衡量風險的工具：將收益的上升與下降等同地視為風險.一般地，收益下降才視為風險，稱為下行風險，定義為

(10)

式中RV是個參考值，代表投資者所能接受的最小回報或收益.在此基礎上，Sortino等[24,25]提出了另外一種考慮風險調(diào)整的績效衡量工具，Sortino比率，定義如下

(11)

式中δ為下行風險.對比Sharp比率與Sortino比率，主要區(qū)別在于：第一，后者增加了投資者能夠接受的最低回報水平；第二，用下行風險替代了標準差風險.因此，Sortino比率更加接近實際，能夠給出組合投資績效的合理評價.

2實證研究

2.1數(shù)據(jù)與描述

根據(jù)對沖基金投資屬性，國內(nèi)對沖基金可以分為4大類，其中一級策略有相對價值型策略、方向型策略(包括管理期貨策略、股票多空倉策略、固定收益方向型策略和宏觀策略)、事件驅(qū)動型策略和基金的基金策略.迄今，共有7只對沖基金單一策略指數(shù)：相對價值指數(shù)(RV)、管理期貨指數(shù)(MF)、股票多空倉指數(shù)(ES)、固定收益方向型指數(shù)(FI)、宏觀策略指數(shù)(M)、事件驅(qū)動指數(shù)(ED)和基金的基金(FOF).考慮到中國在2010年3月底開始融資融券操作，設定樣本區(qū)間為2010-04～2014-09，數(shù)據(jù)頻率為月度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于阿爾法研究中心的對沖網(wǎng)數(shù)據(jù)庫.上述樣本區(qū)間中，2010-04～2013-10的樣本數(shù)據(jù)為阿爾法研究中心編制的指數(shù)數(shù)據(jù)(10月以后策略指數(shù)編制工作停止)；2013-11～2014-09為本文整理計算結(jié)果.指數(shù)計算過程中，主要依據(jù)阿爾法研究中心提供的成份基金列表和指數(shù)編制規(guī)則，采用簡單加權(quán)平均法，以成份基金的平均復權(quán)單位凈值增長率作為指數(shù)增長率，從而得到計算期指數(shù)點位.本文所有計算均在R3.0.1軟件下完成，感興趣的讀者可以來函索取相應代碼.

為全面反映股票市場、債券市場收益情況以及對沖基金投資風格特征，回歸因子主要選取Fama-French 3因子(市場溢酬因子RF、市值因子SMB和賬面市值比因子HML)以及中信標普風格指數(shù)和債券指數(shù)，共計11個因子.首先，通過Fama-French 3因子表征股票市場收益，數(shù)據(jù)來自國泰安數(shù)據(jù)庫.其次，通過風格因子表征對沖基金的投資風格.為避免信息重復，本文主要考慮了兩個維度：投資風格、市場代表性，從中信標普開發(fā)的16只風格指數(shù)中選取6只風格指數(shù).就投資風格而言，只有選擇純成長指數(shù)與純價值指數(shù)這一組合，才能避免信息重復.不過，這一組合遺漏了一個平衡型投資風格，本文使用中信標普開發(fā)的債券指數(shù)(國債指數(shù)TB和企業(yè)債指數(shù)CB)作為替代.就市場代表性而言，100指數(shù)的成分股包括中國A股市場中市值最大、流動性最強的100只股票；200指數(shù)代表了中國A股各行業(yè)上市公司中自由流通市值最大、最具流動性并且財務穩(wěn)健的300家公司中去除100指數(shù)成分股的所有中盤股票；而小盤指數(shù)則包含了除中信標普100和200以外的300只最具投資性的小市值股票.綜合上述，兩個維度交叉組合共形成了6只風格指數(shù)：100純成長指數(shù)(OPG)、100純價值指數(shù)(OPV)、200純成長指數(shù)(TPG)、200純價值指數(shù)(TPV)、小盤純成長指數(shù)(SPG)和小盤純價值指數(shù)(SPV).這6只風格指數(shù)，不僅揭示了不同投資風格，也體現(xiàn)了市場整體表現(xiàn)，具有很好的代表性.最后，通過債券指數(shù)表征債券市場收益.以上樣本區(qū)間也為2010年4月到2014年9月，數(shù)據(jù)頻率為月度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于中信標普指數(shù)服務下載中心.

表1給出了對沖基金收益率的描述性統(tǒng)計結(jié)果，可以看到，對沖基金策略指數(shù)的收益與標準差都存在較大差異，并且收益與標準差之間并非完全對應，與金融市場上投資回報之間的“高收益、高風險”或“低收益、低風險”這些經(jīng)典規(guī)律相違背，如：ED事件驅(qū)動指數(shù)具有較大的標準差，其平均收益水平卻是負的；ES股票多空倉指數(shù)的平均收益水平最低，其標準差并非最低.在收益序列的高階矩統(tǒng)計特征方面，不同對沖基金策略也呈現(xiàn)出異質(zhì)性，如：FI固定收益方向型策略具有最大的偏度和最高的峰度，表明一方面該基金策略收益高于平均收益的可能性較大；另一方面其收益取得極值的可能性較大，呈現(xiàn)出嚴重的非正態(tài)特征，J-B檢驗結(jié)果也證實了這一點.此外，所有策略指數(shù)的超額峰度都大于0，存在極端收益狀態(tài).其余對沖基金(如：ES)，J-B檢驗并不能拒絕其正態(tài)性假設，不過其收益還是呈現(xiàn)出非對稱性，可以從分位數(shù)統(tǒng)計結(jié)果得出(如：ES的25%分位數(shù)為-0.024 2、中位數(shù)為-0.010 0，而75%分位數(shù)為0.006 2).這些描述性統(tǒng)計結(jié)果要求在研究對沖基金策略指數(shù)收益時，不僅需要關注其正常收益能力(與中位點對應)，還需要關注其尾部收益能力(與高、低分位點對應)，分位數(shù)回歸方法為此提供了有效的工具.在對沖基金收益序列中表現(xiàn)出來的這些統(tǒng)計特征，主要歸因于基金經(jīng)理人所采用的對沖、賣空、貸杠、套利等特殊的投資策略.

表 1　對沖基金策略指數(shù)收益的描述性統(tǒng)計

注：1.J-B檢驗是由Jarque-Bera提出的，用于檢驗隨機變量是否服從正態(tài)分布；

2.***表示在0.1%水平下顯著；

3. 超額峰度值是在R3.0.1軟件中使用moments包中skewness函數(shù)計算的結(jié)果，其取值滿足：超額峰度=峰度-3，大于0就表明

具有高峰特征，意味著有極大可能性取得極端值.

2.2對沖基金投資風格識別

首先，使用LASSO分位數(shù)回歸進行變量選擇并揭示對沖基金單一策略指數(shù)與風險因子之間的關系.為確定LASSO分位數(shù)回歸模型中懲罰參數(shù)λ的取值，使用前文給出的AIC準則.圖1給出了AIC值和λ值之間的關系，其中λ值在0到0.1之間變化，5條曲線分別代表在不同分位點處AIC取值.由圖1可見，隨著λ值增加，AIC值總體上呈下降趨勢，并且穩(wěn)定在某一水平上.表2給出了不同的分位點下，由AIC值確定的最佳λ值.根據(jù)最佳λ值，得到LASSO分位數(shù)回歸模型估計結(jié)果(數(shù)值略)，表3顯示了各風險因子在不同分位點處對每一只對沖基金單一策略指數(shù)是否具有顯著性影響，其中：“√”表示回歸系數(shù)不為0，即存在顯著性影響.

圖1　AIC值和λ之間的關系

表3　基于均值回歸與分位數(shù)回歸的對沖基金影響因子分析

續(xù)表3(Table 3 Continue)

注：1.均值回歸使用了向前逐步回歸法；

2.分位數(shù)回歸使用了LASSO分位數(shù)回歸，這里只報告了在分位點為10%、25%、50%、75%和90%的情形.

為比較，在均值回歸框架下，使用向前逐步回歸，建立風險因子與對沖基金收益之間關系，顯著的風險因子也列于表3.由表3可以看出：第一，在不同分位點處，影響對沖基金收益的風險因子存在著顯著的差別，如FOF策略指數(shù)在高分位點(75%分位點有8個)與低分位點(25%分位點有6個)處受較多的風險因子影響，而在其余分位點顯著貢獻的風險因子數(shù)目較少，表明部分風險因子對收益分布的尾部有顯著的影響，這一現(xiàn)象在均值回歸模型中得不到反映.第二，在分位數(shù)回歸的中位點處所得結(jié)果和條件均值回歸之間也存在著差別，如ES策略指數(shù)在中位點處受到6個風險因子的影響，而由于均值回歸得到的結(jié)果是3個風險因子存在顯著影響，這一結(jié)果得益于ES策略指數(shù)存在嚴重的非對稱性，均值回歸很難具有代表性.第三，不同的風險因子顯著影響到對沖基金收益的次數(shù)也不相同，確定了不同的投資風格，如200純成長指數(shù)(TPG)在所討論的模型中共有22次顯著，表明本文所討論的對沖基金大多數(shù)屬于成長型投資風格；而國債指數(shù)(TB)與企業(yè)債指數(shù)(CB)的顯著次數(shù)都分別為1和0，表明對沖基金大多數(shù)沒有采用平衡投資風格.

總體來看，在對沖基金收益的整個分布上，分位數(shù)回歸方法能夠更加深入分析對沖基金收益和風險因子之間關聯(lián)性，它可以捕捉到均值回歸模型所遺漏的一些重要信息，從而能夠更加準確地識別對沖基金投資風格.

2.3對沖基金投資績效評價

在識別了對沖基金投資風格以后，可以使用α*指數(shù)評價其投資績效.由式(8)可見，對于基于分位數(shù)回歸的對沖基金投資績效評價，依賴風險厭惡參數(shù)γ*的取值.Garlappi等[26]取γ*=1，Meligkotsidou等[6]取γ*=2，而Han[27]使用了不同的風險厭惡參數(shù)取值，取γ*∈[2,10].考慮到當γ*=0時，有α*=α(0.5)，此時基于分位數(shù)回歸的投資績效評價退化為基于中位數(shù)回歸的投資績效評價.本文讓γ*在0到10范圍每隔0.1依次取值，分別計算α*并排序，發(fā)現(xiàn)當γ*∈[0,1.4]時，排序結(jié)果一致；當γ*∈[1.5,10]時，排序結(jié)果也一致，呈現(xiàn)兩個階段，見表4.在表4中，排序1～7表示對沖基金績效順序依次遞減.由表4可以看到：第一，γ*取值不同對基于分位數(shù)回歸的排序結(jié)果有所影響，呈現(xiàn)兩個階段，不過兩個階段排序結(jié)果比較相關(Spearman等級相關系數(shù)為0.79)；第二，基于中位數(shù)回歸的排序結(jié)果與基于分位數(shù)回歸在γ*=0時的排序結(jié)果完全一致，不僅如此，與γ*∈[0,1.4]時排序結(jié)果也完全一致；第三，基于均值回歸的排序結(jié)果與基于中位數(shù)回歸的排序結(jié)果幾乎一致,而與基于分位數(shù)回歸的排序結(jié)果存在一定的差異，其與中位數(shù)回歸或分位數(shù)回歸第1階段排序結(jié)果的Spearman等級相關系數(shù)為0.96、與分位數(shù)回歸第2階段的Spearman等級相關系數(shù)為0.75.

至此，基于分位數(shù)回歸不僅可以識別對沖基金投資風格，而且可以評價對沖基金投資績效.不過，仍然無法確定這一投資績效評價結(jié)果是否可靠.下面，將通過構(gòu)造組合投資的方式，并與經(jīng)典的組合投資決策模型進行比較，來回答這一問題.

表4　對沖基金投資策略績效評價

2.4對沖基金風格組合投資決策

在表4所示的單個對沖基金投資策略績效評價基礎上，根據(jù)排序結(jié)果，按照優(yōu)選順序依次賦權(quán)，可以構(gòu)造風格組合投資方案.為驗證本文提出方法的穩(wěn)健性，考慮了3個不同的賦權(quán)方案：方案1為“嚴重偏好”，表示基金經(jīng)理特別看重績效好的基金，而忽略績效差的基金；方案2為“中等偏好”，表示基金經(jīng)理看重績效好的基金，也同時考慮績效差的基金；方案3為“一般偏好”，表示基金經(jīng)理只是稍微側(cè)重績效好的基金.這3個賦權(quán)方案代表了不同的偏好程度，具有較好的代表性.在權(quán)重分配時，使用了等差數(shù)列，3個方案的權(quán)重大小分別為：(0.229, 0.200, 0.171, 0.143, 0.114, 0.086, 0.057)、(0.207, 0.186, 0.164, 0.143, 0.121, 0.100, 0.079)、(0.186, 0.171, 0.157, 0.143, 0.129, 0.114, 0.100)，如圖2所示.圖中橫坐標軸為對沖基金績效排序結(jié)果，1～7表示對沖基金績效順序依次遞減；縱坐標軸表示權(quán)重大小.

圖2權(quán)重條形圖

Fig. 2 Bar plot of weights

在每一賦權(quán)方案下，可以計算出組合投資的平均收益、標準差、下行風險、Sharp比率(ShR)與Sortino比率(SoR)，并且基于分位數(shù)回歸的評價結(jié)果會受到風險厭惡參數(shù)γ*的影響，結(jié)果見圖3.在圖3中，實線部分為基于分位數(shù)回歸所得評價結(jié)果，隨γ*取值變化，表現(xiàn)為兩個階段；兩條虛線分別代表基于中位數(shù)回歸與基于均值回歸所得評價結(jié)果，這一結(jié)果不受γ*的影響.由圖3可知，在不同賦權(quán)方案下，由分位數(shù)回歸所得Sharp比率與Sortino比率起初與中位數(shù)回歸所得結(jié)果一致，隨著風險厭惡參數(shù)的增加，前者要優(yōu)于后者，并且兩者都比均值回歸所得結(jié)果理想.

進一步觀察，無論在哪一種賦權(quán)方案下，基于分位數(shù)回歸所得Sharp比率與Sortino比率存在最優(yōu)的風險厭惡參數(shù)區(qū)間：γ*∈[1.5, 10]，

圖3風險參數(shù)與投資組合績效關系圖

Fig. 3 Relationship between risk parameter and performance of portfolio

表5報告了在最優(yōu)風險厭惡參數(shù)區(qū)間中，由分位數(shù)回歸、中位數(shù)回歸、均值回歸所得的組合投資評價結(jié)果.在計算下行風險與Sortino比率時，本文設置參考值RV=0，即可接受的最小投資回報為0.為比較，本文同時考慮了兩個經(jīng)典的組合投資模式：等權(quán)組合投資、Markowitz[28]提出的均值-方差模型，并以其作為對比的基準.在基于均值-方差模型求解最優(yōu)組合投資方案時，本文設置可接受的最小投資回報也為0，目標為最小化標準差.表5也報告了等權(quán)組合投資決策與均值-方差模型組合投資決策所得到的相關結(jié)果.

由表5可知，第一，就風格組合投資實現(xiàn)的收益而言，基于方案1所得收益均值最高，其次為方案2，再次為方案3，最后為等權(quán)組合投資和均值-方差模型，這表明依據(jù)分位數(shù)回歸、中位數(shù)回歸、均值回歸的對沖基金績效評估結(jié)果，選擇嚴重偏好型的組合投資決策，有利于實現(xiàn)對沖基金收益功能.在每個組合投資賦權(quán)方案內(nèi)部，基于均值回歸所得收益均值最大，其次為中位數(shù)回歸，最后為分位數(shù)回歸.第二，就風格組合投資的風險而言，均值-方差模型所得的標準差風險與下行風險都較?。辉诓煌馁x權(quán)方案中，分位數(shù)回歸所得風險最小，其次為中位數(shù)回歸，最后為均值回歸；等權(quán)組合投資所得的風險最大.第三，就風格組合投資的風險調(diào)整收益而言，等權(quán)組合投資決策獲得的Sharp比率與Sortino比率最小、效果最差；在3個賦權(quán)方案中，按照Sharp比率從高到低排序依次為：方案1、方案2、方案3，Sortino比率的排序結(jié)果與Sharp比率類似.

表5　組合投資效果評價

注：1.方案1為嚴重偏好，方案2為中等偏好，方案3為一般偏好.

2.排序為根據(jù)指標屬性所得結(jié)果，正指標(如：均值、ShR、SoR)取值越大，排序越靠前；逆指標(如：標準差、下行風險)取值越大，排序越靠后.

3穩(wěn)健性檢驗

3.1不同參數(shù)取值的影響

在前面分析中，已經(jīng)討論了不同風險厭惡參數(shù)γ*和不同賦權(quán)方案的影響，檢驗了本文提出方法的穩(wěn)健性.這里，主要討論式(8)中括號內(nèi)不同分位點數(shù)對(1-τ,τ)的影響，即績效波動度量方式的影響.為此，在分位點數(shù)對(0.25,0.75)的基礎上，增加兩個分位點數(shù)對(0.10,0.90)、(0.15,0.85)的討論，定義3個α*指數(shù)如下

(12)

(13)

(14)

式中α(τ)為LASSO分位數(shù)回歸模型中截距項在第τ(τ=0.1,0.15,0.25,0.5,0.75,0.85,0.9)分位點處的α估計值，表示績效的水平；[α(1-τ)-α(τ)]表示績效的波動，可以視為風險.

實際上，這一穩(wěn)健結(jié)果有重要的理論基礎.Pearson和Tukey[29]發(fā)現(xiàn)，對于不同的收益分布形式，對稱分位數(shù)區(qū)間[Q(1-τ)-Q(τ)]與標準差σ之間的比值基本恒定，如：[Q(0.75)-Q(0.25)]/σ≈3.92.這樣，本文定義的績效波動

[α(1-τ)-α(τ)]≈c(τ)σ

(15)

僅僅相差一個依賴于分位點τ的固定常數(shù)c(τ).3個α*指數(shù)，可以統(tǒng)一表示為類似于均值-標準差(收益-風險)效用函數(shù)的形式

(16)

3.2不同極端收益的影響

為考慮不同極端收益的影響，本文選取國際市場的對沖基金作為研究對象.使用本文給出的方法，按照前面的實證過程，研究其投資策略：風格分析、績效評價、組合投資決策，以檢驗本文提出方法的穩(wěn)健性.限于篇幅，這里省略了部分實證過程，只給出實證結(jié)果，感興趣的讀者可以來函索取相應的原始數(shù)據(jù)、計算程序、實證過程和實證結(jié)果.

根據(jù)Hedge Fund Research(HFR)對沖基金分類體系，將對沖基金劃分為5大類，其中一級策略有相對價值套利、股票對沖、事件驅(qū)動、宏觀和組合基金,每一大類又包含有不同的子策略.選取有代表性的13個對沖基金策略指數(shù)，分別為可轉(zhuǎn)換套利指數(shù)(CA)、股票放空指數(shù)(DSB)、新興市場指數(shù)(EM)、股票市場中性指數(shù)(EMN)、事件驅(qū)動指數(shù)(ED)、財困證券指數(shù)(DS)、事件導向多策略指數(shù)(EDMS)、風險套利指數(shù)(RA)、固定收益套利指數(shù)(FIA)、全球宏觀指數(shù)(M)、股票對沖策略指數(shù)(EH)、管理期貨指數(shù)(MF)、多重策略指數(shù)(MS).樣本區(qū)間為2008-04～2014-02，數(shù)據(jù)頻率為月度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于CREDIT SUISSE.影響因素主要包括：Fama和French的3因子(RF、SMB和HML)、標普500隱含波動率指數(shù)(VIX)、羅素3 000股票指數(shù)(RUS)、摩根士丹利資本國際世界指數(shù)(美國除外)(MXUS)、摩根士丹利資本國際新興市場指數(shù)(MEM)、高盛商品指數(shù)(GSCI)和10年期國債利率(TB).樣本區(qū)間為2008-04～2014-02，數(shù)據(jù)頻率為月度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)分別來源于YAHOO FINANCE、FRED ECONOMIC DATA和http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/Data_Library/f-f_factors.html.

由表6給出的國際市場對沖基金策略指數(shù)收益的描述性統(tǒng)計可以看出，部分策略指數(shù)(如：EMN、FIA)的偏度系數(shù)絕對值、峰度系數(shù)遠遠高于國內(nèi)市場的對沖基金策略指數(shù)，具有更為明顯的杠桿效應和極端取值.J-B檢驗統(tǒng)計量取值更大，結(jié)果更為顯著，這表明它們更多地拒絕了正態(tài)性假定.

表6　國際市場對沖基金策略指數(shù)收益的描述性統(tǒng)計

注：1.J-B檢驗是由Jarque-Bera提出的，用于檢驗隨機變量是否服從正態(tài)分布；

2.***表示在0.1%水平下顯著.

3.2.1對沖基金投資風格識別

繼續(xù)使用LASSO分位數(shù)回歸進行變量選擇并揭示對沖基金單一策略指數(shù)與風險因子之間的關系.這里，省略了LASSO分位數(shù)回歸模型中懲罰參數(shù)λ取值及AIC準則取值的報告.表7報告了各風險因子在不同分位點處是否具有顯著性影響，其中“√”表示存在顯著性影響.

為比較在均值回歸框架下使用向前逐步回歸，建立風險因子與對沖基金收益之間關系，顯著的風險因子也列于表7.由表7可以看出：第一，在不同分位點處，影響對沖基金收益的風險因子存在著顯著的差別，如EM策略指數(shù)在高分位點處(90%)受較多(9個)的風險因子影響、而在其余分位點顯著貢獻的風險因子數(shù)目較少；FIA策略指數(shù)在低分位點處(10%)受較多(9個)的風險因子影響、而在其余分位點顯著貢獻的風險因子數(shù)目較少.第二，在分位數(shù)回歸的中位點處所得結(jié)果和條件均值回歸之間也存在著差別，如EM策略指數(shù)在中位點處受到4個風險因子的影響，而由均值回歸得到的結(jié)果是6個風險因子都存在顯著影響.第三，不同的風險因子顯著影響到對沖基金收益的次數(shù)也不相同，確定了不同的投資風格，如GSCI指數(shù)在所討論的模型中共有60次顯著，而MXUS指數(shù)只有7次顯著.

因此，這里所得結(jié)論與國內(nèi)對沖基金投資風格分析所得結(jié)論基本一致，分位數(shù)回歸方法能夠更加深入分析對沖基金收益和風險因子在不同分位點處的關聯(lián)性，能夠更加準確地識別對沖基金投資風格，彌補均值回歸的不足.

表7　基于均值回歸與分位數(shù)回歸的國際市場對沖基金影響因子分析

續(xù)表7(Table 7 Continue)

注：1.均值回歸使用了向前逐步回歸法；

3.2.2對沖基金投資績效評價

表8　國際市場對沖基金投資策略績效評價

表9　國際市場對沖基金投資策略績效排序的Spearman等級相關系

3.2.3對沖基金組合投資決策

在表8所示的單個對沖基金投資策略績效評價基礎上，根據(jù)排序結(jié)果，按照優(yōu)選順序依次賦權(quán)，可以構(gòu)造風格組合投資方案.為驗證本文提出方法的穩(wěn)健性，按照前述權(quán)重設計思想，考慮了3個不同的賦權(quán)方案，權(quán)重大小分別為：(0.154, 0.146, 0.138, 0.123, 0.108, 0.092, 0.077, 0.062, 0.046, 0.031, 0.015, 0.008, 0.000)、(0.146, 0.135, 0.123, 0.112, 0.100, 0.088, 0.077, 0.065, 0.054, 0.042, 0.031, 0.019, 0.008)和(0.131, 0.115, 0.108, 0.100, 0.092, 0.085, 0.077, 0.069, 0.062, 0.054, 0.046, 0.038, 0.023).在每一賦權(quán)方案下，可以計算出組合投資的平均收益、標準差、下行風險、Sharp比率(ShR)與Sortino比率(SoR)，結(jié)果見圖4與圖5.

表10和表11報告了由分位數(shù)回歸、中位數(shù)回歸、均值回歸所得的組合投資評價結(jié)果，同時報告了等權(quán)組合投資決策與均值-方差模型組合投資決策所得到的相關結(jié)果.

圖4　國際市場對沖基金風險參數(shù)與投資組合績效關系圖)

圖5　國際市場對沖基金風險參數(shù)與投資組合績效關系圖)

模型與方法均值標準差下行風險ShRSoR數(shù)值(%)排序數(shù)值(%)排序數(shù)值(%)排序數(shù)值排序數(shù)值排序方案1分位數(shù)回歸0.433311.945191.457980.222810.29721中位數(shù)回歸0.422021.9738101.4806100.213820.28512均值回歸0.414931.9977111.5506110.207740.26765方案2分位數(shù)回歸0.399141.890261.425460.211130.28003中位數(shù)回歸0.390851.913381.442170.204350.27104均值回歸0.372461.895771.479490.196560.25187方案3分位數(shù)回歸0.347871.794441.363630.193870.25516中位數(shù)回歸0.342381.810751.375840.189080.24888均值回歸0.320191.781531.395450.179790.22949等權(quán)組合投資0.2035101.542221.206420.1319110.168711均值-方差模型0.1100110.796110.601510.1382100.182910

注： 同表5.

表11　國際市場對沖基金組合投資效果評價(使用排序)

由表10可知，第一，就風格組合投資實現(xiàn)的收益而言，基于方案1所得收益均值最高，其次為方案2，再次為方案3，最后為等權(quán)組合投資和均值-方差模型.在每個組合投資賦權(quán)方案內(nèi)部，基于分位數(shù)回歸所得收益均值最大，其次為中位數(shù)回歸，最后為均值回歸.第二，就風格組合投資的風險而言，均值-方差模型所得的標準差風險與下行風險都較??；在不同的賦權(quán)方案中，分位數(shù)回歸所得風險都較小(除方案3的標準差風險外)，其次為中位數(shù)回歸，最后為均值回歸.第三，就風格組合投資的風險調(diào)整收益而言，基于分位數(shù)回歸方法所得的Sharp比率與Sortino比率最大、效果最好，而等權(quán)組合投資模型效果最差；在3個賦權(quán)方案中，Sharp比率或Sortino比率從高到低排序依次為：方案1、方案2、方案3.表11給出的組合投資效果排序與表10幾乎一致，只是在下行風險這一指標的排序上稍微有所區(qū)別.

以上結(jié)果與國內(nèi)對沖基金市場實證結(jié)果完全一致，再次表明本文提出的基于LASSO分位數(shù)回歸對沖基金投資策略研究方法具有較強的穩(wěn)健性.這主要得益于分位數(shù)回歸能夠細致地刻畫在不同分位點處風險因子對于對沖基金收益的不同影響方式，從而能夠準確地描述對沖基金收益模式，給出合理的績效評價結(jié)果與組合投資效果.

4結(jié)束語

鑒于對沖基金收益分布特征的特殊性，本文提出了基于LASSO分位數(shù)回歸的對沖基金投資績效評價方法.這一方法，一方面通過LASSO的變量選擇的功能，從影響對沖基金收益的眾多風險因子中，挑選出重要風險因子；另一方面，通過分位數(shù)回歸的功能，細致刻畫重要風險因子對對沖基金收益整個條件分布的影響，能夠有效地識別對沖基金的投資風格并評價其投資績效.為驗證本文提出方法的有效性，在風格識別與績效評價的基礎上，構(gòu)建了對沖基金風格組合投資.在與經(jīng)典的組合投資決策模型(等權(quán)組合投資、均值-方差模型、均值回歸模型)進行比較過程中，充分考慮了不同的風險厭惡程度與不同賦權(quán)方案的影響，實證結(jié)果表明：第一，無論是分位數(shù)回歸，還是中位數(shù)回歸、均值回歸，給出的對沖基金績效評價結(jié)果是有效的，依據(jù)該結(jié)果進行偏好性的組合投資選擇，能夠獲得較好的風險調(diào)整收益；第二，基于LASSO分位數(shù)回歸給出的組合投資，在選擇賦權(quán)方案1“嚴重偏好”時，能夠獲得最佳的風險調(diào)整收益，隨后為中位數(shù)回歸、均值回歸；第三，基于均值-方差模型得到的組合投資風險調(diào)整收益水平，大體介于賦權(quán)方案2“中等偏好”與賦權(quán)方案3“一般偏好”之間，而等權(quán)組合投資所得組合投資風險調(diào)整收益水平最差，意味著消極的等權(quán)組合投資選擇方案在積極的對沖基金市場上往往難以奏效；第四，本文提出的基于LASSO分位數(shù)回歸的對沖基金投資策略研究方法具有較強的穩(wěn)健性，能夠滿足不同風險偏好(組合投資權(quán)重、風險厭惡參數(shù))、不同績效評價α*指數(shù)(分位點數(shù)對)、不同極端收益對沖基金(偏度系數(shù)、峰度系數(shù))的要求.

以上實證結(jié)果的經(jīng)濟意義在于，基于LASSO分位數(shù)回歸給出的對沖基金投資績效評價是有效的，依據(jù)該評價結(jié)果進行偏好性的組合投資選擇，就能夠取得最佳的風險調(diào)整收益，得到滿意的投資結(jié)果.本文的實證結(jié)果是在對沖基金市場上取得的.毫無疑問，本文的方法既可以推廣到一般的基金投資策略研究，如共同基金等；也可以推廣到更一般的金融市場，進行更廣義的組合投資選擇(如：股票、債券等)與績效評價.

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Hedge fund investment strategies based on LASSO quantile regression

JIANGCui-xia1, 2,LIUYu-ye1,XUQi-fa1, 2

1. School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China;2. Key Laboratory of Process Optimization and Intelligent Decision-making, Ministry of Education, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China

Abstract:The return of hedge funds often has different statistical characteristics and risk return relations from those of regular investments due to the fact it adopts some flexible investment skills in practice. Therefore, it is difficult to evaluate the performance of hedge funds by using some traditional methods. Based on LASSO quantile regression, the paper identifies some important risk factors, which are helpful to explain hedge fund investment style, and provides a new method by considering the relationship between return and risk across quantiles to evaluate the performance of hedge funds. For illustration, a style portfolio of hedge funds is constructed through LASSO quantile regression. Then, the style portfolio is compared with some classical methods for portfolio choice, such as mean regression portfolio, equal-weighted portfolio, and Markowitz portfolio. Empirical results show that our evaluation method based on LASSO quantile regression is relatively effective and its portfolio investment scheme may obtain higher risk adjusted returns.

Key words:hedge fund; LASSO quantile regression; hedge fund performance; style portfolio

中圖分類號:F224

文獻標識碼:A

文章編號:1007-9807(2016)03-0107-20

作者簡介:蔣翠俠(1973—)， 女， 安徽碭山人， 博士， 副教授， 碩士生導師. Email: jiangcx1973@163.com

基金項目：國家社會科學基金一般資助項目(15BJY008)； 國家自然科學基金資助項目(71071087)； 教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金資助項目(14YJA790015)； 安徽省哲學社會科學規(guī)劃基金資助項目(AHSKY2014D103)； 山東省科技發(fā)展計劃資助項目(2014GGX101055).

收稿日期：(①) 2014-01-09；

修訂日期：2014-11-29.